功率谱估计方法综述：
简介：随机信号的持续时间是无限长的，因此随机信号的总能量是无限的，因而随机过程的任意一个样本寒暑都不满足绝对可积条件，所以其傅里叶变换不存在。尽管随机信号的总能量是无限的，但其平均功率却是有限的，因此，要对随机信号的频域进行分析，应从功率谱出发进行研究才有意义。信号的功率谱密度描述随机信号的功率在频域随频率的分布。功率谱估计(PSD)是用有限长的数据来估计信号的功率谱，即利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度。
背景：功率谱估计在实际工程中有重要应用价值，如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域，发挥了重要作用。功率谱估计方法主要分为2大类：非参数化方法（又称经典功率谱估计）和参数化方法（又称现代功率谱估计）。非参数化方法有相关函数法(BT法)、周期图法、平均周期图法、平滑平均周期图法等；而参数化谱估计有R模型法、移动平均模型法(简称MA模型法)、自回归移动平均模型法(简称ARMA模型法)、最大熵谱分析法(AR模型法)、Pisarenko谐波分解法、Prony 提取极点法、Prony谱线分解法以及capon最大似然法等，由于涉及许多复杂数学计算，在此未作详细数学推导，以下介绍几种常用的功率谱估计方法
一、非参数化方法（经典法）
经典功率谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗。
1、自相关法
又称相关函数法(BT法)，根据维纳—辛钦定理：平稳随机过程的自相关函数和功率谱函数是一傅里叶变换对，对于平稳随机信号来说，其相关函数是确定性函数，故其功率谱也是确定的．这样可由平稳随机离散信号的有限个离散值，求出自相关函数，然后作Fourier变换，得到功率谱。由于随机序列{X(n)}的自相关函数R(n)=E[X(n)X(n+m)]定义在离散点m上，设取样间隔为错误！未找到引用源。，可将随机序列的自相关函数用连续时间函数表示为错误！未找到引用源。
等式两边取傅里叶变换，则随机序列的功率谱密度
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
BT法是先估计自相关函数Rx(m)(|m|=0,1,2…,N-1),然后再经过离散傅里叶变换求的功率谱密度的估值错误！未找到引用源。。即
错误！未找到引用源。
其中错误！未找到引用源。可有式得到。
Fs=500; %采样频率
n=0:1/Fs:1; %产生含有噪声的序列
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*90*n)+ randn(size(n));
nfft=512;
cxn=xcorr(xn,'unbiased'); %计算序列的自相关函数，matlab函数 xcorr（求自相关函数）unbiased无偏
CXk=fft(cxn,nfft); %对cxn（即自相关函数）进行快速傅里叶变换，nfft为周期Pxx=abs(CXk); %对CXk（频谱）取绝对值（为什么取绝对值）
index=0:round(nfft/2-1); %计算出各点对应的功率谱
k=index*Fs/nfft;
plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));
figure(1)
plot(k,plot_Pxx);
2、周期图法
周期图法是把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅立叶变换，得x(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)真实功率谱的估计。Matlab代码示例2：
Fs=600;%采样频率
n=0:1/Fs:1;%产生含有噪声的序列
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*90*n)+0.1*randn(size(n));
window=boxcar(length(xn));%矩形窗
nfft=512;
[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);%直接法计算功率谱密度，xn为功率谱密度信号，window为窗口，nfft为采样点数， fs采样频率
plot(f,10*log10(Pxx));
window=boxcar(length(xn));%矩形窗
nfft=1024;
[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);%直接法
figure(1)
plot(f,10*log10(Pxx));
3、平均法
即Bartlett平均周期图法，是将N点的有限长序列x(n)分段求周期图再平均．将长度为N的数据分为L段，先对每段数据用周期图法进行谱估计，然后对L段求平均得到长度为N的数据的功率谱．
平均法可视为周期图法的改进。周期图经过平均后会使它的方差减少，达到一致估计的目的，有一个定理：如果错误！未找到引用源。是不相关的随机变量，且都有个均值错误！未找到引用源。及其方差错误！未找到引用源。，则可以证明它们的算术平均的均值为错误！未找到引用源。。
即：平均法将错误！未找到引用源。的N个数据分成L段（N=ML），若各数据段相互独立，则平方后估计量的方差是原来不分段估计量方差的错误！未找到引用源。。所以当错误！未找到引用源。时，估计量的方差趋于0，达到一致估计的目的。但是，随着分段数L的增加，M点数减少，分辨率减少，使估计变成有偏估计。相反，若L减少，M增加，虽偏差减少，但方差增大。所以，在应用中，必须兼顾分辨率和方差的要求来适当选择M和L的值。Matlab代码
fs=600;
n=0:1/fs:1;
xn=cos(2*pi*20*n)+3*cos(2*pi*90*n)+randn(size(n));
nfft=512;
window=hamming(nfft);%矩形窗
noverlap=0;%数据无重叠
p=0.9;%置信概率
[Pxx,Pxxc]=psd(xn,nfft,fs,window,noverlap,p);
index=0:round(nfft/2-1);
k=index*fs/nfft;
plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));
plot_Pxxc=10*log10(Pxxc(index+1));
figure(1)
plot(k,plot_Pxx);
figure(2)
plot(k,[plot_Pxx plot_Pxx-plot_Pxxc plot_Pxx+plot_Pxxc]);
