课程名称: 时间序列分析
题目: 降水量预测
院系：理学院
专业班级：数学与应用数学10-1 学号： 87
学生姓名：戴永红
指导教师：＿＿潘洁＿
2013年 12 月 13日
1.问题提出
能不能通过以前的降水序列为样本预测出2002的降水量？
2.选题
以国家黄河水利委员会建站的山西省河曲水文站1952年至2002年51年的资料为例，以1952年至2001年50年的降水序列作为样本，建立线性时间序列模型并预测2002年的降水状态与降水量，并与2002年的实际数据比较说明本模型的具体应用及预测效果。资料数据见表1。
表1 山西省河曲水文站55年降水量时间序列
3．原理 模型表示
均值为0，具有有理谱密度的平稳时间序列的线性随机模型的三种形式，描述如下：
1、()AR p 自回归模型：1122t t t p t p t ωφωφωφωα-------=L 由2p +个参数刻画；
2、()MA q 滑动平均模型：1122t t t t q t q ωαθαθαθα---=----L 由2q +个参数刻画；
3、(,)ARMA p q 混和模型：
11221122t t t p t p t t t q t q ωφωφωφωαθαθαθα----------=----L L
(,)ARMA p q 混和模型由3p q ++个参数刻画； 自相关函数k ρ和偏相关函数kk φ
1、自相关函数k ρ刻画了任意两个时刻之间的关系，0/k k ργγ=
2、偏相关函数kk φ刻画了平稳序列任意一个长1k +的片段在中间值11,t t k ωω++-L 固定的条件下，两端t ω，t k ω+的线性联系密切程度。
3、线性模型k ρ、kk φ的性质
表2 三种线性模型下相关函数性质
模型识别
通常平稳时间序列t Z ，0,1t =±L 仅进行有限n 次测量(50)n ≥，得
到一个样本函数，且利用平稳序列各态历经性：1
1n
j j Z Z n μ=≈=∑做变
换，t t Z ω=，1,t n =L ，将1,,n Z Z L 样本换算成为样本1,,n ωωL ，然后再确定平稳时间序列{,0,1}t t ω=±L 的随机线性模型。 3.3.1 样本自相关函数
平稳序列21012,,,,,ωωωωω--L L ， ()0t E ω=，对于样本，定义自协
方差函数：
11221
1ˆn k
k k n k n
k j k j j n
n ωωωωωωγωω-++-+=+++=
=∑L ，0ˆˆˆ/k k ρ
γγ=。同时为了保证ˆk k γγ=，ˆk k ρ
ρ=一般取50,/4n k n ><。常取/10k n =。 3.3.2 确定模型类别和阶数
在实际应用中，我们常用有一个样本算出的ˆk k ρρ=，ˆkk kk
φφ=判别k ρ，kk φ是拖尾还是截尾的。随机线性模型的三种形式的判别分别如下：
1、若k ρ拖尾，kk φ截尾在k p =处，则线性模型为()AR p 模型。k
ρ拖尾可以用的点图判断，只要样本自相关函数的绝对值愈变愈小；
当k p >时，平均20
个样本偏相关函数中至多有一个使ˆ2/kk
φ≥，则认为kk φ截尾在k p =处。
2、若kk φ截尾，k ρ在k p =处截尾，那么线性模型为()MA q 滑动平均模型。kk φ拖尾可以根据样本偏相关函数的点图判断，只要ˆkk φ愈变愈小。当k q >时，若平均20
个样本自相关函数中至多有一个使
ˆ2k ρ
≥ 3、若样本自相关函数和样本偏相关函数都是拖尾的，则线性模
型可以看成混和模型。 模型参数估计
1、()AR p 模型参数估计：
()AR p 模型有2p +个参数：2
12,,,,,p p α
φφφσL 。利用Yule-Walker 方程，利用Toeplitz 矩阵求逆和作矩阵乘法的方法算样本偏相关函数
kk φ。()AR p 模型的参数值不必作专门的计算，只要在样本偏相关函
数计算的记录中取出样本参数值即可。此时12,,,p φφφL ,都已经确定了，经过推理我们可以得到：2
01p
j j j ασγφγ==-∑。
2、()MA q 滑动平均模型参数估计：
2222122
1+1ˆˆˆˆ(1),0ˆˆˆˆˆˆˆ(),1q
k k k q k q k k q αασθθθγσ
θθθθθ-⎧++++=⎪=⎨-+++≤≤⎪⎩L L 可得1q +个方程，求212ˆˆˆˆ,,q
αθθθσL ，即解这个非线性方程组。 3、(,)ARMA p q 混和模型参数估计
对于满足一个条件：
1111......t t p t p t t p t q a a a ωφωφωθθ-------=---采用先计算 12ˆˆˆ,,,p φφφL ，在计算212ˆˆˆˆ,,q αθθθσL 的方法，具体如下：1）可利用Toeplitz 矩阵和作矩阵乘法的方法求出12ˆˆˆ,,,p φφφL 。2）令
'11...t t t p t p ωωφωφω--=---混和模型化为：'11...t t t p t q a a a ωθθ--==---这是
关于't ω的()MA q 模型，用't ω的样本协方差函数估计212ˆˆˆˆ,,q
αθθθσL 的值。 4. 步骤
采用MATLAB 处理数据。
1、对一个时间序列做n 次测量得到一个样本函数12,,n Z Z Z L 。实
验采用表1中的降水量数据，50n =。
