考点五 函数的周期性 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值 时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周 期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在最小的正数,那么这个最小正数 就叫做f(x)的最小正周期. 【注意】 并不是所有的周期函数都有最小正周期,如f(x)=5.
偶函数
考点四 函数的奇偶性
满足的 充要条件
图象 特征
对定义域中任意的x,都 关于原
有f(-x)=-f(x)
点对称
对定义域中任意的x,都 关于y轴
有f(-x)=f(x)
对称
【注意】 既是奇函数又是偶函数的函数只有一个,即f(x)=0,x∈D.其中定 义域D是关于原点对称的非空数集. 【知识拓展】 1)对于奇函数: ①如果定义域中包含0,那么f(0)=0; ②若函数在关于原点对称的区间上有最值,则f(x)max+f(x)min=0; ③在关于原点对称的区间上单调性相同. 2)对于偶函数: ①f(x)=f(|x|); ②在关于原点对称的区间上单调性相反.
减函数,又因为f(-4)=0,所以f(4)=0,作出函数f(x)的大致图象如图所示.
由 f (x 4) f (x 4) >0,得 f (x 4) f [(x 4)] >0,即 2 f (x 4) >0,
x
x
x
则有
f x
(x 0
4)
0,
或
f x
(x 0,
4)
0,
则 x 40,x
C. f(x)=ln 2 x
2 x
D. f(x)=e-x-ex
(2)(202X河北张家口一模,8)设f(x)是R上的奇函数,且f(x)在(-∞,0)上是减