数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础
2、1 有一个理想采样系统,其采样角频率Ωs =6π,采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原,其中
⎪⎩
⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ
3032
1
)(，，j H a 现有两个输入,x 1(t )=cos2πt ,x 2(t )=cos5πt 。试问输出信号
y 1(t ),y 2(t )有无失真？为什么？
分析:要想时域采样后能不失真地还原出原信号,则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍,即满足Ωs ≥2Ωh 。 解:已知采样角频率Ωs =6π,则由香农采样定理,可得 因为x 1(t )=cos2πt ,而频谱中最高角频率ππ
π32
621
=<
=Ωh ,所以y 1(t )
无失真;
因为x 2(t )=cos5πt ,而频谱中最高角频率ππ
π32
652
=>
=Ωh ,所以y 2(t )
失真。
2、2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000π
t ,求:
（1） 该信号的最小采样频率;
（2） 若采样频率f s =5000Hz,其采样后的输出信号; 分析:利用信号的采样定理及采样公式来求解。 ○
1采样定理 采样后信号不失真的条件为:信号的采样频率f s 不小于其最高频
率f m 的两倍,即
f s ≥2f m
○
2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s
===
解:(1)在模拟信号中含有的频率成分就是
f 1=1000Hz,f 2=3000Hz,f 3=6000Hz
∴信号的最高频率f m =6000Hz
由采样定理f s ≥2f m ,得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz (2)由于采样频率f s =5kHz,则采样后的输出信号
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT
t s
522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明:由上式可见,采样后的信号中只出现1kHz 与2kHz 的频率成分,
即
kHz
f f f kHz
f f f s
s 25000200052150001000512211
======，，
若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号,则恢复后的模拟信号
()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=
可见,恢复后的模拟信号y (t ) 不同于原模拟信号x (t ),存在失真,这就是由于采样频率不满足采样定理的要求,而产生混叠的结果。
第三章 傅里叶分析
I. 傅里叶变换概述
3、1 [习题3、2]设序列x (n )=δ(n-m ),求其频谱X (e j ω),并讨论其幅频与相频响应
分析:求解序列的频谱有两种方法:
○
1先求序列的z 变换X (z ),再求频谱ω
ωj e z j z X e X ==)()(,即X (e j ω)为单位圆上的z 变换;
○
2直接求序列的傅里叶变换 ∑∞
-∞
=-=
n n
j j e
n x e X ωω
)()(
解:对序列x (n )先进行z 变换,再求频谱,得
m z m n ZT n x ZT z X -=-==)]([)]([)(δ
则ωωω
jm e z j e z X e X j -===)()(
若系统的单位采样响应h (n )=x (n ),则系统的频率响应
)}(exp{)(1)()(ωϕωωωωωj e H e e e X e H j jm jm j j ====--•
故其幅频与相频响应(如图)分别为
幅频响应 1)(=ωj e H 相频响应 ωωϕm -=)(
由图可见,该系统的频率响应具有单位幅值以及线性相位的特点。 3、2 设x (n )的傅里叶变换为X (e j ω),试利用X (e j ω)表示下列序列的傅里叶变换:
（1）
)1()1()(1n x n x n x --+-= （2） )]()([2
1
)(2n x n x n x -+=*
分析:利用序列翻褶后的时移性质与线性性质来求解,即
)()(ωj e X n x ⇔,)()(ωj e X n x -⇔-
)()(ωωj m j e X e n m x --⇔- 解:(1)由于)()]([ωj e X n x DTFT =,)()]([ωj e X n x DTFT -=-,则
)()]1([ωωj j e X e n x DTFT --=- )()]1([ωωj j e X e n x DTFT -=--
故ωωωωωcos )(2])[()]([1j j j j e X e e e X n x DTFT ---=+= (2)由于)()]([ωj e X n x DTFT **=-
故)](Re[2
)
()()]([2ωωωj j j e X e X e X n x DTFT =+=
* 3、3 设X (e j ω)就是如图所示的信号x (n )的傅里叶变换,不必求出
X (e j ω),试完成下列计算:
（1）
)(0j e X
