曲线的曲率

2a 2 a 3 (a a )
4 4 3 2
1 . 2a
曲率圆与曲率半径
定义3-8 设曲线在点M处的曲率为K(K0), 在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于 M 且 半径为 =K-1的圆. 曲率中心 上述圆叫做曲线 在点 M处的曲率圆 其 圆心叫做曲率中心 其 半径r叫做曲率半径 曲率与曲率半径关系 1 1 K 曲率半径 曲率圆 K
第七节 曲线的曲率
曲线弯曲程度是描述曲线局部性质 的一个重要标志, 它与哪些因素有关? 怎 样度量曲线的弯曲程度？
观察：观察曲线的弯曲线程度与哪些 因素有关. 怎样衡量曲线的弯曲程度？
提示：可以用单位弧段上切线转过的 角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.
定 义 3-7: 设 曲 线 C是光滑的 曲线上点 M 对应于弧 s 在点 M 处切线的倾角为 曲 线上另外一点N对应 于弧ss 在点N处切 线的倾角为
2a a a 解: 由xy a 可得y , y 2 , y 3 , x x x
2 2
2
2
2
K
y (1 y )
2 3 2
|
2a 2 x 2 a x
3
|
2 3

2
2a 2 | x 3 | (x4 x4 )
3 2
,
[1 (
) ] 2
因此在点(a,a)处 K |( a,a )
抛物线顶点处的曲率 半径为 r=K-11.25 因此, 选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径不得超过2.50单位长
练习题: 2 2 2 1. 求圆周 ( x a) ( y b) R 上任意一 点处的曲率. 解: 设M(x,y)为圆周的任意一点, 则由平面 几何知识可知 s R . 1 1 因此 K lim | | lim .
( 1 则R y
2 32 y )

(1 14 )
x
3
2
2 x
3
1) 1 ( x 2 2 x
2
3
2
2
利用 a 2 b 2 2 ab
显然 R
x 1
2 为最小值 .
记K 称 K 为弧段 MN 的平均曲率 s
记 K lim 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 s 0 s
曲率的计算公式: d d 在 lim 存在的条件下 K s 0 s ds ds 设曲线C的方程为yf(x) 且f(x)有二阶导数,
y y y y y y d cos y dx d d 2 dx dx dx dx dx dx 2 2 sec sec2 1 1 tan tan2 1 1 y y2 又知 ds 1 y2 dx 从而得曲率的计算公式 | y | d 见p87中间 K ds (1 y2 )3 2
2
1 因为tan y , 两边微分得: d y dx 2 cos
说明
(1) 曲线C方程为yf(x)时, K
y (1 y )
2
3 2
;
x x(t ) 给出时, (2) 若曲线由参数方程 y y (t )
y )2 (x (3) 若曲线方程为 x ( y ) , 则 x K 2 32 ( 1 x )
s 0
法2: 圆的参数方程为x=Rcost, y=Rsint . y x y x 1 K 2 . 2 32 y ) R (x 圆周上各点的曲率皆等于该圆半径的倒数.
s
x 0 R
R
2. 求双曲线 的曲率半径R, 并分析 y 何处R最小? 1 1 2 解: y 2 , y 3 , o 1 x x x
2 2
3
K
y x y x
;
例3-28 求直线L上任意一点处的曲率. 解: 不妨认为直线L的方程为y=ax+b. 可得: y a, y 0. 由曲率公式可知, 直线上任意一点处 的曲率K=0.
例3-29 源自文库曲线xy a (a 0)在点(a, a)处的曲率.
因为 y0.8x y0.8
y|x00 y|x00.8
例3-30 设工件表面的截线为抛物线y0.4x2. 现在 要用砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才 比较合适？ 解: 砂轮半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径
| y | 0 8 K (1 y2 )3 2