柔性机械手的动力学方程

中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案机器人学导论一、名词解释题：1.自由度：2.机器人工作载荷：3.柔性手：4.制动器失效抱闸：5.机器人运动学：6.机器人动力学：7.虚功原理：8.PWM驱动：9.电机无自转：10.直流伺服电机的调节特性：11.直流伺服电机的调速精度：12.PID控制：13.压电元件：14.图像锐化：15.隶属函数：16.BP网络：17.脱机编程：18.AUV：二、简答题：1.机器人学主要包含哪些研究内容？2.机器人常用的机身和臂部的配置型式有哪些？3.拉格朗日运动方程式的一般表示形式与各变量含义？4.机器人控制系统的基本单元有哪些？5.直流电机的额定值有哪些？6.常见的机器人外部传感器有哪些？7.简述脉冲回波式超声波传感器的工作原理。

8.机器人视觉的硬件系统由哪些部分组成？9.为什么要做图像的预处理？机器视觉常用的预处理步骤有哪些？10.请简述模糊控制器的组成及各组成部分的用途。

11.从描述操作命令的角度看，机器人编程语言可分为哪几类？12.仿人机器人的关键技术有哪些？三、论述题：1.试论述机器人技术的发展趋势。

2.试论述精度、重复精度与分辨率之间的关系。

3.试论述轮式行走机构和足式行走机构的特点和各自适用的场合。

4.试论述机器人静力学、动力学、运动学的关系。

5.机器人单关节伺服控制中，位置反馈增益和速度反馈增益是如何确定的？6.试论述工业机器人的应用准则。

四、计算题：（需写出计算步骤，无计算步骤不能得分）：1.已知点u的坐标为[7,3,2]T，对点u依次进行如下的变换：（1）绕z轴旋转90°得到点v；（2）绕y轴旋转90°得到点w；（3）沿x轴平移4个单位，再沿y轴平移-3个单位，最后沿z轴平移7个单位得到点t。

求u, v, w, t各点的齐次坐标。

xyzOuvwt2.如图所示为具有三个旋转关节的3R 机械手，求末端机械手在基坐标系{x 0,y 0}下的运动学方程。

教案首页课程名称农业机器人任课教师李玉柱第3章机器人运动学和动力学计划学时 3教学目的和要求：1.概述，齐次坐标与动系位姿矩阵，了解平移和旋转的齐次变换；2.机器人的运动学方程的建立与求解*；3.机器人的动力学*重点：1.机器人操作机运动学方程的建立及求解；2.工业机器人运动学方程3.机器人动力学难点：1. 机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理思考题：1.简述齐次坐标与动系位姿矩阵基本原理。

2.连杆参数及连杆坐标系如何建立？3.机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理是什么？第3章机器人运动学和动力学教学主要内容：3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.3 齐次变换3.4 机器操作机运动学方程的建立与求解3.5 机器人运动学方程3.6 机器人动力学本章将主要讨论机器人运动学和动力学基本问题。

先后引入了齐次坐标与动系位姿矩阵、齐次变换，通过对机器人的位姿分析，介绍了机器人运动学方程；在此基础上有对机器人运动学方程进行了较为深入的探讨。

3.1 概述机器人，尤其是关节型机器人最有代表性。

关节型机器人实质上是由一系列关节连接而成的空间连杆开式链机构，要研究关节型机器人，必须对运动学和动力学知识有一个基本的了解。

分析机器人连杆的位置和姿态与关节角之间的关系，理论称为运动学，而研究机器人运动和受力之间的关系的理论则是动力学。

3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.2.1 点的位置描述在关节型机器人的位姿控制中，首先要精确描述各连杆的位置。

为此，先定义一个固定的坐标系，其原点为机器人处于初始状态的正下方地面上的那个点，如图3-1（a）所示。

记该坐标系为世界坐标系。

在选定的直角坐标系{A}中，空间任一点P的位置可以用3×1的位置向量A P表示，其左上标表示选定的坐标系{A}，此时有A P=XYZ P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中：P X、P Y、P Z—点P在坐标系{A}中的三个位置坐标分量，如图3-1（b）。

3.2.2 齐次坐标将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维坐标即为n维坐标的齐次坐标．．．．。

第２９卷第２４期中国机械工程V o l ．２９㊀N o ．２４２０１８年１２月C H I N A M E C HA N I C A LE N G I N E E R I N Gp p．３０２０Ｇ３０２３导语传统机器人采用厚实的结构来保证其具有足够的刚度,以减小机器人的结构振动,但是这种 粗笨 结构的机器人存在高能耗㊁适应性差等问题.为了提高机器人的节能性,要对机器人的结构进行轻量化设计,但轻量化设计又会导致其柔性结构振动,这就需要对机器人进行动态控制,以提高其动态刚度来减小结构振动.另外,能感知人协作意图㊁适应环境与目标变化的机器人因具有柔顺结构而适应性能良好,也存在柔性结构振动的可能.因此,利用柔性结构带来轻量节能与适应能力的前提是减小柔性结构振动,这需要研究柔性结构的动态控制,这些动态控制的力学基础都是刚柔耦合动力学.刚柔耦合动力学 轻量化协作机器人设计与控制的力学基础解读«机器人刚柔耦合动力学»尹海斌武汉理工大学湖北省数字制造重点实验室,武汉,４３００７０收稿日期:２０１８０８０８１㊀机器人技术的发展趋势１．１㊀背景与现状随着技术的发展㊁社会的进步,人们越来越意识到人与自然和谐相处的重要性,其中最重要的一条就是减少对大自然的索取与排放,为此,人们提出了工业发展的节能减排约束机制.机器人技术的发展也应该遵循这一工业化发展的大趋势,向节能化方向发展.另外,随着用工成本的上升㊁社会老龄化的加剧,机器人越来越被看好,它是一个可以替代人工去做很多繁重和重复性工作的工具;要提高机器人的人工替代率,机器人必须具有一定的智能.因此,节能与智能是机器人技术发展的两大趋势.现有的绝大多数机器人结构设计是结构刚度最大化,以减小机器人结构的振动而实现精确的运动定位.但是,这种最大化刚度结构的机器人用材多㊁不经济,结构笨重不节能,惯量大而动态性能差,生产效率低.况且,不存在绝对的刚性结构,一定条件的输入会激励出一定频率的振动,即使设计成最大化刚度结构,机器人在高速重载的工作条件下同样面临着结构振动的问题.因此,要提高机器人运动的精度(降低柔性结构振动),往往会以牺牲其性能指标(节能经济㊁动态性㊁效率㊁工作条件)为代价.机器人大量应用于工农业生产,但其人工替代率仍不足１％,这是因为机器人还不能够如人一般自主适应外界环境和目标的变化,进行自主安全的运动和操作.柔顺结构或柔顺关节具有很好的适应性能,能够适应环境和目标的变化,能够感知操作者的动作意图,但同时也会存在结构振动从而带来运动控制精度的问题.柔性机器人轻量节能,对环境和目标的变化具有适应性,但也存在因为结构刚度较低而导致的结构振动的问题.要想充分利用柔性结构的优点,关键是要解决柔性结构带来的振动问题.为此,国内外许多研究人员对柔性机器人的各种关键技术进行了大量研究.１．２㊀发展概述对柔性机器人关键技术的研究就是对其共性问题刚柔耦合动力学综合问题的研究.首先,需要建立一个能代表真实系统的精确模型来预测分析其动态行为.在这一研究领域,有大量的关于柔性臂动态建模与分析的研究,D w i v e d y 发表了一篇这个领域的评论文章,分析了１９７４－２００５年间的主要研究成果.根据这些已发表的研究论文,用于计算柔性机器人动力学的柔性描述方法可以归纳为３种.最常见㊁应用最广泛的方法是线性的弹性变形描述,大量的文献中都采用了这种最常见的线性描述方法来建立柔性机器人的动力学模型.近２０年来,也有一些研究论文讨论了二次变形描述方法,它考虑了轴向缩短和横向弯曲;在连续柔性结构的离散计算中,二次变形描述中只有横向弯曲被认为是柔性位移.２００５年,L e e 提出了一种新的变形描述方法推导柔性梁的动态方程,这个新的变形描述方法基本上等效于二次变形描述方法,不同的是横向弯曲与轴向缩短被综合为一个向量来用作柔性位移.这个新方法很少被用于柔性机器人的动态建模与分析,«机器人刚柔耦合动０２０３力学»(下称 本专著 )中详细讨论了如何用这个方法建立柔性机器人动态模型.除此之外,柔性机器人的动态控制也是一个很重要的研究课题.在过去的数十年中,许多研究人员对柔性机器人的动态控制进行了研究.２００４年,B e n o s m a n 提出了柔性机器人动态控制的综述文章,分析总结出４类目标和２０种方法(表１).这些动态控制方法一般基于具体的柔性机器人动态模型与分析,因此,采用上述新的变形描述方法建立柔性机器人动态模型,需要研究与之相应的动态控制器设计方法.这些相关的研究成果是机器人刚柔耦合动力学发展过程的体现,也是本专著的主要内容.表１㊀柔性机器人动态控制目标与方法４类控制目标２０种控制方法(１)无时间限制的点到点运动(２)有时间限制的点到点运动(３)关节空间内的轨迹跟踪(４)工作空间内的轨迹跟踪前馈轨迹规划输入整形技术,优化轨迹规划主动控制P D /P I D 控制,二次型最优控制,滑模变结构控制,奇异摄动控制,逆动态控制,力矩控制被动控制控制Ｇ结构优化设计,耦合结构智能控制神经网络控制,自适应控制,鲁棒控制,基于动态反馈的精确线性化特殊控制方法边界控制,机械波法,代数控制,输出再定义,超前滞后控制,极点配置２㊀«机器人刚柔耦合动力学»主要内容２．１㊀内容涵盖范围机器人种类繁多,从构型上看,可以归纳为机器人手臂㊁移动机器人以及人形机器人.机器人手臂又分为串联式和并联式,移动机器人可分为陆地移动型和空中飞跃型,人形机器人是前两者的集大成,是可以移动的机械臂或四肢.因此,在机器人构型研究中,机械臂和移动机器人是典型的代表.本专著中所介绍的机器人也主要指这两类机器人,其结构中采用了柔性单元,分别为柔性机械臂和柔性悬挂移动机械臂.２．２㊀内容介绍表２详细列出了本专著的主要内容,包括３个部分和８个章节.第一部分是概述,介绍了机器人动力学研究的意义;第二部分主要介绍柔性机械臂的研究成果,共四章;第三部分主要介绍柔性悬挂移动机械臂的研究成果,共三章.为了便于读者对专著有一个大致了解,下面主要对柔性机械臂与柔性悬挂移动机械臂的研究内容及研究关系做一个介绍.表２㊀«机器人刚柔耦合动力学»主要内容概述(１)机器人动力学研究意义柔性机械臂(２)刚柔耦合机械臂的建模与分析(３)刚柔耦合机械臂动态控制器设计(４)刚柔耦合机械臂动态控制仿真与实验(５)旋转刚柔耦合系统动力学建模方法的比较研究柔性悬挂移动机械臂(６)悬挂轮式移动机械臂的振动控制(７)多要素作用下的移动机械臂跟踪控制(８)路面激励下移动机械臂的动态稳定性控制㊀㊀本专著中,柔性机械臂的研究成果主要涉及柔性机械臂的动态建模与分析㊁动态控制与实验㊁建模方法的比较研究等内容.柔性机械臂建模时,采用了一种新的变形描述方法计算柔性变形.在模型分析计算时,一种情况认为,柔性臂关节轨迹的角度函数与其柔性状态之间保持独立;另外一种情况认为,驱动关节刚度不足时,柔性臂关节轨迹的角度函数将会受到其柔性状态的影响.因此,前者不用考虑关节柔性,后者需要考虑关节柔性.上述动态模型分析指出,柔性臂的动力学模型是一个强非线性系统且系统惯量矩阵的逆存在奇异.为了避免计算惯量矩阵的逆时出现奇异,并减小高阶复杂模型的计算难度,全阶的动力学模型被分解为一个柔性子系统和一个刚性子系统.基于这两个动力学子系统,提出了一个分解的动态控制方法,它由柔性动态控制模块(F D C )和刚性动态控制模块(R D C )组成.F D C 模块旨在寻找期望的轨迹,尽可能减小激励振动;R D C模块的任务则是跟踪期望的轨迹并补偿不确定的动态.控制器设计后,实验证明了分解的动态控制是有效的.前期的研究表明,柔性机械臂动态模型仍不够准确,会造成动态控制器的设计更加复杂.为了更加准确地预测动态行为㊁降低动态控制的设计难度,建立一个更加准确的柔性机械臂动态模型是非常必要的.通过柔性机械臂动态建模方法的比较研究发现,建模中采用的柔性梁边界条件比柔性变形描述方法对柔性机械臂动态模型的精度影响更明显;研究提出了一种用于精确建立柔性机械臂动态模型的边界条件的辨识方法.另外,柔性悬挂移动机械臂的研究成果涵盖柔性悬挂移动平台振动控制㊁移动机械臂轨迹规划㊁移动机械臂稳定性研究等内容.柔性悬挂移动平台振动控制研究了两种情况下的问题:一是机械臂静止而柔性悬挂平台运动时,最优的多输入整形法能有效抑制振动;二是机械臂和柔性悬挂平台都运动时,混沌粒子群优化１２０３ 刚柔耦合动力学 轻量化协作机器人设计与控制的力学基础 解读«机器人刚柔耦合动力学»尹海斌算法可以通过寻找时间与加加速度的综合最优路径来有效地减小振动.柔性悬挂移动机械臂的轨迹追踪问题考虑了多种因素:理想的轮子纯滚动,非理想的轮子滑动,柔性悬挂移动平台与机械臂之间的相互作用.为了让多要素作用下移动机械臂的动态控制器都能精确地追踪轨迹,使用了模糊补偿器来减少不确定性因素的影响.为了解决柔性悬挂移动机械臂在通过不平路面时的稳定性问题,提出了一种半主动的变阻尼器,建立了与半主动悬架的变量相关的振动微分方程,最后得出封闭形式的移动机器人稳定性计算方法,并通过引入机器人小车的重量与不平路面引起的重心位置变化量,对动态稳定性计算方法进行了改进.３㊀机器人刚柔耦合动力学研究的科学意义３．１㊀刚柔耦合动力学研究的本质问题刚柔耦合动力学的研究包罗万象,但本质上是柔性机器人系统动力学综合优化问题.为了理解其研究的意义,我们首先来回顾一下动力学的概念及其任务.动力学源于力学的研究,它是理论力学的分支学科,主要研究物体的运动与力之间的关系.后来,动力学的概念被引申用于更多学科的研究,出现了系统动力学的概念:系统动力学主要研究系统输入与系统状态之间的关系.比如经济动力学,海洋环流动力学㊁气象动力学及生物动力学等.可见,动力学不再局限于物体的运动与力之间的关系,而是一个应用广泛的概念.图１所示为机电系统动力学问题的一般描述,在一个系统上有一定的输入作用,就会有一定的输出响应.系统的输入㊁输出及系统本身是一个系统动力学的三要素.系统动力学的研究就是对这三个要素进行研究.图１㊀机电系统动力学三要素动力学三要素对应动力学的３个任务.如图２所示,当系统未知或待求解时,需要进行系统建模或者系统辨识(m o d e l i n g o r i d e n t i f i c a t i o n ),这是第一个研究任务;当系统输出未知或需要分析系统输出状态时,需要进行系统仿真(s i m u l a t i o n )研究;当系统输入未知㊁需要确定输入时,需要研图２㊀系统动力学三任务究系统动态控制问题(c o n t r o l).对于较高要求的机电系统设计,这３个任务是相互关联的,需要整体考虑.假定某一系统动力学模型可描述如下:M (s ,K ,X )＝u其中,u 和X 为系统输入和输出状态;s 和K 为结构参数和动态控制参数.在系统输入u 的作用下,有输出状态X 的响应,该响应将受到结构参数s 与控制参数K 的影响.要想获取期望的输出响应,可以设计输入u ㊁结构参数s 和控制参数K ,三者之间是相互关联的.例如,机械臂系统设计中,期望的性能指标是要求快速并精确定位,结构轻量化设计(调整结构参数s )能提高快速性,但这又会导致刚度不足,降低定位精度.我们可以通过规划输入轨迹u 来减小激励振动,或者调整反馈控制参数K 来抑制振动.因此,柔性机器人动态控制实质上是一个统筹考虑机械臂动力学的输入㊁系统结构和反馈参数的综合优化问题,涉及到机器人动力学的建模㊁分析与控制等内容.３．２㊀机器人刚柔耦合动力学研究的意义机器人刚柔耦合动力学的研究有助于我们理解如下几类工程实践问题.对于刚性机械臂,追踪期望的轨迹时,基于动力学模型的位置控制能够提高轨迹跟踪的实时性和精度,通过内环力矩控制模式实现外环轨迹的跟踪(图３a).对于柔性机械臂,比如轻型机械臂㊁细长机械臂㊁高速重载机械臂等都属于柔性臂的范畴,它们都面临柔性结构振动的共性问题.对柔性臂进行研究就是要研究如何减小柔性结构振动㊁提高机械臂的动态性能.我们可以把这些研究归纳为两类问题:一类是性能提升(图３b ),主要是针对现有的机械臂,通过反馈控制提高机械臂动态刚度来减小因系统输入性能的提升而出现的结构振动,比如要提高某一机械臂的工作速度或负载质量;另一类是轻量优化设计(图３c),就是利用现２２０３ 中国机械工程第２９卷第２４期２０１８年１２月下半月代设计方法,依据动力学模型,设计满足约束条件和目标要求的轻型机械臂.因此,柔性机械臂动力学研究的意义在于:能够提高机械臂的轻量化程度㊁提高工作空间范围㊁提升工作性能等.对于移动机器人,纯刚性设计会出现较差的平顺性能和较弱的环境适应能力,因此,要提升移动机器人的平顺性和对环境的适应性,就要有针对性地设计具有柔顺机构的移动机器人,研究柔顺机构移动机器人平台的刚柔耦合动力学问题,确定其结构刚度与动态刚度的关系.这也可以归类为图３c中的优化设计问题.在人机动态交互过程中,刚性关节不能感知交互意图;利用机器人柔顺关节对力矩敏感的特征能够感知人机交互的意图,但是柔顺关节在运动过程中也会存在柔性结构振动的问题(图３d),协作机器人柔顺关节的阻抗控制需要跟踪力矩目标和振动控制.总之,机器人刚柔耦合动力学的研究能够提升机器人的动态性能和适应能力,具有重要的科学意义和工程实践价值.４㊀结语«机器人刚柔耦合动力学»一书对柔性机器人的建模㊁仿真与动态控制等方面的内容作了较全面的分析和介绍,主要介绍了两种典型的机器人:柔性机械臂和柔性悬挂移动机械臂.柔性机械臂的研究内容有刚柔耦合动力学建模方法㊁动力学分析与动态控制器设计,这些研究为机械臂的振动控制提供了理论与方法.柔性悬挂移动机械臂的研究内容有柔性悬挂移动机器人振动控制方法㊁多要素作用下移动机械臂的跟踪控制和路面激励下移动机器人的动态稳定性控制,这些方法为柔性悬挂移动机器人动态控制奠定了理论基础.图３㊀机器人刚柔耦合动力学研究原理图作者力图总结在机器人刚柔耦合动力学研究领域取得的一些研究成果.这些研究成果的总结能够为提高机器人的性能与品质提供理论基础和实践方法,使读者能够借鉴并用于机电设备的减振降噪㊁机器人的精确控制和性能提升㊁机械臂的轻量优化设计㊁细长等特种机械臂的设计㊁柔顺平台的开发和人机协作机器人柔顺关节的动态控制等方向.该书可以作为机械工程㊁自动化与控制工程等相关学科方向的教师㊁研究人员的参考资料,也可以作为机器人技术领域的广大工程技术人员,特别是产品开发技术人员学习和工作的参考书.(编辑㊀王旻玥)作者简介:尹海斌,男,１９７９年生,副教授㊁博士.«机器人刚柔耦合动力学»第一作者.３２０３刚柔耦合动力学 轻量化协作机器人设计与控制的力学基础 解读«机器人刚柔耦合动力学» 尹海斌。

单自由度柔性机械臂刚柔耦合动力学仿真研究王江勇;王基生;张俊俊;刘自红;刘罡【摘要】Flexible manipulator in a rigid rotation will produce elastic deformation of movement, and the dynamic behavior of rigid-flexible coupling is complex,which has a great effect on the control accuracy and the stability of motion of the manipulator.In order to study on rigid-flexible coupling characteristics for the single degree of freedom flexible manipulator, the co-simulation method using ANSYS and ADAMS was adopted.A ccording to the modeling theory of flexible body, the finite element model of a single degree of freedom flexible manipulator was established in ANSYS, which was used to import into ADAMS to carry on dynamic simulation.The relationship between the end point vibration of flexible manipulator and rotational velocity was analyzed,and the stress at one time and its change with time were studied.The results show that this method is suitable for flexible manipulator's rigid-flexible coupling dynamic characteristics and it is of great significance to design the flexible manipulator.%柔性机械臂在刚性旋转的同时自身存在弹性变形运动,其动力学行为表现为复杂的刚柔耦合现象,对机械臂的控制精度和运动稳定性产生不可忽视的影响.为研究单自由度柔性机械臂的刚柔耦合特性,采用了ANSYS和ADAMS的联合仿真方法.基于柔性体建模理论,在ANSYS中建立单自由度柔性机械臂的有限元模型,将模型导入ADAMS中进行动力学仿真.分析了机械臂末端的振动与转速的关系,研究了某一时刻的动应力及其随时间的变化情况.结果表明,该方法适用于柔性机械臂的刚柔耦合动力学特性研究,对柔性机械臂的设计具有重要意义.【期刊名称】《机械设计与制造》【年(卷),期】2012(000)012【总页数】3页(P54-56)【关键词】机械臂;刚柔耦合;联合仿真;振动;应力【作者】王江勇;王基生;张俊俊;刘自红;刘罡【作者单位】西南科技大学制造过程测试技术教育部重点实验室,绵阳621010;西南科技大学制造过程测试技术教育部重点实验室,绵阳621010;西南科技大学制造过程测试技术教育部重点实验室,绵阳621010;西南科技大学制造过程测试技术教育部重点实验室,绵阳621010;西南科技大学制造过程测试技术教育部重点实验室,绵阳621010【正文语种】中文【中图分类】TH161 引言机械臂是具有模仿人类手臂功能并可完成各种作业的自动控制设备。

二连杆机器人动力学方程二连杆机器人是一种简单的机器人系统，由两根连接在一起的连杆构成，可以用于模拟人体运动、机器人运动等。

其动力学方程可以通过Lagrange方法进行推导。

首先，定义系统的广义坐标，例如，可以选择两个连杆的角度（θ₁、θ₂）以及两个连杆的角速度（ω₁、ω₂）作为广义坐标。

然后，定义连杆的质量（m₁、m₂）、长度（l₁、l₂）、重心距离（d₁、d₂）等参数。

接下来，可以利用Lagrange方法推导出机器人的动力学方程。

Lagrange方法是一种基于能量的方法，用于描述系统的动力学。

步骤如下：1.计算连杆的动能（T）和势能（V）。

连杆的动能等于其质点的动能之和，连杆的势能等于其质点的势能之和。

2.根据广义坐标，构建系统的Lagrange函数（L = T - V）。

3.使用Euler-Lagrange方程，对Lagrange函数取关于广义坐标的偏导数，得到广义力（F）。

4.对广义力进行整理和简化，推导出动力学方程。

最终的动力学方程可以写成类似于以下形式的方程：(M(q) \cdot \ddot{q} + C(q, \dot{q}) \cdot \dot{q} + G(q) = \tau) 其中，(M(q))是系统的惯性矩阵，描述了系统的质量和几何特性；(\ddot{q})是广义加速度的二阶导数；(C(q, \dot{q}))是科里奥利力-禧维特力矩阵，描述了由于速度和加速度引起的惯性力效应；(G(q))是重力矩阵，描述了由于重力作用而引起的力矩；(\tau)是外部施加的关节力矩。

这样, 通过求解动力学方程，可以得到机器人系统在给定的广义力矩下的运动变化情况。

需要注意的是，具体的推导过程以及方程的形式会根据系统结构和约束条件的不同而有所差异。

三自由度机械臂动力学方程一、关节角度在三自由度机械臂中，关节角度是指各关节相对于固定参考系的位置。

每个关节都有一定的运动范围，通过组合不同关节的角度变化，可以实现机械臂的各种复杂运动。

二、角速度和角加速度角速度是指机械臂各关节在运动过程中角度变化的速率，角加速度则是角速度变化的速率。

通过对角速度和角加速度的测量和控制，可以了解机械臂的运动状态，从而实现精确的运动控制。

三、线性速度和线性加速度除了关节角度的变化外，机械臂末端执行器的位置和姿态还受到线性速度和线性加速度的影响。

线性速度是指末端执行器在空间中移动的速率，线性加速度则是线性速度变化的速率。

通过控制线性速度和线性加速度，可以在关节角度控制的基上进行更精确的位置和姿态控制。

四、力矩和力在机械臂操作过程中，末端执行器与环境之间的相互作用力会对机械臂的运动产生影响。

力矩是力对机械臂关节产生的旋转效应，力则是力对机械臂产生的平移效应。

通过对力矩和力的测量和控制，可以实现机械臂的柔顺运动和避免与环境的碰撞。

五、控制输入和期望输出控制输入是指对机械臂关节角度、角速度、角加速度、力矩和力的控制信号。

期望输出是指控制输入所期望达到的机械臂运动状态，包括末端执行器的位置、姿态、速度和加速度等。

通过将期望输出与实际输出的比较和控制算法的处理，可以实现机械臂的精确运动控制。

总结：三自由度机械臂动力学方程主要研究关节角度、角速度和角加速度、线性速度和线性加速度、力矩和力以及控制输入和期望输出等几个方面。

通过掌握这些方面的影响因素和控制方法，可以更好地设计和控制三自由度机械臂的运动轨迹，实现各种复杂任务的高效执行。

二连杆机器人动力学方程简介二连杆机器人是一种常见的机器人结构，由两个连接在一起的杆件组成，类似人的上肢结构。

动力学方程是描述机器人运动的重要工具，可以用于控制机器人的运动以及研究机器人的力学性能。

本文将介绍二连杆机器人的动力学方程，并对其推导过程进行详细阐述。

动力学方程的推导首先，我们需要定义二连杆机器人的几何参数和状态变量。

假设机器人的两个杆件的长度分别为L1和L2，重力加速度为g。

假设机器人的关节角度分别为θ1和θ2，关节角速度分别为ω1和ω2，关节角加速度分别为α1和α2。

接下来，我们需要推导机器人的运动学方程。

根据运动学关系，可以得到杆件末端的位置坐标为：x = L1cos(θ1) + L2cos(θ1+θ2) y = L1sin(θ1) + L2sin(θ1+θ2)其次，我们需要推导机器人的动力学方程。

根据牛顿第二定律，可以得到机器人的动力学方程为：M1α1 + M2α2 + C1ω1 + C2ω2 + G1 + G2 = τ1 I1α1 + I2α2 + C3ω1 + C4ω2 + G3 + G4 = τ2其中M1和M2分别为杆件1和杆件2的质量，I1和I2分别为杆件1和杆件2的转动惯量，C1、C2、C3和C4分别为相关的离心力和科里奥利力系数，G1、G2、G3和G4分别为相关的重力分量，τ1和τ2分别为关节的扭矩。

重力分量的计算可以根据重力加速度和杆件的质量进行计算：G1 = (m1 + m2)g L1sin(θ1) + m2g L2sin(θ1+θ2) G2 = m2g L2*sin(θ1+θ2) G3 = 0 G4 = 0离心力和科里奥利力的计算可以根据关节角速度进行计算：C1 = -0.5m1L1ω1sin(2θ1) - m2L1ω1sin(2θ1) - 0.5m2L2ω2sin(2(θ1+θ2)) C2 = -0.5m2L2ω2sin(2(θ1+θ2)) C3 = 0.5m1L1ω1sin(2θ1) + m2L1ω1sin(2θ1) +0.5m2L2ω2sin(2(θ1+θ2)) C4 = 0.5m2L2ω2sin(2(θ1+θ2))最后，我们可以将运动学方程和动力学方程联立，得到关于加速度的线性方程组，即动力学方程。

空间3r机械手运动学方程及其雅可比矩阵空间3R机械手运动学方程及其雅可比矩阵一、空间3R机械手运动学方程空间3R机械手按其结构特点和末端执行器的外形，可将机械手分为平面与空间两类，两类手臂中空间机械手最能模拟人的运动，具有很好的普遍性，因此得到很多应用，正是由于其复杂的运动，应用空间3R机械手的时候必须能够准确的确定位置、姿态和其它运动特点，这就要求我们应用运动学方程来求解这个问题，具体来说就是求解空间3R机械手的位置和姿态变换。

空间3R机械手与普通的1R和2R机械手不同，它具有一个腰部节点与三个关节，这样机械手的坐标系统就有五个（机械手基坐标系和三个关节坐标系），其中机械手基坐标系O确定机械手的位置与方向，每个关节坐标系确定机械手在该链段的运动情况。

根据正反向运动学方程，空间3R机械手的正向运动学方程可以写成如下形式：$ T_{10} = A_1(θ_1)T_{O1} $$ T_{21} = A_2(θ_2)T_{12} $$ T_{32} = A_3(θ_3)T_{23} $$ T_{03} = A_0(θ_0)T_{O3} $其中，$ T_{10} $ 为末端末关节点O3在基座标系O0下的变换矩阵，$ A_1(θ_1) $ 为第一个关节的变换矩阵，$ T_{O1} $ 为第一个关节的末端点相对于机械臂基座标系O0的变换矩阵，$ T_{21}$ 为第一个关节点O1在第二个关节座标系O2下的变换矩阵，$ A_2(θ_2) $ 为第二个关节的变换矩阵，$ T_{12} $ 为第二个关节的末端点相对于第一个关节座标系O1的变换矩阵，以此类推。

二、空间3R机械手的雅可比矩阵对于空间3R机械手来说，求取它末端末关节点O3在基座标系O0下的变换矩阵$ T_{10} $可以通过雅可比矩阵来实现。