阻尼振动周期
由于质点的运动不可能每经过一定时间便完全重复出现，因此阻尼振动不是周期运动。不过cos(ωt+φ)是周期变化的，他使得质点每连续两次通过平衡位置并沿着相同方向运动所需的时间是一样的，于是把cos(ωt+φ)的周期叫做阻尼振动的周期用表示。与数学上通常理解的周期不同。
原创）弹簧振子会永远振动吗？（图）
科学的皇后 2008-07-08 23:21:39 阅读161 评论10 字号：大中小订阅上次周法哲说到一个弹簧振子，假定滑块是一个质点，质量为m，质点运动
的动能和弹簧的弹性势能不断互相转化，滑块会在初始位置O点的左右永远振动下去，且振幅保持为A不变。如下图所示：
描述这个弹簧振子系统的振动方程为
（1）
可以看出它是一个二阶齐次线性常微分方程，其解可为：
（2）
其时域波形如下图，是个正弦波：
但是，实际上由于振子系统不是完全孤立的，除受系统内部弹簧的弹性力外，还受系统外界的干扰作用。比如滑块体积不为0，运动中必然受空气的阻力；平面不光滑，滑块受到摩擦力。这些摩擦力会消耗一部分机械能转化成热量散发到系统以外。这些“反动”作用叫做摩擦阻尼。一般的机械振动中，振动的质点带动邻近的质点振动，振子的部分机械能必然传递给邻近的质点，即振子的能量要辐射出去一部分，振子系统的这种能量耗散叫做辐射阻尼。
无论摩擦阻尼还是辐射阻尼的作用，事实上都会使振子系统的机械能有所耗散。所以实际中的振子系统不可能永远振动下去。这种受外界阻尼作用的振动，物理学上叫做阻尼振动。
阻尼振动系统描述仍然可用微分方程，只不过需要考虑阻尼因素的作用。在振动速率v << 光速c时，阻尼作用相当于振子受到了一个正比于振动速率v的阻力f ：
（3）
根据牛顿第二定律可得振子系统的振动方程为：
（4）
其中
称为阻尼系数。而
可以看作系统固有的谐振圆频率。
可以看出式（4）是一个二阶齐次线性常微分方程，它所描述的系统会做什么样的运动？关键要看阻尼作用的大小。下面听周法哲为你一一分析：
1、当没有阻尼作用时，即阻尼系数β＝0 时，方程（4）回到简谐振动方程（1），其解可为式（2）所表述的正弦波函数，系统永远作等幅振动。
2、当阻尼作用较小时，即阻尼系数满足条件
时，方程（4）的解可为：
（5）
其中A0和φ为由初始条件决定的积分常数，振动的“圆频率”为
式（5）表述的振子位移曲线x（t）如下图：
可以看出其振动“周期”没有变，但振幅却按照指数规律衰减，从初始的最大振幅为A0 逐渐衰减为0，振子最终稳定下来，静止在平衡位置。这就是我们通常所说的阻尼振动或阻尼振荡。
3、当阻尼作用刚好达到某种平衡时，即阻尼系数满足条件
时，方程（4）的解可为：
（6）
其中c1和c2为积分常数。式（6）表述的振子位移曲线x（t）如下图：
可以看出阻尼作用抵消了振子振动的机械能，恰恰形不成周期振动，质点运动的速率较小，在系统能量消耗完毕时，恰好回到平衡位置，静止下来。这就是我们通常所说的临界阻尼情况。
4、当阻尼作用较大，超过临界值时，即阻尼系数满足条件
时，方程（4）的解可为：
（7）
其中c1和c2为积分常数，并且：
式（7）表述的振子位移曲线 x（t）如下图：
可以看出阻尼作用大大抵消了振子振动的机械能，根本形不成周期振动，质点运动的速率很小，需要经过相当长的时间过程，才能回到平衡位置静止下来。这就是我们通常所说的“过阻尼振动”情况，实际上毫无“振动”可言。
世界上大部分物体振动，实际上都属于上述各种情况的阻尼振动，宏观上系统振动能量不衰减的等幅振动或等幅振荡，一定是在特殊条件下的理想状态。
实验13 气垫导轨上弹簧振子振动的研究
力学实验最困难的问题就是摩擦力对测量的影响。气垫导轨就是为消除摩擦而设计的力学实验的装置，它使物体在气垫上运动，避免物体与导轨表面的直接接触，从而消除运动物体与导轨表的摩擦，也就是说，物体受到的摩擦阻力几乎可以忽略。利用气垫导轨可以进行许多力学实验，如测速度、加速度，验证牛顿第二定律、动量守恒定律，研究简谐振动、阻尼振动等，本实验采用气垫导轨研究弹簧振子的振动。 一、必做部分：简谐振动 [实验目的]
1．测量弹簧振子的振动周期T 。
2．求弹簧的倔强系数和有效质量 。 [仪器仪器]
气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 [实验原理]
在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图13-1所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐振动。
设质量为m 1的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为x 0，当m 1距平衡点x 时，m 1
只受弹性力与的作用，其中k 1是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 （1）
令
方程（1）的解为
（2）
说明滑块是做简谐振动。式中：A —振幅；
—初相位。
（3）
叫做振动系统的固有频率。而
（4）
式中：m —振动系统的有效质量；m 0—弹簧的有效质量；m 1—滑块和砝码的质量。
由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与
有下列关系：
（5）
在实验中，我们改变m 1，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出和。 [实验内容]
1．按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。
2．测量图13-1所示的弹簧振子的振动周期T ，重复测量6次，与T 相应的振动系统的有效质量是，其中m 1就是滑块本身（未加砝码块）的质量，m 0为弹簧的有效质量。
3．在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤2测量相应的周期T
，这时系统的有效质量
，其中m2应是滑块本身质量加上两块砝码的质量和。
4．再用和测量相应的周期T。式中：“4块
砝码的质量”；“6块砝码的质量”。（注意记录每次所加砝码的号数，以便称出各自的质量。）
5．测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。
6．在天平上称衡两弹簧的实际质量与其有效质量进行比较。
7．求出弹簧的倔强系数和有效质量，以及弹簧的有效质量与实际质量之比。
[数据处理]
1．用逐差法处理数据。
由下列公式：
（6）
（7）
故（8）
如果由（7）式得到的数值是一样的（即两者之差不超过测量误差的范围），说明（5）式中T与m的关系是成立的。将平均值代入（6）式，得
（i=1, ……，4）（9）
（10）
平均值就是弹簧的有效质量。
2．用作图法处理数据
以为纵坐标，m i为横坐标，作图，得直线。其斜率为，截距为，由此可求出k和m0。
[思考题]
仔细观察，可以发现滑块的振幅是不断减小的，那么为什么还可以认为滑块是做简谐振动？实验中应如何尽量保证滑块做简谐振动？
二、选做部分：阻尼振动
[实验目的]
1．观测弹簧振子在有阻尼情况下的振动，测定表征阻尼振动特性的一些参量，如对数
减缩、驰豫时间、品质因数Q的方法；
2．利用动态法测定滑块和导轨之间粘性阻尼常量b。
[实验仪器]
气垫导轨，滑块，弹簧，光电门，数字毫秒计，附加物。
[实验原理]
一个自由振动系统由于外界和内部的原因，使其振动的能量逐渐减少，振幅因之逐渐衰
减，最后停止振动，这就是阻尼振动。在单摆和天平的实验中我们观察到阻尼振动，实际上
不仅在力学实验中，也不限于机械运动，例如，电流指针的运动，LRC振荡电路中的电流、
电压变化等也是阻尼振动。
本实验的阻尼谐振子由气垫导轨上的滑块和一对弹簧组成，如图13-2。此时滑块除受
弹簧恢复力作用外，还受到滑块与导轨之间的粘性阻力的作用。在滑块速度较小时，粘性阻
和滑块的速度成正比，即
力F
阻
（11）
图13-2阻尼振动原理图
式中b为粘性阻尼常量。气垫导轨上由滑块和一对弹簧组成的振动系统，在弹性力kx和阻
作用下，滑块的运动方程为
尼力F
阻
（12）
式中m为滑块质量。令，其中常数称为阻尼因数，为振动系统的固
有频率，则式（12）可改写为
（13）
当阻力较小时，此方程的解为
（14）
其中，而阻尼振动周期T为
（15）Array由以上可知，阻尼振动的主要特点是：
1．阻尼振动的振幅随时间按指数规律衰减，如图13-3，即
。显然，振幅衰减的快慢和阻尼因数的大小有关，而，因而和粘性
阻尼常量b及振子质量m有关。
2．阻尼振动周期T要比无阻尼振动周期略长，阻尼越大，周期越长。
为直观地反映阻尼振动的衰减特性，常用对数减缩、弛豫时间及品质因数Q来表
示。在弱阻尼情况下，它们清楚地反映了振动系统的振幅及能量衰减的快慢，而且提供了粘
性阻尼常量b的动态测量方法。
（1）对数减缩
是指任一时刻t的振幅A（t）和过一个周期后的振幅A（t+T）之比的对数，即
（16）
将代入上式，得
（17）
即测出，就能求得或b。
（2）弛豫时间
它是振幅A0衰减至初值e-1(=0.368) 倍所经历的时间，即
所以
（18）（3）品质因数Q
一个振动系统的品质因素又称Q值，是一个应用极为广泛的概念，它在交流电系统及无线电电子学中是一个很常见的术语。品质因数是指振动系统的总能量E与在一个周期中所损耗的能量?E之比的2π倍，用Q表示，则
（2-19）阻尼振动中，能量的损耗是由于克服阻尼力作功而造成的，其作功的功率等于阻尼力的大小bv乘以运动速率v，即等于bv2。在振动时，bv2是一个变量，可用一个周期中的平均值作为这一周期中的平均效果。这样，一个周期中的能量损耗?E等于一个周期中克服阻尼力作的功，所以
而对于振动系统而言，一个周期中的平均动能等于平均势能，且均等于总能量的一半，即
因而（20）
综合式（20）、（17）、（19），得出
（21）从以上的讨论可知，只要测出阻尼振动的对数减缩，就能求出反映阻尼振动特性的其它量，如。
[实验内容]
1．利用半衰期法求。测定滑块、弹簧组成的阻尼谐振子的对数减缩，弛豫时间
及品质因数Q。
半衰期是指阻尼振动的振幅从初值A0减到A0/2时所经历的时间，记为T h，则
由此可得
参照式（16）可得，（22）
用停表测出阻尼谐振子的振幅从A0减小到A0/2的时间T h及周期T，计算对数减缩，进而求出和Q值以及阻尼常量b值。
2．考查振子质量及弹簧的劲度系数k对阻尼振动各常数的影响。
在滑块上附加质量、改换不同劲度系数的弹簧再测值，从对比中分析其影响。
[思考题]
1．阻尼振动周期比无阻尼（或阻尼很小时）振动周期长，你能否利用此实验装置设法加以证明？
2．讨论在振动系统的m和k相同的情况下，阻尼的大小对对数减缩及品质因数Q 的影响。
3．现有直径不同而质量相同的有机玻璃圆板，可安装在滑块上，圆板面和振动方向垂直，滑块在振动时在有机玻璃板的后面将产生空气的旋涡，这时有压差阻力作用在圆板上。研究加上圆板后，振动系统粘性阻尼常量b将如何变化？b值和圆板面积大小有何关系？
弹簧振子的简谐振动 弘毅学堂汪洲 26 实验目的： （1）测量弹簧振子的振动周期T。 （2）求弹簧的倔强系数k和有效质量0m 实验器材 气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 实验原理： 在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图2.2.4所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐运动。
设质量为1m 的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为0x ，当1m 距平衡点x 时，1m 只受弹性力10()k x x -+与10()k x x --的作用，其中1k 是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 1010()()k x x k x x mx -+--=&& 令 12k k = 则有 kx mx -=&& ① 方程①的解为 00sin()x A t ω?=+ 说明滑块做简谐振动。式中，A 为振幅，0?为初相位，0ω叫做振动系统的固有圆频率。有 0k m ω=
且 10m m m =+ 式中，m 为振动系统的有效质量，0m 为弹簧的有效质量，1m 为滑块和砝码的质量。 0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系 222T πω= == ② 在实验中，我们改变1m ，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。 实验内容： （1）按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。 （2）将滑块从平衡位置拉至光电门左边某一位置，然后放手让滑块振动，记录A T 的值。要求记录5位有效数字，共测量10次。 （3）再按步骤（2）将滑块从平衡位置拉至光电门右边某一位置测量B T ，重复步骤（2）共测量10次。 取A T 和B T 的平均值作为振动周期T ，与T 相应的振动系统有效质量是 10m m m =+，其中1m 就是滑块本身（未加砝码块）的质量，0m 为弹簧的有效质量。 （4）在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤（2）和步骤（3）测量相应的周期。有效质量20m m m =+，其中2m 为滑块本身质量加上两块砝码的质量和。 （5）再用30m m m =+和40m m m =+测量相应的周期T 。式中， 3m =1m +“4块砝码的质量” 4m =1m +“6块砝码的质量” 注意记录每次所加砝码的号码，以便称出各自的质量。
发动机试验铸铁平台空气弹簧隔振系统 设备技术规范 1.1设备名称、数量及功能要求 1.1.1设备功能 能确保发动机性能试验正常运行，保证发动机测试设备的平稳性及较高的测试精度。 1.1.2台架减震系统工作环境及技术参数： ?试验室温度环境：5—50℃ ?试验室湿度：≤95% ?压缩空气压力：≤6bar 1.2方案要求 1.2.1一般要求： 本项目为交钥匙工程。瑞博发承担铸铁地板及减震系统的设计制造、运输、现场搬运、现场安装，提供铸铁地板、减振系统及其它安装附件，制定支撑钢板预埋方案及位置精度要求，现场指导基建施工单位进行预埋。设计混凝土减振质量块，减振弹簧数量，位置安装调试。 1.2.2★铸铁平板技术要求适用标准： ?GB/T9439-2010灰铸铁件 ?GB/T22095-2008铸铁平板 ?GB/T 6414-1999铸件尺寸公差与机械加工余量 ?GB/T11351-1989铸件质量公差
1.2.2.1卖方应具备此类设备的设计、制造、销售、安装资质，并提供相关证明文件。 1.2.2.2要求设备卖方具有对所提供系统三年以上的制造经验，投标设备应有良好的销售业绩和使用信誉。卖方在投标时提供本项目的隔振器详细结构及隔振器技术参数描述，并提供此项目详细的隔振技术方案（含隔振效率计算、压缩量计算、系统固有频率计算、弹簧利用率计算等）。 1.2.2.3在国内具备设备专业售后服务人员，并提供相关地址、电话、服务人员数量、联系人等资料。 1.2.2.4卖方应具有良好的质量控制体系，通过质量管理体系认证。 1.2.3铸铁地板材质：用优质、细密的灰口铸铁HT250或更高抗拉强度的材质，提供硬度、抗拉强度的检测报告。 1.2.4铸铁地板技术要求： ?沿长度方向开T型槽，槽间距为150±0.2mm，T型槽内使用的螺栓型号为M20，地板四周带排污水槽，带排污孔，T型槽符合GB/T 158-1996标准，铸铁地板周围带有水槽及排污口。 1.2.5为提高地板的抗载荷能力，地板结构为加强筋带反沿，以保证足够的强度、刚度和稳定的精度，底面配有专用加厚筋板调整安装平面底座。为最大程度地减小装卸起吊平台过程中平台自重对精度的影响，全部平板吊装孔设计符合贝塞尔支点原理。 1.2.6铸件成形后，不允许有影响外观、精度、使用的砂眼、气孔、裂纹、夹渣、缩松、冷隔、锈迹、划痕、碰伤等缺陷（符合GB/T22095-2008标准）；铸件的壁、筋相交处的圆角部位进行磁粉探伤检验并去磁，内部缺陷采用超声波探伤检测。 1.2.7检测单位必须具备省级及以上资质，检测人员必须具备检测资格，并提供相关资质证明。 1.2.8铸铁地板防锈处理：非加工面喷漆铁红底漆、纯蓝色面漆，加工表面涂防锈油。铁地板表面采用环氧漆，要求环氧漆耐碰撞（2T的小车在铁地板上通过，每天不少于2次，小车通过1万次漆面无脱落无严重磨损）、耐防冻防锈液（含50%乙二醇）、耐汽油、柴油、机油；要求施工表面除锈达到Sa2.5级，表面清洁干燥方可对铁地板表面进行施工，采用喷涂的方式对铁地板表面施工。环氧漆干膜厚度160-200微米。
气垫导轨上弹簧振子振动的研究 力学实验最困难的问题就是摩擦力对测量的影响。气垫导轨就是为消除摩擦而设计的力学实验的装置，它使物体在气垫上运动，避免物体与导轨表面的直接接触，从而消除运动物体与导轨表的摩擦，也就是说，物体受到的摩擦阻力几乎可以忽略。利用气垫导轨可以进行许多力学实验，如测速度、加速度，验证牛顿第二定律、动量守恒定律，研究简谐振动、阻尼振动等，本实验采用气垫导轨研究弹簧振子的振动。 一、必做部分：简谐振动 [实验目的] 1．测量弹簧振子的振动周期T 。 2．求弹簧的倔强系数k 和有效质量 0m 。 [仪器仪器] 气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 [实验原理] 在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图13-1所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐振动。 设质量为m 1的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为x 0，当m 1距平衡点x 时，m 1只受 弹性力)(01x x k +-与)(01x x k --的作用，其中k 1是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 x m x x k x x k =--+-)()(0101（1） 令 12k k = 方程（1）的解为 )s i n (00?ω+=t A x （2） 说明滑块是做简谐振动。式中：A —振幅；0?—初相位。 m k = 0ω （3） 0ω叫做振动系统的固有频率。而 01m m m += （4） 式中：m —振动系统的有效质量；m 0—弹簧的有效质量；m 1—滑块和砝码的质量。 0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系： k m m k m T 010 222+=== ππ ωπ （5） 在实验中，我们改变m 1，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。 图13-1简谐运动原理图
弹簧振子实验报告 一、引言 ?实验目的 1.测定弹簧的刚度系数(stiffness coefficient). 2.研究弹簧振子的振动特性，验证周期公式. 3.学习处理实验数据. ?实验原理 一根上端固定的圆柱螺旋弹簧下端悬一重物后，就构成了弹簧振子.当振子处于静止状况时，重物所受的重力与弹簧作用于它的弹性恢复力相平衡，这是振子的静止位置就叫平衡位置.如用外力使振子离开平衡位置然后释放，则振子将以平衡位置为中心作上下振动.实验研究表明,如以振子的平衡位置为原点(x=0),则当振子沿铅垂方向离开平衡位置时,它受到的弹簧恢复力F在一定的限度与振子的位移x成正比，即 F =_ kx⑴ 式中的比例常数k称为刚度系数(stiffness coefficient),它是使弹簧产生单位形变所须的载荷?这就是胡克定律?式(1)中的负号表示弹性恢复力始终指向平衡位置.当位移x 为负值，即振子向下平移时，力F向上.这里的力F表示弹性力与重力mg的综合作用结果.
根据牛顿第二定律，如振子的质量为m,在弹性力作用下振子的运动方程为: + Arx = O x = Asin +(/>) (3) 式表明?弹簧振子在外力扰动后，将做振幅为A,角频率为宀0的简谐振 动，式中的(叫/ +。)称为相位，0称为初相位?角频率为叫的振子其振动周期 (4) (4) 式表示振子的周期与其质量、弹簧刚度系数之间的关系，这是弹簧振子的 最基本的特性?弹簧振子是振动系统中最简单的一种，它的运动特性(振幅，相 位，频率，周期)是所有振动系统共有的基本特性，研究弹簧振子的振动是认识 更复杂震动的基础. 弹簧的质量对振动周期也有影响?可以证明，对于质量为“0的圆柱形弹簧, 振子周期为 (5) m o/ m o/ 式中 ?称为弹簧的等效质量，即弹簧相当于以 ?的质量参加了振子的 振动?非圆柱弹簧（如锥形弹簧）的等效质量系数不等于1/3. d 2x 上式可化为一个典型的二阶常系数微分方程乔 =0 其解为 (3) 可得 x =
高中物理公式、规律汇编表 一、力学 1、 胡克定律： F = kx (x 为伸长量或压缩量；k 为劲度系数，只与弹簧的 原长、粗细和材料有关) 2、 重力： G = mg (g 随离地面高度、纬度、地质结构而变化；重力约等 于地面上物体受到的地球引力) 3 、求F 1、F 2两个共点力的合力：利用平行四边形定则。 注意：(1) 力的合成和分解都均遵从平行四边行法则。 (2) 两个力的合力范围： ? F 1－F 2 ? ≤ F ≤ F 1 + F 2 (3) 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 4、两个平衡条件： （1） 共点力作用下物体的平衡条件：静止或匀速直线运动的物体，所受合 外力为零。 F 合=0 或 ： F x 合=0 F y 合=0 推论：[1]非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。 [2]三个共点力作用于物体而平衡，其中任意两个力的合力与第三个力一定等值 反向 (2* )有固定转动轴物体的平衡条件：力矩代数和为零．（只要求了解） 力矩：M=FL (L 为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离） 5、摩擦力的公式： (1) 滑动摩擦力： f= μ F N 说明 ： ① F N 为接触面间的弹力，可以大于G ；也可以等于G;也可以小于G ② μ为滑动摩擦因数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、 接触面相对运动快慢以及正压力N 无关. (2) 静摩擦力：其大小与其他力有关， 由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解,不与正压力成正比. 大小范围： O ≤ f 静≤ f m (f m 为最大静摩擦力，与正压力有关) 说明：
弹簧振动周期研究 摘要:本文先通过对弹簧质量被忽略和不被忽略两种情况的研究得出弹簧周期的理论公式，再通过实验（弹簧质量小于振子质量）计算出m前的系数约为0.3～0.35，与理论值相符。实际弹簧振子的运动并不是总是简谐运动，它只有在其他级别（n>1）的振动可以忽略的情况下，才能将弹簧的运动看作简谐运动。其他情况的振动的强弱取决于弹簧质量与弹簧振子质量的比值。 关键词：弹簧质量；弹簧振子；周期
引言:在弹簧质量不可以忽略时对弹簧振子周期的影响，有大批人士从不同角度加以研究[1-10]，他们将弹簧视作质量均匀的介质，或利用波动方程 [1,2]，或将弹簧看作一系列离散化的小的弹簧振子进行研究[6,7]。在相同相位，且振幅和平衡位置成正比的情况下[1,2,5,6]都得出弹簧振子周期T=k m M 3 2+π ，k 为弹簧劲度系 数，M 为弹簧振子质量，m 为弹簧质量，附加到弹簧振子的m/3叫弹簧的有效质量。我们是否也可以猜测弹簧振子的振动模式存在差异？各种模式的振动频率之间也都不成有理数的倍数关系[8]？文献[9]]对弹簧质量m/3修正的问题存在异议，有的认为1/3仅仅是0.346的近似值.文献[3]采用最优化及多元线性回归，并根据实验数据得0.490 0.503 (0.369) 6.669T M m k -=+ 。文献[4]依据能量分析方法得出有 效质量应该介于m/3～m/2之间，同时引入有效弹性常量介于2 8 k k π 之间。文 献[1,2,7]指出存在无穷多的振子，其?满足M m k m tg k m =)()(??。本文分别探究了不考虑弹簧质量时，和考虑弹簧质量时，这两种情况下产生的差异以及影响，同时还进一步分析了实际弹簧振子周期和理论值得差异，更完善的研究了弹簧振子的振动规律。 1 1、未考虑弹簧质量（理想弹簧）的弹簧振子周期 如图所示，当未考虑弹簧质量时，弹簧的原长为l ，末端系一个质量为M 振动物体。假设水平面是光滑的，没有摩擦，弹簧和振动物体在放在水平面上，物体受到的力是回复力F kx =-，物体做往复的周期性运动。其运动过程中忽略空气摩擦阻力的影响。在下图中：①图弹簧未伸长，静止在水平面上，物体受力0F =。②图弹簧向右运动，弹簧伸长x ，物体受力为F kx =-。③图弹簧未伸长静止在水平面上，物体受力0F =。④图弹簧向左运动，被压缩x ，物体受力F kx =-。其中负号(-)表示物体受力与运动方向相反。选弹簧运动的一个周期为研究条件。 1 本文受内蒙古民族大学科研项目NMD1220支持
××大学实验报告 学院：×× 系：物理系专业：×× 年级：××级 姓名：×× 学号：×× 实验时间：×× 指导教师签名：_______________ 实验四：气垫弹簧振子的简谐振动 一．实验目的与要求： 1. 考察弹簧振子的振动周期与振动系统参量的关系。 2. 学习用图解法求出等效弹簧的倔强系数和有效质量。 3. 学会气垫调整与试验方法。 二．实验原理： 1.弹簧的倔强系数 弹簧的伸长量x 与它所受的拉力成正比 F=kx k=X F 2.弹簧振子的简谐运动方程 根据牛顿第二定律，滑块m 1 的运动方程为 -k 1(x+x 01)-k 2(x-x 02)=m 2 2dt x d ,即-(k 1+k 2)x=m 2 2dt x d 式中，m=m 1+m 0（系统有效质量），m 0是弹簧有效质量，m 1是滑块质量。令 k=k 1+k 2,则 -kx= m 2 2dt x d 解为x=A sin （ω0t+ψ0 ），ω0= m k = m k k 2 1+ 而系统振动周期 T 0=0 2ωπ=2π k m
当 m 0《 m 1时，m 0=3 s m ，m s 是弹簧的实际质量（m 0与m s 的关系可简单写成 m 0=3 m s ）。 本实验通过改变m 1测出相应的T ，以资考察T 和m 的关系，从而求出m 0和 k 。 三．主要仪器设备： 气垫导轨、滑块（包括挡光刀片）、光电门、测时器、弹簧。 四．实验内容及实验数据记录： 1.气垫导轨水平的调节 使用开孔挡光片，智能测时器选在2pr 功能档。让光电门A 、B 相距约60cm (取导轨中央位置),给滑块以一定的初速度(Δ t 1和Δt 2控制在20-30ms 内),让 它在导轨上依次通过两个光电门.若在同一方向上运动的Δ t 1和Δt 2的相对 误差小于3%,则认为导轨已调到水平.否则重新调整水平调节旋钮。 2.研究弹簧振子的振动周期与振幅的关系 先将测时器设置于6pd （测周期）功能档。按动选择钮，屏幕显示6pd 时，按动执行键，显示为0。每按一次选择键，显示加1；当达到预定值（如预置数为n =6，则表示测3个周期的时间）后，将滑块拉离平衡点6.00厘米（即选定某一振幅），再按执行键，放手让其运动，进入测周期操作。当屏幕上显示预置数减为0后，显示屏上出现总时间t ；由此可得周期T = n t 2。 再重新测量几次并取平均值。并测量滑块和弹簧的质量，利用T 0= 2ωπ =2π k m 计算弹簧的倔强系数。取不同的振幅测量，探讨周期与振幅是否有关。 3.观测简谐振动周期T 与m 的关系，并求出k 与弹簧的有效质量m 0。
空气弹簧研究综述 1.3 空气弹簧研究综述 1.3.1 国内外空气弹簧发展简史 空气弹簧的发展仅有五十多年的时间。美国自1947年，在普尔曼车上首先采用空气弹簧，后来在意大利、英国、法国等许多欧洲国家对空气弹簧做了大量研究工作，装有空气弹簧的转向架相继出现。1955年，日本国家铁路技术研究院机车车辆动力试验室，对在车辆上安装的空气弹簧进行了系统的研究，为设计空气弹簧提供了宝贵的基本数据；同时，对装有空气弹簧的车辆进行了一系列的试验工作。目前，日本不仅在铁路客车上成功地装用了多种型式的空气弹簧，而且在货车上也予以采用。 在日本，装有空气弹簧的转向架，不仅数量多，而且型式多样。空气弹簧绝大多数用于中央悬挂，轴箱弹簧为螺旋钢弹簧。起初只安装三曲囊式空气弹簧，用以改善车辆的垂向振动性能，横向复原仍采用摇动台。为了取消复杂、笨重的摇动台结构，于是研制出了约束膜式空气弹簧和自由膜式空气弹簧，这类空气弹簧不仅能承受垂向振动，而且可以利用其具有良好的横向刚度的优点来承受横向振动；同时，可以与牵引拉杆两端部的弹性元件共同作为横向复原装置。牵引拉杆一端连接摇枕，另一端连接在构架（对心盘支重的转向架）上，或连接在车体（对旁承支重的转向架）上。牵引拉杆两端弹性元件的横向复原力，对空气弹簧来说，是比较小的。 1957年，我国第一机械工业部汽车研究所，对空气弹簧做了大量的试验研究工作，并装在汽车上试用，积累了一些经验。1958年，沈阳机车车辆厂在试制的“东风号”客车上，首先装用空气弹簧，即由天津车辆段和天津橡胶研究所共同研制出一种双曲囊式空气弹簧（图），其有效直径为460mm时，高度为184mm，最大外径为520mm。这种空气弹簧曾先后在天津车辆段、北京车辆段，装在101型、201型和202型转向架上，以代替叠板弹簧。实践证明：这种空气弹簧的垂向振动性能具有良好的运行品质。但是，由于没有采用高度控制阀，在列车返段时，只好采用人工加气；同时，泄漏问题也没有得到很好的解决，所以没有继续应用。 1959年，四方机车车辆厂在新造低重心车辆的转向架上，1960年在新造双层客车的转向架上，又安装了双曲囊式空气弹簧。但是由于车辆自重较大，空气弹簧的有效承压面积不够，同时受到列车管压力的限制，支承不了簧上重量，只好与螺旋钢弹簧联合使用，并设计了机械式高度控制阀，对空气弹簧的高度进行自动控制；同时，在垂向振动性能方面也取得了比只用钢弹簧更好的运行品质，受到旅客好评。 1965年，长春客车厂在试制DK1型转向架时，又对双曲囊式空气弹簧稍加改进，并设计了电磁式高度控制阀，采用无摇动台结构，在摇枕中下部和构架侧梁内侧之间加装横向复 km，因此，垂向振动性能原弹簧。经过多次试验，由于地铁电动客车运行速度不超过80h 很好。但由于采用横向复原螺旋钢弹簧，在车辆进出曲线和通过道岔时侧摆较大，横向振动性能仍不理想，横向复原弹簧安装也很不方便，故未扩大应用。长春客车厂于同年在试制高速列车的CCKZ1型转向架上，安装了外筒锥角为40o，内筒为0o的约束膜式空气弹簧；四方机车车辆厂于同年也在同列高速客车的KZ2型转向架上安装了内外筒皆为0o的约束膜式空气弹簧，这两种转向架均采用旁承支重的无摇动台结构，用节流孔产主阻尼，代替垂直油
“弹簧振子”模型 太原市第十二中学 姚维明 模型建构： 【模型】常见弹簧振子及其类型问题 在简谐运动中，我们对弹簧振子（如图1，简称模型甲）比较熟悉。在学习过程中，我们经常会遇到与此相类似的一个模型（如图2，简称模型乙）。认真比较两种模型的区别和联系，对于培养我们的思维品质，提高我们的解题能力有一定的意义。 【特点】①弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx ，“回复力”为振子运动方向上的合力。加速度为m kx a -= ②简谐运动具有对称性，即以平衡位置（a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。这是解题的关键。 模型典案： 【典案1】把一个小球挂在一个竖直的弹簧上，如图2。当它平衡后再用力向下拉伸一小段距离后轻轻放手，使小球上下振动。试证明小球的振动是简谐振动。 〖证明〗设弹簧劲度系数为k ，不受拉力时的长度为l 0，小球质量为m ，当挂上小球平衡时，弹簧的伸长量为x 0。由题意得mg=kx 0 容易判断，由重力和弹力的合力作为振动的回复力 假设在振动过程中的某一瞬间，小球在平衡位置下方，离开平衡位置O 的距离为x,取向下的方向为正方向 则回复力F=mg+[-k(x 0+x)]=mg-kx 0-kx= -kx 根据简谐运动定义，得证 比较： （1）两种模型中，弹簧振子都是作简谐运动。这是它们的相同之处。 (2）模型甲中，由弹簧的弹力提供回复力。因此，位移(x)，回复力(F)，速度(v)，加速度(a)，各量大小是关于平衡位置O 点对称的。 (3)模型乙中，由弹簧的弹力和重力两者的合力提供回复力。弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称．．．的，这点要特别注意。但是，回复力（加速度）大小关于平衡位置是对称．．的。在解题时我们经常用到这点。 【典案2】如图3所示，质量为m 的物块放在弹簧上， 弹簧在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹 簧的最大压力是物重的1.8倍，则物体对弹簧的最小压力是 物重的多少倍？欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅 最大为多少？ 〖解析〗1)选物体为研究对象，画出其振动过程的几个 特殊点，如图4所示， O 为平衡位置，P 为最高点，Q 为最低点。 图2 m 图3 P 点
弹簧振子的简谐振动 弘毅学堂汪洲 2016300030016 实验目的： （1）测量弹簧振子的振动周期T。 （2）求弹簧的倔强系数k和有效质量 m 实验器材 气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 实验原理： 在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图2.2.4所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐运动。
设质量为1m 的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为0x ，当1m 距平衡点x 时，1m 只受弹性力10()k x x -+与10()k x x --的作用，其中1k 是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 1010()()k x x k x x mx -+--= 令 12k k = 则有 kx mx -= ① 方程①的解为 00sin()x A t ω?=+ 说明滑块做简谐振动。式中，A 为振幅，0?为初相位，0ω叫做振动系统的固有圆频率。有 0ω= 且 10m m m =+
式中，m 为振动系统的有效质量，0m 为弹簧的有效质量，1m 为滑块和砝码的质量。 0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系 222T πω= == ② 在实验中，我们改变1m ，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。 实验内容： （1）按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。 （2）将滑块从平衡位置拉至光电门左边某一位置，然后放手让滑块振动，记录A T 的值。要求记录5位有效数字，共测量10次。 （3）再按步骤（2）将滑块从平衡位置拉至光电门右边某一位置测量B T ，重复步骤（2）共测量10次。 取A T 和B T 的平均值作为振动周期T ，与T 相应的振动系统有效质量是10m m m =+，其中1m 就是滑块本身（未加砝码块）的质量，0m 为弹簧的有效质量。 （4）在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤（2）和步骤（3）测量相应的周期。有效质量 20m m m =+，其中2m 为滑块本身质量加上两块砝码的质量和。 （5）再用30m m m =+和40m m m =+测量相应的周期T 。式中， 3m =1m +“4块砝码的质量” 4m =1m +“6块砝码的质量” 注意记录每次所加砝码的号码，以便称出各自的质量。 （6）测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。 （7）在天平上称出两弹簧的实际质量并与其有效质量进行比较。 数据处理： 1、用逐差法处理数据 由下列公式 221 104()T m m k π=+
空气弹簧 空气弹簧的基本结构 空气弹簧是一种由橡胶、网线贴合成的曲形胶囊，俗称气胎、波纹气胎、气囊、皮老虎等。胶囊两端部需用两块钢板相连接，形成一个压缩空气室。橡胶与网线本身不提供对负荷的承载力，而是由充入胶囊内的压缩空气来完成。其曲囊数通常为1~3 曲囊，但根据需要也可以设计制造成4 曲或5 曲以上，还可以在一定条件下将两个空气弹簧叠加使用。 空气弹簧按照性能与特点又称为橡胶空气冲程调节器和橡胶空气隔振体。 现有的曲囊式空气弹簧的端部结构，根据联接方式可以分为三大类：一类为固定式法兰联接型，空气弹簧的两端边缘尺寸和曲囊最大外径相等或略小一些，钻若干个孔后用法兰环和端板紧固联接；另一类为活套式法兰联接型，空气弹簧的两端边缘尺寸比曲囊最大外径小得多，无须钻孔，用一个特制的法兰环和一个普通端板紧固联接；第三类为自密封型，不用法兰联接，压入端板，充入压缩空气则自行密封。空气弹簧端部与连接板的法兰密封形式有：LHF 型、JBF 型、GF 型、
HF 型、ZF 型五种结构形式。 参考网址：https://www.doczj.com/doc/c57086826.html, （详见空气弹簧端封形式选择及装配结构） 空气弹簧端封形式选择及总装配结构 1、弹簧高度、承载能力和弹簧刚度的选择： 设计时，可彼此独立地,范围相当广泛地选择弹簧高度，承载能力和弹簧刚度，可获得极其柔软的弹簧特性。 弹簧高度：使用高度控制阀，可根据使用要求适当控制空气弹簧的高度，在簧上载荷变化的情况下保持一定高度。 承载能力：对于相同尺寸的空气弹簧，改变内压，可得到不同的承载能力，承载能力大致与内压成正比。这便达到了同一种空气弹簧可适应多种载荷要求。 弹簧刚度：在设计空气弹簧的刚度时，可以依靠改变弹簧内压而加以选择，刚度与内压大致成正比，因此，可以根据需要将刚度选得很低，对于一个尺寸既定的空气弹簧，刚度是可变的，它随载荷的改变而变化，因而在任何载荷下自振频率几乎不变，所以它能使被支承系统具有几乎不变的性能。 2、固有的振动频率较低 空气弹簧与附加空气室相连，可是空气弹簧装置的固有振动频率降低到0.5∽ 3Hz。在任何载荷的作用下，空气弹簧都可以保持较低而近乎相等的振动频率。 3、能隔绝高频振动及隔音效果好 空气弹簧是由空气和橡胶构成的，内部摩擦小，不会因弹簧本身的固有振动而影响隔离高频振动的能力。此外，空气弹簧没有金属间的接触，因此能隔音，防音效果也很好。
简谐运动周期公式的推导 【摘要】：本文通过简谐运动与圆周运动的联系，用圆周运动的周期公式推导出了简谐运动周期公式。 【关键辞】：简谐运动、周期、匀速圆周运动、周期公式 【正文】： 考虑弹簧振子在平衡位置附近的简谐运动，如图2所示。它的运动及受力情况和图3所示的情况非常相似。在图3中，O 点是弹性绳（在这里我们设弹性绳的弹力是符合胡克定律的）的原长位置，此点正好位于光滑水平面上。把它在O 点的这一端系上一个小球，然后拉至A 位置由静止放手，小球就会在弹性绳的作用下在水平面上的A 、A ’间作简谐运动。如果我们不是由静止释放小球，而是给小球一个垂直于绳的恰当的初速度，使得小球恰好能在水平面内以O 点为圆心，以OA 长度为半径做匀速圆周运动。那么它在OA 方向的投影运动（即此方向的分运动）与图3中的简谐运动完全相同。证明如下： 首先，两个运动的初初速度均为零（图4中在OA 方向上的分速度为零）。 其次，在对应位置上的受力情况相同。 由上面的两个条件可知这两个运动是完全相同的。 在图4中小球绕O 点转一圈，对应的投影运动（简谐运动）恰好完成一个周期，这两个时间是相等的。因此我们可以通过求圆周运动周期的方法来求简谐运动的周期。 如图5作出图4的俯视图，并建以O 为坐标原点、OA 方向为x 轴正方向建直角坐标图2 图3 图4
系。 则由匀速圆周运动的周期公式可知： ωπ 2=T (1) 其中ω是匀速圆周运动的角速度。 小球圆周运动的向心力由弹性绳的弹力来提供，由牛顿第二定律可知： r m kr 2ω= (2) 式中的r 是小球圆周运动的半径，也是弹性绳的形变量；k 是弹性绳的劲度系数。 由（1）（2）式可得： k m T π 2= 二零一一年三月九日 图5
弹簧振子的简谐振动 弘毅学堂汪洲2016300030016 实验目的： （1）测量弹簧振子的振动周期T。 （2）求弹簧的倔强系数k和有效质量 m 实验器材 气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 实验原理： 在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图2.2.4所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐运动。
设质量为1m 的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为0x ，当1m 距平衡点x 时，1m 只受弹性力10()k x x -+与10()k x x --的作用，其中1k 是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 1010()()k x x k x x mx -+--= 令 12k k = 则有 kx mx -= ① 方程①的解为 00sin()x A t ω?=+ 说明滑块做简谐振动。式中，A 为振幅，0?为初相位，0ω叫做振动系统的固有圆频率。有 0k m ω= 且
10m m m =+ 式中，m 为振动系统的有效质量，0m 为弹簧的有效质量，1m 为滑块和砝码的质量。 0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系 222T πω= == ② 在实验中，我们改变1m ，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。 实验内容： （1）按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。 （2）将滑块从平衡位置拉至光电门左边某一位置，然后放手让滑块振动，记录A T 的值。要求记录5位有效数字，共测量10次。 （3）再按步骤（2）将滑块从平衡位置拉至光电门右边某一位置测量B T ，重复步骤（2）共测量10次。 取A T 和B T 的平均值作为振动周期T ，与T 相应的振动系统有效质量是10m m m =+，其中1m 就是滑块本身（未加砝码块）的质量，0m 为弹簧的有效质量。 （4）在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤（2）和步骤（3）测量相应的周期。有效质量20m m m =+，其中2m 为滑块本身质量加上两块砝码的质量和。 （5）再用30m m m =+和40m m m =+测量相应的周期T 。式中， 3m =1m +“4块砝码的质量” 4m =1m +“6块砝码的质量” 注意记录每次所加砝码的号码，以便称出各自的质量。 （6）测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。 （7）在天平上称出两弹簧的实际质量并与其有效质量进行比较。 数据处理：
空气弹簧动力学特性分析 担架支架是伤员运送车辆在行驶途中承载、固定卧姿伤病员 担架的主要设备。担架支架的隔振系统设计在很大程度上决定了 伤病员在运送途中的乘卧舒适性。性能优异的担架支架隔振系统 能有效提高伤员运送车辆的运送能力。空气弹簧是较为合适的可 用于担架支架系统的隔振器,它是利用空气的压缩弹性进行工作的非金属弹性元件。作为隔振元件,空气弹簧具有非线性变刚度特性,通过内压的调整,可以得到不同的承载能力;承受轴向载荷和径向 载荷,可产生相对较好的缓冲隔振效果;还具有结构简单、安装高 度低、更换方便、工作可靠、质量轻、单位质量储能量高等优 点。将空气弹簧增加附加气室能显著降低空气弹簧的刚度及固有 频率。本文对应用于急救车担架支架装置的空气弹簧隔振器的动 态特性进行了理论分析、实验测试、实验建模等方面的研究,为今后进一步研究半主动控制的空气弹簧隔振系统提供了参考依据。 本文首先介绍了空气弹簧的研究与发展现状,对空气弹簧的性能和优缺点进行了比较。并对空气弹簧的动力学特性进行研究,推导了空气弹簧动刚度计算公式,分析了其动力学特性的影响因素, 建立了带附加气室与不带附加气室空气弹簧的力学模型。 其次做了空气弹簧的动力学特性实验,得到如下结论:不带附 加气室时,当初始气压、激振振幅增加时,空气弹簧动刚度随之增加;当激振频率增加时,空气弹簧的动刚度随之减小。空气弹簧的
固有频率几乎保持不变。而带附加气室空气弹簧在节流孔孔径4-7mm范围内,当孔径增大时,空气弹簧动刚度随之减小;当初始气压、激振频率、激振振幅增加时,空气弹簧动刚度随之增加。在高频(8Hz)左右时,振幅、频率的变化对动刚度的改变已不明显。在低频率时,带附加气室能显著降低空气弹簧的动刚度,而在较高频率时,带附加气室会使空气弹簧的动刚度增加。 最后对带附加气室空气弹簧力学模型进行了简化,通过实验数据运用最小二乘法对模型参数进行了识别,并用四个指标对模型拟合精度进行了评价。分析结果表明误差较小,模型能够比较准确的反映出应用空气弹簧隔振器的力学特性。
弹簧振子周期的影响因素 （南京 210096） 摘要：本文研究了弹簧质量对弹簧振子系统周期的影响，分析了不同方法近似成立的条件并对计算结果进行了讨论。并且通过对弹簧振子研究的进一步探析，发现如果弹簧的形状不是几何对称, 即使用相同的方法对弹簧两端分别挂测，其质量对周期公式产生的影响也是不同的。从而发现弹簧振子的周期与其重心位置也是有关的。 关键词：弹簧振子；周期；质量；重心 Spring vibrator cycle impact factors (Information science and engineering college of Southeast University, Nanjing, 210096) Abstract:This paper studies the quality of spring spring vibration subsystem the influence of the cycle, and analyzes on the different methods of approximate established condition and the calculation results are discussed. And through the spring vibrator further analysis, found that if the shape of the spring is not symmetrical geometric, that is, using the same method of spring ends hang separately measured, its quality to cycle the impact of the formula is also different. Spring vibrator to find the cycle of barycenter position is also related with. key words: spring vibrator; cycle;quality;focus 人们在讨论弹簧振子的振动情况时，往往忽略弹 簧本身的质量。实际弹簧振子由质量为m、劲度系数为k的弹簧和连接于弹簧一端的质量为M的振动物体组成。由于弹簧本身有质量，这种弹簧振子不是理想振子，它的振动周期与弹簧的质量有着密切的联系。当我们把这种影响仅归于质量因素时，振子的周期可以写成与弹簧有效质量有关的表达式。 而且质量一定，形状不规则的弹簧，其运动周期还与他的形状及重心相关。 作者简介：1实验回顾 在“弹簧振子周期公式研究”的实验中，最后的课题探究采用控制变量的方法，控制振子质量M不变，研究弹簧自身质量m对弹簧振子振动周期的影响。测得的数据见表1。
玉林师范学院本科生毕业论文 弹簧质量对振动系统的影响The Influence of Spring Quality on Vibration System 院系物理科学与工程技术学院 专业物理学 学生班级2009级2班 姓名戴石贵 学号200905401240 指导教师单位物理科学与工程技术学院 指导教师姓名关小蓉 指导教师职称副教授
弹簧质量对振动系统的影响 物理学2009级2班戴石贵 指导教师关小蓉 摘要 弹簧振子是物理学中的一个典型模型,弹簧振子是指忽略质量的轻弹簧系一物体所组成的系统。在实验中得到的弹簧振子的振动频率和理论结果存在着较大的差异,其中有很多原因,但主要是由于弹簧的质量对振动有一定的影响。人们在讨论弹簧振 m、弹性系数子的振动情况时，往往忽略弹簧本身的质量，实际弹簧振子由质量为 为k的弹簧和连接于弹簧一端质量为m的振动物体组成，为解决实际弹簧振子弹簧质量对振动系统的影响问题，采用研究系统的能量方法，建立了有弹簧质量时系统的动能和势能公式，从不同角度定量的分析了弹簧质量对振动系统的周期之间的影响，该研究对实际振动系统的振动问题具有一定的参考价值和指导意义。 由于弹簧本身有质量，这种弹簧振子不是理想的振子，它的振动周期与弹簧的质量有着密切的联系，当我们把这种影响仅归于质量因素时，振子的周期可以写成与弹簧有效质量有关的表达式，实际上处理这类问题的方法有很多种，像四阶龙格——库塔法、瑞利法、传递矩阵法、求解波动方程法、试探法求解微分方程、机械能守恒近似法、迭代法等等，本文主要运用机械能守恒定律和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期，并对结果做出详细的讨论。 关键词：弹簧振子，弹簧质量，周期，动能，势能
《数学实验》报告 实验名称弹簧振子系统的简谐振动研究___ 学院 专业班级 姓名 学号 2012年6月
一、【实验目的】 1.熟悉MATLAB各个函数命令及使用方法. 2.熟悉MATLAB编程原则和子函数应用的方法. 3.进行MATLAB的综合应用以提高使用技巧. 4.对于弹簧振子系统的简谐振动进行编程以更好的理解其定义并熟悉 MATLAB. 二、【实验任务】 设弹簧振子系统由质量为m的滑块和劲度系数为k的弹簧所组成。已知t=0时，m在A处，即x0=A,并由静止开始释放。试研究滑块的运动规律。三、【问题分析】 以x表示质点相对于原点的位移，线性回复力为f=-kx。由牛顿第二定律以及题设条件，可写出弹簧振子的振动微分方程及其初始条件为 d^2x/dt^2+kx/m=0 x(0)=A v(0)=dx/dt|(t=0)=0 滑块的速度和加速度分别为 V=dx/dt a=d^2x/dt^2 令ω*ω=k/m,用符号法求解上诉微分方程，求出运动方程、速度和加速度，并绘制出x-t，v-t和a-x曲线。 四、【实验程序】 clc x=dsolve('D2x=-w^2*x','Dx(0)=0,x(0)=A','t') v=diff(x,'t'),a=diff(x,'t',2), 2
3 k=400;m=2;w=sqrt(k/m); A=0.1;t=0:0.01:0.9; x=eval(x);v=eval(v);a=eval(a); subplot(3,1,1),plot(t,x); title('x-t 关系图 ') subplot(3,1,2);plot(x,v); title('v-x 关系图') subplot(3,1,3);plot(x,a) title('a-x 关系图') 一、 【实验结果】 x = (A*exp(i*t*w))/2 + A/(2*exp(i*t*w)) v = (A*i*w*exp(i*t*w))/2 - (A*i*w)/(2*exp(i*t*w)) a = - (A*w^2*exp(-t*w*i))/2 - (A*w^2*exp(t*w*i))/2 00.10.20.30.40.50.60.70.80.9 -0.10 0.1x-t 关系图 -0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1 -20 2v-x 关系图 -0.1 -0.08-0.06-0.04-0.0200.02 0.040.060.080.1 -200 20a-x 关系图
教案（首页） 备课笔记附后：
实验二 弹簧振子周期公式的研究 【实验目的】 1. 学习建立实验公式的实验方法，找出弹簧振子的周期公式。 2. 通过公式简化、曲线直化和数据处理，练习作图和图解。 【实验原理】 已知弹簧振子的振动周期T 与倔强系数K 、振子质量m 相关，为了找出T 、K 、m 三者之间的关系，从量纲分析，可以假设满足下式 β α m AK T = （1） 式中α、β和A 均为待定常数。如果能通过实验测量和数据处理找到α、β和A 的具体数值，那么（1）式就被具体地确定了。如果找不出α、β和A 的数值，则说明（1）式的假设是错误的，还需要对T 、K 、m 三者的函数关系做新的假设。 为了简化，先使倔强系数K 或振子质量m 保持不变进行实验。例如先使振子质量m 保持不变，则（1）式可写成 常数===βαAm C K C T 11 （2） 这样，对应于不同的倔强系数K 的弹簧，就有不同的振动周期T ，可以测定一组T ～K 的对应值。 再使倔强系数K 保持不变（用同一个弹簧），则（1）式又可写成 22常数===αβAK C m C T （3） 这样，对于不同的振子质量m ，又有不同的振动周期T ，可以测定一组T ～m 的对应值。 从（2）式和（3）式可见，只要α、β不等于1，则T ～K 和T ～m 间的关系就不是直线关系。为了便于图解，可将（2）式和（3）式取对数，将曲线直化、得到 K C T lg lg lg 1α+= （4） m C T lg lg lg 2β+= （5） 式中常数α、β可以从图线的斜率求出，1C 、2C 可从图线的截距求得。然后将得到的1C 、 2C 值和α、β值，分别代入（2）式或（3）式而确定A 值。当α、β和A 值确定之后， 则所求的周期公式就被具体地确定了。 为了完成以上实验，需要先对各弹簧的倔强系数K 进行测定。 【实验内容】 1. 因六个砝码的误差较大，实验前应先作出校测，记录数据。 2. 弹簧倔强系数K 的测定 用一次增荷法（取31050-?=? m 公斤）测定K 值。计算公式为 x F K ??= 五个弹簧各测一次，记录数据。 3. 振子质量m 一定（统一用3号砝码），测定一组T ～K 的对应值。 4. 倔强系数K 一定（统一用3号弹簧），测定一组T ～m 的对应值
空气弹簧的优点及分类 近年来，非线性课题一直是各学科的研究前沿，在隔振领域也不例外。随着隔振设计中对隔振系统各种性能指标要求的提高，迫使人们不断探索新型的隔振器。非线性隔振器能够自动避开共振，有效抑制振动幅值、隔离冲击，因而受到广泛的关注。线性隔振器却不能自动避开共振。 非线性隔振器的刚度是随隔振器变形量的不同而变化的，因而由非线性隔振器组成的隔振系统其固有频率与振动幅值有关。如果隔振器是非线性硬特性的，固有频率随振幅的增加而上升；如果隔振器是非线性软特性的，固有频率随振幅的增加而下降。当设备在启动过程中经过共振点时，被隔振设备的振动幅值将出现峰值，高出静态位移许多倍。随着振幅的迅速增长，由非线性隔振器组成的隔振系统其固有频率将上升或下降，从而避开共振频率。对于线性隔振器，其刚度值是不变的，只能通过阻尼作用控制共振振幅。但是过了共振点之后，隔振器的隔振效率因为阻尼的作用而下降。 此外非线性隔振器还能有效防止冲击。对于非线性硬特性的隔振器其刚度随变形量的增加而上升，遇到冲击时，簧上载荷的加速度随变形量的增加而增大，因而在较小的变形下冲击速度迅速降低。对于非线性软特性的隔振器其刚度随变形量的增加而降低，因而能够起到缓冲作用，但隔振器的变形量较大。在很多情况下不允许有太大的变形量，就应该选择非线性硬特性隔振器来防止冲击。 根据上述分析，空气弹簧是一种理想的隔振元件。空气弹簧是在柔性密闭容器中加入压力空气，利用空气压缩的非线性恢复力来实现隔振和缓冲作用的一种非金属弹簧。它具有优良的非线性硬特性，因而能够有效限制振幅，避开共振，防止冲击。空气弹簧隔振系统的固有频率可以设计得很低，甚至达1Hz以下，而橡胶隔振器的自振频率一般为5-7 H z。所以空气弹簧的隔振效率比起其它隔振元件高得多，而且能够隔离低频振动。特别是因为空气弹簧隔振系统容易实施主动控制，作为一种具有可调非线性静、动态刚度及阻尼特性的隔振元件，空气弹簧的应用越来越广泛。 1.2 空气弹簧的分类及特点 1.2.1 空气弹簧的分类 目前国内、外对空气弹簧的分类方法很不统一，大致有下列几种： （一）按橡胶囊的曲数分类 空气弹簧按橡胶囊的曲数分为单（一）曲，双（二）曲，三曲，……，n曲，如图1-3和图1-4所示。随着曲数的增加，刚度变小，空气弹簧隔振系统的固有频率也相应减小。但这不仅给制造上带来了麻烦，而且还会引起橡胶囊的弹性不稳，因此一般只使用到4曲。 （二）按结构型式分类 1. 日本《空气弹簧》一书中的分类： 胶囊型空气弹簧：轮胎型[ 图1-3 (c) ] 平板型[ 图1-3 (a)、(b) ] 耳垂型[ 图1-4 (b) ] 2. 我国的分类： 空气弹簧：囊式空气弹簧[ 图1-2、1-3 ] 约束膜式空气弹簧[ 图1-4 (a) ] 自由膜式空气弹簧[ 图1-4 (b) ]