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动点产生的等腰三角形

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新尚教育·教学管理部 - 1 - 新尚教育学科教师辅导讲义

讲义编号

学员日校： 年 级： 课时数：

学员姓名： 辅导科目： 数学 学科

学科组长签名 组长备注

课 题 因动点而产生的等腰三角形

授课时间： 备课时间：

教学目标

1.图形的变化过程中，可以构成等腰三角形的点的存在性问题

重点、难点

1、动点坐标的设置

2．等腰三角形分类讨论

3..坐标系中三角形边长的表示

4.动点移动的路程

5.与基础三角形相似的三角形

考点及考试要求

1、动点坐标的设置

2．等腰三角形分类讨论

3..坐标系中三角形边长的表示

4.动点移动的路程

5.与基础三角形相似的三角形

教学内容

（第一环节：上次课测试评讲及复习巩固）

【知识点讲解】

1.怎样设动点坐标

（1）若动点在x轴上，因为横坐标x在变化，纵坐标y没有变化，始终等于0，所以可设动点的坐标为（x，0）

若动点在y轴上，横坐标x没有变化，始终等于0，纵坐标y在变化，所以可设动点坐标为（0，y）

（2）若动点在函数fx上，则横坐标设为x，纵坐标设为fx，例如，点A在反比例函数3yx的图象上，设,Axy，因为3yx，所以用3x来代替y，这种情况一般就直接设3,Axx；又如，点B在一次函数122yx上，直接设1,22Bxx

新尚教育·教学管理部 - 2 - 2.等腰三角形要分类讨论

如图1-1，一个三角形为等腰三角形时，存在三种情况：AB=AC;AB=BC;BC=AC

3.坐标系中三角形边长的表示

如图1-2，若三角形AOB的三个顶点在平面直角坐标系中，设A11,xy,22,Bxy,则A,B两点的距离公式为；

AB=221212xxyy,用同样的方法,把其他两条边的距离也写出来,OA=2211xy,OB=2222xy,若需说明AOB为等腰三角形，则按照图1-1的方法，让三角形两两相等，解方程

4.动点的移动路程

如图1-8，点P由点C向点A移动，速度是每秒1cm，设运动的时间为t秒，则路程CP=速度×时间=1×t=t；点Q由点B向点C移动，速度是每秒2cm，设运动的时间为t秒，则路程BQ=2×t=2t

点的运动，是中考常见题型，需熟练掌握

新尚教育·教学管理部 - 3 - 5.学了相似三角形以后，通过作等腰三角形底边上的高，构造一个与基础三角形相似的三角形，通过相似比，探求点的存在性

如图1-13，已知PRQ为等腰三角形且PQ=PR,AB=5,AH=4,BPQR,PQ=125,求RQ，而RQ没有其他条件求不出来。我们可以作底边上的高PG，利用等腰三角形三线合一的性质，得到PG平分QR，令QR=x，所以QG=2x，从已知不难得到RtQPG与RtBAH相似，利用相似比PQQGABBH,得到125253x解出x

【经典例题与解题技巧】

例1：如图1-3，在直角坐标系XOY中，反比例函数8yx的图象上的点A,B的坐标分别是2,m，,2n，点C在x轴上，且ABC为等腰三角形，求点C的坐标

新尚教育·教学管理部 - 4 -

例2：如图1-7,点,2Am是正比例函数和反比例函数的交点，ABy轴于点B，OB=2AB,

(1)求正比例函数和反比例函数的解析式

(2)求正比例函数和反比例函数的另一个交点C的坐标

(3)在y轴上是否存在一点D，使ACD为等腰三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由

例3：如图1-9，在直角梯形ABCD中，AD//BC,C=90O,BC=12,AD=18,AB=10.动点P,Q分别从点D,B同时出发，动点P，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动，设运动的时间为t秒，射线PQ与射线AB相交于点E，AEP能否为等腰三角形？如果能，求出t的值，如果不能，说明理由

新尚教育·教学管理部 - 5 - 例4：如图1-14，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，D,E分别是边AB,AC上的两个动点，（D不与A,B重合），且保持DE//BC,以DE为边，在点A的同侧作正方形DEFG。设AD=X,当BGD是等腰三角形时，求AD

例5：如图1-18在直角三角形ABC中，直角边AC=6cm,BC=8cm，设P,Q分别为AB,BC上的动点，点P自点A沿AB方向向点B作匀速移动且速度为每秒2cm，同时点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，且速度为每秒1cm，当点P到达点B式，Q点就停止移动，设P，Q移动的时间为t秒，当t为何值，PBQ为等腰三角形

例6如图1-22所示，已知抛物线221yxxm与x轴相交于A,B两点，与y轴相交于A,B两点，与y轴相交于点C，其中点C的坐标是（0,3），顶点为点D，连接CD，抛物线的对称轴与x轴相交于点E，

（1）求m的值

（2）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P，使得PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标，如果不存在，请说明理由

新尚教育·教学管理部 - 6 - 【课堂练习】

1.如图，反比例函数经过点A（-2，3）

（1）求这个反比例函数的解析式

（2）在x轴上是否存在点B，使AOB为等腰三角形，如果存在，求出点B的坐标，如果不存在，请说明理由

2.直线2yx与x轴交于点A，与y轴交于点B，P是直线AB上的一个动点，如果POA是等腰三角形，求点P的坐标

3.如图，已知一次函数112yx的图象与x轴，y轴分别相交于点A,B

（1）求A,B的坐标

（2）如果点C在一次函数112yx的图象上，并且AOC是等腰三角形，求出满足条件的所有点C的坐标

4.已知解析式222yxx的抛物线顶点为P点A的坐标为（-1，-1），点B的坐标为（1，m），且m<3,若ABP是等腰三角形，求点B的坐标

新尚教育·教学管理部 - 7 - 5.如图，已知抛物线2142yxx与y轴的交点为c，与x轴交于点A，B，平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2,0)问：是否存在这样的直线l，使得ODC是等腰三角形，存在，求P坐标，不存在，说明理由

6.如图在直角梯形ABCD中，AD//BC,090C,BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2单位的速度移动，动点Q从C出发，在线段CB上以每秒1单位速度向B移动，点P,Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到B时，点P随之停止运动，设运动的时间为t秒，当t=？时，以BPQ为顶点的三角形是等腰三角形

新尚教育·教学管理部 - 8 - 【课后作业】

1.在直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为（1,0），点C的坐标为（0,4），直线CM//X轴（如图），点B与点A关于原点对称，直线yxb（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD

(1)求b的值和点D的坐标

(2)设P在x轴的正半轴上，若POD是等腰三角形，求P坐标

(3)在（2）的条件下，如果以PD为半径的园与圆O外切，求O的半径

2.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB=4，BC=6，060B,

(1)求点E到BC得距离

(2)点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M,过M作MN//AB交折线ADC与点N，连结PN，设EP=X

1)当N在线段AD上时，如图2，PMN的形状是否变化，如果不变，求出PMN的周长，若改变，请说明理由

2)当N在线段DC上时，如图3，是否存在点P，使PMN为等腰三角形，若存在，求出x，不存在，说明理由

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等腰三角形中的动点问题讲义

等腰三角形中的动点问题讲义

等腰三角形性质及分类讨论（讲义） 

一、知识点睛 

1. 在等腰三角形中，顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（也称“三

线合一”），这是等腰三角形的重要性质．，这是等腰三角形的重要性质．

2. 在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，

尝试构造等腰三角形．尝试构造等腰三角形．

3. 分类讨论的类型：分类讨论的类型：

①定义法则．①定义法则．

如绝对值，平方，完全平方式等．如绝对值，平方，完全平方式等．

②关键词不明确．②关键词不明确．

如等腰三角形的角（底角与顶角），边（底边与腰）等．，边（底边与腰）等．

③位置不确定．③位置不确定．

如线段端点的位置，角的位置，高等．如线段端点的位置，角的位置，高等．

④对应关系不确定．④对应关系不确定．

如两部分的差，全等三角形对应关系等．如两部分的差，全等三角形对应关系等．

4. 分类讨论题目解题要点：分类讨论题目解题要点：

①辨识类型；①辨识类型；

②画出各种类型的图形并求解；②画出各种类型的图形并求解；

③根据标准进行取舍．③根据标准进行取舍．

标准包括限制条件，实际意义等．标准包括限制条件，实际意义等．

二、精讲精练 

1. 已知：如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，

BE交于点O．求证：AB=AC． 

AOEC

DB

2. 已知：如图，在△ABC中，∠A=90º，AB=AC，BD平分平分

∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于E，若CE=5cm，求BD的长．的长．

A

BE

CD

3. 如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CF平分∠ACB，交

AB于F，AF=BF．求证：BC=CD． 

F

DCBA

4. 如图，在△ABC中，点E在AB上，AE=AC，连接CE，点G为EC的中点，连

接AG并延长交BC于D，连接ED，过点E作EF∥BC交AC于点F． 

求证：EC平分∠DEF． 

GE

BF

C

DA

5. （1）若4x2

动点问题(一)等腰三角形与直角三角形

动点问题(一)等腰三角形与直角三角形

动点问题（一）等腰三角形与直角三角形 1、已知平行四边形ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°若点P从点A沿AB运动，速度是1cm/s。当t为何值时，△PBC为等腰三角形？

2、抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

DCBA7 4

3、已知：直线121yx与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线cbxx221y与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．

（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．

练：如图点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

等腰三角形的动点问题

等腰三角形的动点问题

等腰三角形的动点问题

数学题就像一场找不到终点的旅行。你从一个点出发，沿着复杂的路径走，最后不知道自己到底走到了哪里。今天我们就来聊聊等腰三角形的动点问题。这个题目听上去挺深奥的，实际上它的背后藏着不少有趣的小秘密，只要你敢跟我一起去探索，保准你能一笑而过，轻松搞定。

咱们得弄清楚什么叫“等腰三角形”。说白了，就是两个边长一样的三角形，像什么呢？就像一把弯弯的弓，或者是你吃过的那种蘋果派，上下两侧都是对称的。你看着它，觉得它仿佛能站得稳，能做个大跳跃，不管你怎么摆弄它，左右两边始终如一，这就叫做等腰。是不是感觉有点像朋友之间的默契，心有灵犀一点通，彼此不言而喻？

但如果把问题复杂化一点，假设这个等腰三角形的某个点可以自由移动，这个点能左右自如地跑，那么问题就来了。动点的位置会随着它的运动而变化。你是不是已经开始脑补自己在画图纸，手握圆规，试图画出那条完美的弧线？嘿，别急，咱们先来一步步搞清楚。

想象一下，你站在等腰三角形的底边上，而底边的两端分别叫做点A和点B。你就在这条底边上找了个地方，选个地方蹲下来。你的任务是让你蹲的地方能够移动，往左往右，一下子又到了点C。那你猜猜，点C移动之后，会发生什么？是不是整个三角形看起来有点“变形”？对，就是这么神奇！你想，底边上某个点的每一次变动，都能影响这个等腰三角形的形状，像是给这个三角形施了魔法一样，它的对称性也会随之发生微妙的变化。

是不是觉得有点复杂了？别急，听我慢慢给你道来。动点在底边上跑，大家最关心的应该是它的位置对三角形对称性的影响。你看，如果点C在底边上偏左，那三角形

的“腰”就会相应变得不对称；但如果它正好站在底边的正中间呢？哇塞，这时候你会发现，整个三角形变得更加对称了。嗯，就像有些情侣，你知道他们总是能巧妙地让彼此的步伐同步，简直是天作之合。

再往下想，等腰三角形的动点究竟能跑到哪里？有没有什么规律？是不是动点的每一步都能让你摸到点窍门？嗯，真是的，这问题不简单啊！不过说实话，如果你仔细观察，就会发现它其实有点像一个自我约束的个体。动点虽然可以随便跑，但它不敢跑得太远。每当它在底边上变动时，三角形的形状好像在提醒它：嘿，别走得太远啊，你还得守住我们的“秘密”呢！就像我们身边那些守规矩的朋友，总在某个区域内转悠，总不会离开自己的舒适区。

多动点等腰三角形解法例析

多动点等腰三角形解法例析

多动点综合题中等腰三角形的解法例析

松江区立达中学 庄士忠 201600 松汇西路1260号

动态几何题信息量大，经常把数与方程、函数与几何、函数与解直角三角形、函数与面积等联系在一起。解题时要用运动和变化的眼光去观察、思考、研究问题，把握图形运动、变化的全过程，综合运用函数、方程、分类讨论、数形结合等数学思想去解决问题。

一、两个动点在一个角的两边上“逆向”运动，另一个定点在角的顶点上的等腰三角形

【例1】，已知直线的解析式为，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线从点C向点B移动。点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（）。（1）求直线的解析式。（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式。

（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？

图（1）

解：（1）过程略，答案：的解析式为

（2）过程略，答案：=

（3）【分析】①确定定点、动点、运动方向

这类问题首先要弄清楚对于△PCQ而言，那些是顶点是动点，那些点是定点，动点在哪条线上运动，运动方向是怎样的，所以我们在图（1）上标出了△PCQ的动点（P、Q）和定点（C），以及P、Q的运动方向，由此我们可以看出这个动点三角形属于两个动点在一个角的两条边上“逆向”运动，另一个定点在角的顶点上的等腰三角形。

②画出动态三角形形成等腰三角形的截图（“动”中取“静”）

按照运动时间先后的顺序，往往存在三种情况，这里体现了分类讨论的思想，⊿PCQ的三边两两分别相等，如图①QP=QC，②CP=CQ，③PC=PQ，这个过程需要读者在备用图中试画。只有画出来才能求出来，所以这一步在整个问题中是相当关键的，注意不要重复和遗漏。

③在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程