高考数学(理科)一轮复习：5.3《平面向量的数量积及其应用》ppt课件

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|a|2 (3)a· a＝ ，|a|＝ a· a.
(4)cos〈a，b〉＝ (5)|a· b|
≤
a· b |a||b| .
|a||b|.
3．数量积的运算律： (1)交换律：a· b· . b＝ a
c (2)分配律：(a＋b)· a· c＝ c＋b· . b a· (3)对λ∈R，λ(a· b)＝ (λa)· ＝ (λb) ．
(
)
解析：|a· b|＝|a|· |b||cos θ|，只有a与b共线时，才有|a· b| ＝|a||b|，可知B是错误的． 答案：B
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2．(2011· 辽宁高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)， a· (2a－b)＝0，则k＝ ( )
A．－12
C．6
B．－6
D．12
解析：∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)， 由a· (2a－b)＝0，得(2,1)· (5,2－k)＝0 ∴10＋2－k＝0，解得k＝12. 答案： D
即18＋3x＝30，解得：x＝4. [答案] C
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[例2]
π (2011· 江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为3，若向
量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·2＝________. b
[自主解答] b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·2＝(e1－2e2)· 1＋ b (3e
第 四 章 平 面 向 量、 数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入
第三 节
平面 向量 的数 量积
抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
及向
量的 应用
提 能 力
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[备考方向要明了] 考 什 么

θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影. 想一想 b 在 a 上的投影是向量吗?
答案:不是,b 在 a 上的投影是一个数量|b|cos<a,b>,它可以为正, 可以为负,也可以为 0.
梳理自测
-5-
(2)向量数量积的运算律
①a·b= b·a (交换律) ②(a+b)·c= a·c+b·c (分配律) ③(λa)·b= λ(a·b) =a·(λb)(数乘结合律).
梳理自测
-6-
3.平面向量数量积的性质
已知非零向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2)
性质
几何表示
定义
a·b=|a||b|cos<a,b>
a·a=|a|2 或|a|= ������·������
模 若 A(x1,y1),B(x2,y2),则������������=(x2-x1,y2-y1)
a⊥b 的充要条件 a·b=0
π∴cos θ=������·������ = 4 = 1(θ 是 a 与 b 的夹角).∴θ=π.
3
|������||������| 2×4 2
3
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解析 答案
探究突破
-12-
考点一 平面向量数量积的运算
【例 1】 (1)在等边△ABC 中,D 为 AB 的中点,AB=5,求������������ ·������������,|������������|; (2)若 a=(3,-4),b=(2,1),求(a-2b)·(2a+3b)和|a+2b|.
夹角
cos<a,b>=|������������·||������������| (|a||b|≠0)

11
课堂总结
法二 以射线 AB，AD 为 x 轴，y 轴的正方 向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(1， 0)，C(1，1)，D(0，1)，设 E(t，0)，t∈[0，1]，
则D→E＝(t，－1)，C→B＝(0，－1)，所以
D→E·C→B＝(t，－1)·(0，－1)＝1.
因为D→C＝(1，0)，所以D→E·D→C＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，
(4)两非零向量 a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤
x21＋y21· x22＋y22.
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3
课堂总结
3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
b 的夹角为钝角．
( ×)
(5)a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c.
( ×)
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5
课堂总结
2．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－
b|＝ 6，则 a·b＝
A．1
B．2
C．3
D．5
()
解析 ∵|a＋b|＝ 10，∴a2＋2a·b＋b2＝10.
①
又|a－b|＝ 6，∴a2－2a·b＋b2＝6.
D→E·C→B＝(D→A＋A→E)·C→B＝
二利用向量的坐标运算；法 三利用数量积的几何意义，
D→A·C→B＋A→E·C→B＝D→A2＝1， 你不妨试一试．
D→E·D→C＝(D→A＋A→E)·D→C＝D→A·D→C＋A→E·D→C

【解析】 ①∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝12，
又∵|a|＝1，∴|b|＝
2 2.
1
设 a 与 b 的夹角为 θ，则 cosθ＝|aa|··b|b|＝
2
＝ 2
22，
1·2
∴θ＝45°.
②∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝12，
∴|a－b|＝
2 2.
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝52，
－b)＝0，则 k＝( )
A．－12
B．－6
C．6
D．12
答案 D
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由 a·(2a －b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得 k＝ 12.
5．(2011·江西)已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为3π， 若向量 b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
④中当|a|＝|b|但 a 与 c 的夹角和 b 与 c 的夹角不等时， 就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|.故命 题④是假命题．
⑤如图②，∵|a|＝|b|＝|a－b|， ∴△OAB 为等边三角形， 而 a＋b＝O→C，∴a 与O→C夹角为 30°. 失分警示 解决向量问题常常要数形结合，a·b 等于 a 乘以 b 在 a 方向上的投影，或等于 b 乘以 a 在 b 方向上 的投影．
②中∵a·b＝|a|·|b|·cos θ，∴由|a·b|＝|a|·|b|及 a、b 为非 零向量可得|cos θ|＝1，∴θ＝0 或 π，∴a∥b 且以上各步 均可逆，故命题②是真命题．
③中当 a⊥b 时，将向量 a、b 的起点确定在同一点， 则以向量 a、b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形必 为矩形，于是它的两对角线长相等．即有|a＋b|＝|a－b|. 反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以 a、b 为邻边的四边形为 矩形，所以有 a⊥b，因此命题③是真命题．