第3章有限变形讲解

第3章 有限变形§3.1 有限变形这时说的变形，除连续性条件外，没有其余任何条件。

小变形：小位移，小转动，小应变，)(21)(21,,,,i j j i ij i j j i ij u u u u +=-=εω有限变形：大位移，大转动，大应变对于一个微小六面体：小变形下变为一个平行六面体 有限变形下仍变为一个平行六面体 这一条件不变变形几何学方面来研究变形 四个问题： 1）记录2）什么办法来描述 3）怎么度量4）有没有办法将变形分解§3.2 物体的构形和坐标系物体：连续介质，变形前用0K 代表，变形后物体用t K 代表0K ：物体，物质点的集合,被始构形(material configuration)； t K ：变形后的物体,现时构形(spatial configuration)，P ：物质点p ：空间点，物质点在空间所占的位置。

初始坐标系 ⅢⅡⅠX X X O -k 1现时构形ⅠXⅡXⅢX)(K X P)(kx pXOod2xx 3x1xu现时坐标系 321x x x o -构形：每一瞬时与物质点对应的空间点的集合。

0=t 瞬时，初始构形 0K0K ：初始构形，X 点的坐标（K X ）t K ：现时构形，（瞬时t 的构形），x 点的坐标（k x ） 全部采用直角坐标系§3.3 描写物体运动和变形的方法1． Lagrange 描述法用物质坐标k X 作自变量（描述物体的运动和变形）(,) (,)k k K t x x X t ==x x X研究物质点在不同时刻所对应的空间点（着眼点：跟踪物质点运动状况）2． Euler 描述法用空间坐标k x 作自变量（描述物体的运动和变形）(,) (,)K K k t X X x t ==X X x研究空间点x 处对不同时刻流径这一空间的物质点（着眼点：跟踪在一个空间点上，不同时刻对应的物质点）（前者跟踪同一个人，不同晚上睡不同的床位，后者跟踪同一张床，不同晚上由不同的人去睡）位移点：u=+-u d x X （其中d 不随时间而变，X 也与t 无关）速度和加速度：分两种表述方法 1）Lagrange 法22(,)(,)K K X t tX t t ∂==∂∂===∂X v u x a v u2）Euler 法：（研究流体的流动等）(,)k x t =v v ——流场(,)d(,)d (,) k k k k k kkx t x x t t t x t x t v t x ∂∂∂==+∂∂∂∂∂=+∂∂v v a v v v物质导数=局部导数+迁移导数§3.4 变形梯度有限变形：记录（构形），描述⎩⎨⎧EL，度量（本节研究）物体的有限变形的研究，离不开一点的领域，或取一个线元。

变形前线元：d d K K PQ X ==⋅X E 变形后线元：d d K k pq x ==⋅x ex X d d →经历了一个长度的变化和方向的变化（它们的量都可能是很大的）1）Lagrange 法：物质坐标K X ——自变量p 点：),(t X x x K k k =q 点：),d (d t X X x x x K K k k k +=+求d x ：K KkK k K K k k X X x t X x t X X x x d ),(),d (d ⋅∂∂=-+= K K k k X X x x d d ∂∂=表示d x 和d X 的关系（可见Kk X x∂∂的重要性） KkX x ∂∂称为物质变形梯度张量F （称为“物质”的理由是物质坐标下的）。

即 K k Kk kKx X x F ,简写=∂∂= d d d d k kK K x F X ==x F X 变形前后线元之间的关系（包含了长度和方向） （*）x Ⅰ2变形前d x （方向、长度）变形后d x （方向、长度）下面验证F 是一个二阶张量km lm kl m l kl m l kl m k KM M m m k K k q q x xq x x q x x X X X x x x X x ==∂∂=∂∂=∂'∂'∂∂⋅∂∂⋅∂'∂='∂'∂δ类似KM KMQ x X ='∂∂ 即 T'=⋅⋅F q F Q∴F 为二阶张量，关系到两个坐标系，称为两点张量。

kk K Kx X ∂=⊗∂F e E F 对应于一个线性变换，（从（*）式看），包含了方向和长度的变换。

由此可见，F 包含了全部的有限变形信息。

Grad ∂==∂xF x X（所以称为变形“梯度”） kK k K F =⊗e E kk K Kx X ∂=⊗∂e E （各种不同的写法） r '=F qFQ2）Euler 法：用空间坐标k x ——自变量，t 作参变量。

P 点（与p 对应的物质点）：),(t x X X k K K =Q 点（与q 对应的物质点）：),d (d t x x X X X k k K K K +=+ k kKK x x X X d d ⋅∂∂=（知道现在线元，倒回去查原来的线元） 对应于一个由k x d 的线性变换。

空间变形梯度张量：1-F（ 以空间坐标为自变量）1,grad K K k K k K k kX Xx -∂∂===⊗=⊗∂∂F X E e X E e x 其实，F 与1-F互逆，所以以1-F定义。

§3.5 变形张量回顾变形梯度张量：,d d =F x F X 包含了全部信息变形张量只研究其长度改变的信息（不包含方向改变） 1）Lagrange 描述法：K X 作为自变量 变形前d X 的长度2d :(d )d d K K L L X X =⋅ 变形后d x 的长度2d :(d )d d d d k k kl k l l l x x x x δ=⋅=⋅上述K X d 应该是已知的，k x d 可求出的。

则LK L l K k kl L K lL kK kl L lL K kK kl X X x x X X F F X F X F l d d d d )d )(d ()d (,,2⋅=⋅==δδδL K L k K k X X x x d d dl)(,,2=∴变形张量C （称为Green 变形张量） C 为正定的（0)d (2≥c ）,,KL k K k L C x x =→C 为对称张量。

T ,,k K k L K Lx x ==⊗C F FC E E已知变形梯度张量可求出变形张量。

通过C 可直接算出长度的变化（优点）。

2）Euler 描述法：k x 作为自变量变形后的长度l d ：k k x x l d d )d (2⋅= （作为已知的） 变形前的长度L d ：2,,,,(d )d d d d d d d d K K KL K L KL K k L l k l K k L l k l L X X X X X X x x X X x x δδ=⋅=⋅==Cauchy 变形张量1-B1,,111()()K k K l k l TX X ----=⊗=B e e B F F通过变形梯度张量可求出变形张量。

§3.6 变形梯度张量的极分解变形梯度张量F 。

（若）F 是一个可逆张量，即1-F存在，则F 可写为：=⋅F R U 或 =⋅F V R右极分解 左极分解上述分解存在且唯一的，R 是正常正交张量，表示转动，所以记为R ，U 和V 是对称、正定张量。

1．右极分解的证明若 =⋅F R U 成立，且R 为正交张量，U 为对称正定张量。

T T T T T ()=⋅=⋅=⋅F R U U R U R则 T T ()()=⋅⋅=⋅F F U R R U U U 又 T=F F C 为正定的，对称轴，∴ 由F 可找到U ，且U 为正定、对称的。

又 1-=⋅R F UT 1TT1T111U-----=⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=R U F R R U F F U U U U I∴R 为正交张量。

2．右极分解的唯一性设 ''=⋅=⋅F R U R UT T 2TTT2()()'''==⋅⋅'''''''==⋅=⋅⋅=U R F R R UU U U U U UR R R R U U'∴=U U ，由此可推得 '=R R3． 左右极分解中的R 是相同的。

=F RU 又 *=⋅F V R***T ***T *()()==⋅⋅=⋅⋅F VR R R V R R R V R上式为一右极分解，因为右极分解是唯一的，则*=R R 同时由上式可得：T =⋅⋅U R V R U ：右伸长张量 V ：左伸长张量 U 和V 是相似张量。

则 T=V RUR§3.7 Lagrange 标架和Euler 标架通过这两个标架的学习了解,,R U V 的几何意义。

=⋅⎧⎨=⋅⎩F R UF V Rd d =⋅x F X F 相当于一个变换。

变形后线元；变形前线元1．右极分解d d d =⋅=⋅⋅x F X R U X将d X 先进行U 变换，再进行R 变换。

U 正定对称二阶张量， 对称张量，存在三个互相垂直的主方向，αM （1,2,3=α）（ 正定）对应有三个主值（非负）(111222333α)αα=Λ⊗=Λ⊗+Λ⊗+Λ⊗U M M M M M M M MLagrange 标架：123,,M M M 作为基矢 第一步：(d d α)αα⋅=Λ⊗⋅U X M M Xd d X αα=X M 也按Lagrange 标架分解。

()(d d d X X αααββα)αα=Λ⊗⋅=ΛU X M M M M第二步：d (d )⋅=⋅F X R U X 即 (d d X α)αα=Λx RM 又 (d d X α)αα=Λx m则：αα=⋅m R M （变换后仍为矢量）正交张量：有体内积性质，即，有αM 为单位矢量，正交变换后的αm 仍为单位矢量，但方向改变，且αM 仍为三个互为正交的。

αm 三个相垂直的方向——Euler 标架根据前面两步可知：U 右伸长张量，R 转动张量。

２．左极分解d d d ==⋅⋅x F X V R X第一步：d d X αα⋅=⋅R X R M （保内性质）d X αα=m （长度不变，但投影到Euler 标架上） 第二步：d ?⋅=V R X令TT(α)αα==⋅Λ⊗⋅V RUR R M M Rd (α)α=Λ⊗m mEuler 标架是V 的三个主方向，以123,,m m m 作为基矢。

设(α)αα=λ⊗V m m 则)()Λ=ααλ(∴U 和V 主方向不同，主值相等。