数字信号处理经典例题解析

第二章习题解答1、求下列序列的z 变换()X z ，并标明收敛域，绘出()X z 的零极点图。

(1) 1()()2nu n (2) 1()()4nu n - (3) (0.5)(1)nu n --- (4) (1)n δ+(5) 1()[()(10)]2nu n u n -- (6) ,01na a <<解：(1) 00.5()0.50.5nn n n zZ u n z z ∞-=⎡⎤==⎣⎦-∑，收敛域为0.5z >，零极点图如题1解图(1)。

(2) ()()014()1414n nn n z Z u n z z ∞-=⎡⎤-=-=⎣⎦+∑，收敛域为14z >，零极点图如题1解图(2)。

(3) ()1(0.5)(1)0.50.5nnn n zZ u n z z --=-∞-⎡⎤---=-=⎣⎦+∑，收敛域为0.5z <，零极点图如题1解图(3)。

(4) [](1Z n z δ+=，收敛域为z <∞，零极点图如题1解图(4)。

(5) 由题可知，101010910109(0.5)[()(10)](0.5)()(0.5)(10)0.50.50.50.50.50.5(0.5)n n nZ u n u n Z u n Z u n z z z z z z z z z z z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⋅=-----==--收敛域为0z >，零极点图如题1解图(5)。

(6) 由于()(1)nn n a a u n a u n -=+--那么，111()(1)()()()nn n Z a Z a u n Z a u n z z z a z a z a a z a z a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=----=-- 收敛域为1a z a <<，零极点图如题1解图(6)。

(1) (2) (3)(4) (5) (6)题1解图2、求下列)(z X 的反变换。

第一章数字信号处理概述简答题：1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。

此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。

在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。

判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。

（）答：错。

需要增加采样和量化两道工序。

3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。

（）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。

因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。

故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。

第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理 计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。

（a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。

（b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。

解 （a ）因为当0)(8=≥ωπωj e H rad 时，在数 — 模变换中)(1)(1)(Tj X Tj X Te Y a a j ωω=Ω=所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为8π=ΩT c因此 Hz Tf c c 6251612==Ω=π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ，因此对T8π没有影响，故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定，是625Hz 。

1设序列x(n)={4，3，2，1} ， 另一序列h(n) ={1，1，1，1}，n=0,1,2,3 （1）试求线性卷积 y(n)=x(n)*h(n) （2）试求6点圆周卷积。

（3）试求8点圆周卷积。

解：1．y(n)=x(n)*h(n)={4,7,9,10,6,3,1}2．6点圆周卷积={5,7,9,10,6,3}3．8点圆周卷积={4,7,9,10,6,3,1,0} 2二．数字序列 x(n)如图所示. 画出下列每个序列时域序列： (1) x(n-2); (2)x(3-n); (3)x[((n-1))6],(0≤n ≤5);(4)x[((-n-1))6],(0≤n ≤5);n12340.5x(3-n)x[((n-1))]n43210.5n12340.5x[((-n-1))6]3．已知一稳定的LTI 系统的H(z)为)21)(5.01()1(2)(111------=z z z z H试确定该系统H(z)的收敛域和脉冲响应h[n]。

解0.52ReIm系统有两个极点，其收敛域可能有三种形式，|z|<0.5, 0.5<|z|<2, |z|>2 因为稳定，收敛域应包含单位圆，则系统收敛域为：0.5<|z|<211111213/25.013/4)21)(5.01()1(2)(--------=---=z z z z z z H)1(232)()5.0(34)(--+=n u n u n h n n4．设x(n)是一个10点的有限序列x （n ）={ 2,3,1,4,-3,-1,1,1,0,6}，不计算DFT ，试确定下列表达式的值。

(1) X(0), (2) X(5), (3) ∑=90)(k k X,（4）∑=-95/2)(k k j k X eπ解：（1） （2）（3）（4）5． x(n)和h(n)是如下给定的有限序列 x(n)={5, 2, 4, -1, 2}， h(n)={-3, 2, -1 } (1) 计算x(n)和h(n)的线性卷积y(n)= x(n)* h(n)； (2) 计算x(n)和h(n)的6 点循环卷积y 1(n)= x(n)⑥h (n)； (3) 计算x(n)和h(n)的8 点循环卷积y 2(n)= x(n)⑧h (n)； 比较以上结果，有何结论？ 解：（1）5 2 4 -1 2-3 2 15 2 4 -1 210 4 8 -2 4-15 -6 -12 3 -6-15 4 -3 13 -4 3 214][]0[190===∑=n N n x X W 12][][]5[119180510-=-===⎩⎨⎧-=∑∑====奇偶奇数偶数n n n n n n x n x X n n W20]0[*10][][101]0[99===∑∑==x k X k X x k k 0]8[*10][][101]))210[((][]))[((2)10/2(92)10/2(910)/2(===-⇔--=-=-∑∑x k X ek X ex k X e m n x k j k k j k m N k j N πππy(n)= x(n)* h(n)={-15,4,-3,13,-4,3,2} (2)5 2 4 -1 2-3 2 15 2 4 -1 210 4 8 -2 4-15 -6 -12 3 -6-15 4 -3 13 -4 3 22-13 4 -3 13 -4 3 2y 1(n)= x(n)⑥h (n)= {-13,4,-3,13,-4,3}(3)因为8>(5+3-1),所以y 3(n)= x(n)⑧h (n)＝{-15,4,-3,13,-4,3,2，0} y 3(n)与y(n)非零部分相同。

1 为因果序列，故收敛域为： z 2
8
（2） (n n0 ) n0 0
解：
X ( z)
n


x(n) z n
n
(n n0 ) z n
X ( z) z
n0

1 n n0 (n n0 ) 0 other
1 n0 z
z 0.5 左边序列 0.5 z 2 双边序列 右边序列 z 2
16
采用围线积分法求解：
3 2 X ( z) 1 1 0.5 z 1 2 z 1 3(1 2 z 1 ) 2(1 0.5 z 1 ) 5 7 z 1 1 1 (1 0.5 z )(1 2 z ) (1 0.5 z 1 )(1 2 z 1 )
z1 1, z2 2
X(z)的收敛域为
左边序列 z 1 1 z 2 双边序列 z 2 右边序列
24
F ( z) X ( z) z
n 1
z ( z 3) ( z 3) n 1 z zn ( z 1)( z 2) ( z 1)( z 2)
z 2
21
当收敛域为： z 2 0.5
1 n n 1 x(n) 3( ) u (n) 2 u (n 1) 2
22
收敛域为： z 2
右边序列
n 0 ，围线c内有2个1阶极点
x(n) Re s[( z 0.5) F ( z), 0.5] Re s[( z 2) F ( z), 2] ( z 0.5) 5z 7 zn ( z 0.5)( z 2) ( z 2)
双边序列
n 0 ，围线c内有1个1阶极点

的关系为
只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上， 才满足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7≤n≤19
令
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析
3 解答
n≥0时， 因为c内无极点，x(n)=0; n≤－1时， c内有极点0 ， 但z=0是一个n阶极点， 改为求
圆外极点留数， 圆外极点有z1=0.5, z2=2， 那么
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第二章Z变换及离散时间系统分析 3 解答 (2) 收敛域0.5<|z|<2:
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第三章信号的傅里叶变换 1 解答
(1) (2) (3)
数字信号处理习题及解答
第三章信号的傅里叶变换 2 试求如下序列的傅里叶变换：
(1) x1(n)=δ(n－3)
（2）
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第三章信号的傅里叶变换 2 解答
(1) (2)
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第三章信号的傅里叶变换
第一章离散时间信号与离散时间系统
4 解答
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第二章Z变换及离散时间系统分析 1
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第二章Z变换及离散时间系统分析 1 解答
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析 1 解答
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析 2
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第二章Z变换及离散时间系统分析 2 解答
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第二章Z变换及离散时间系统分析 2 解答
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第二章Z变换及离散时间系统分析 3 已知
求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。

目录习题一 (3)习题二 (26)习题三 (40)习题四 (61)习题五 (83)习题一1.1序列)(n x 如图T1.1所示，用延迟的单位采样序列加权和表示出这个序列。

图 T1.1 习题1.1图【解答】 任一数字序列都可表达为)()()(k n k x n x k -=∑∞-∞=δ所以图T1-1信号可表达为)3(2)1(3)()3(2)(-+-+-+-=n n n n n x δδδδ1.2 分别绘出以下各序列的图形： （1）)(2)(1n u n x n =（2）)(21)(2n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛=（3）()3()2()nx n u n =-（4）)(21)(4n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛-=【解答】 用MATLAB 得到的各序列图形如图T1.2所示。

图T1.2习题1.2解答1.3 判断下列每个序列是否是周期性的；若是周期性的，试确定其周期。

（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=873cos )(ππn A n x（2）⎪⎭⎫⎝⎛=n A n x 313sin )(π（3）⎪⎭⎫⎝⎛-=n j e n x 6)(π（4）{}{}/12/18()Re Im jn jn x n e e ππ=+（5）16()cos(/17)jnx n e n ππ=【解答】（1）因为730πω=，而31473220==ππωπ，这是一有理数。

所以)(n x 是周期的，周期为14。

（2）因为3130πω=，而136313220==ππωπ，也为有理数。

所以)(n x 是周期的，周期为6。

（3）注意此序列的10=ω，πωπ220=，是无理数，所以)(n x 是非周期的。

（4）实际上()cos(/12)sin(/18)x n n n ππ=+因此)(n x 有两个频率分量，即1201πω=，1802πω=，而 24122201==ππωπ；02223618πππω==都是有理数，所以)(n x 是两个周期信号之和，第一个周期信号的周期241=N ，第二个周期信号的周期362=N ，因此)(n x 的周期是这两个周期的最小公倍数，即72123624)36,24gcd(3624),gcd(2121=⋅=⋅=⋅=N N N N N（5）()x n 是两个周期序列的乘积，其中132N =，234N =，所以该序列的周期是121232343234544gcd(,)gcd(32,34)2N N N N N ⋅⋅⋅====1.4 已知序列)]6()()[6()(---=n u n u n n x ，画出下面序列的示意图。

已知序)()(5n R n x ,求x(n)的8点DFT 变换。

已知模拟滤波器的传输函数 ，用脉冲响应不变法将其转换为数字滤波器，设T=2。

已知采样周期T=2，用双线性变换法将其转换成数字滤波器，说明双线性变换法的有点和缺点。

已知 ，在Z 平面上画出零极点分布图。

已知FIR滤波器的单位脉冲响应为：N=7,h(n)=[3,-2,1,0,1,-2,3] ，说明其相位特性，求群时延。

利用Z变换法求解差分方程描述系统的系统函数H(z)。

1,0)(),(05.0)1(9.0)(-≤==--nnynunyny写出图中流图的系统函数表达式。

已知序列x(n)如图所示，画x((n-2))5R5(n)的图形。

(选做)y(n)1/2 -83 1/4x(n)2Z-1Z-1Z-1求有限长序列x(n)= 的N点DFT。

用脉冲不变法将转换为H(z),采样周期T。

五、计算题(每题12分，共24分)如图所示的RC低通滤波器(1)用脉冲响应不变法转换成数字滤波器。

并画出相应的网络结构图(2)用双线性变换法转换成数字滤波器。

并画出相应的网络结构图(3)以上两种方法所设计的滤波器各自存在那种失真？已知，求两个序列的N=5的循环卷积。

已知系统的差分方程为)2(31)1(32)2()1(2)()(-+---+-+=n y n y n x n x n x n y ， (1)求出系统函数(2)画出直接II 型网络结构(3)画出全部一阶节的级联型结构 (4)画出一阶节的并联结构已知序列}4,3,2,1{)(1=n x ，}1,1,1,1{)(2=n x ，求两个序列的线性卷积，和N=5及N=7点的循环卷积。

一个FIR线性相位滤波器的单位脉冲响应是实数的，且n<0 和n>6 时h(n)=0。

如果H(0)=1且系统函数在z=0.5e jπ/3和z=3 各有一个零点，H(z)的表达式是什么？假如x(n)的z变换代数表示式为：（1）求出系统函数所有的零极点；（2）X（z）可能有多少个不同的收敛域？（3）画出不同情况的收敛域图。

n n0 k n n0 n n0 k n n0
[ax (k ) bx (k )]
1 2 2 1 2

x1( k ) b
n n0
k n n0
x (k ) aT[ x (n)] bT[ x (n)]
系统是线性系统 9
( 4)T [ x( n )] x( n n0） ( a )若 | x( n ) | M ，则： | T [ x( n )] || x( n n0 ) | M 系统是稳定系统 (b ) y( n ) x( n n0 )， (i )n0 0, n n0 n, y( n )与n时刻之后的输入无关 系统是因果系统 (ii )n0 0, n n0 n, y( n )与n时刻之后的输入有关 系统不是因果系统 (c ) T [ax1( n ) bx2 ( n )] ax1( n n0 ) bx2 ( n n0 ) aT[ x1( n )] bT[ x2 ( n )] 系统是稳定系统
15
1 2 j n x( n ) X ( j )e d 2 0 1 2 j 2 n x ( 2n ) X ( j )e d 2 0 1 4 j ' n X ( j '/ 2)e d ' ( ' 2） 4 0 1 2 j n 1 4 j n X ( j )e d X ( j )e d 4 0 2 4 2 2 1 2 j n 1 2 2 j n X ( j )e d X( j )e d 2 0 2 4 0 2 2 1 2 1 j n [ X ( j ) X [ j ( )]e d G ( j )e j d 0 0 2 2 2 2 16

第一章 离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和)n (h *)n (x )n (y =请用公式表示。

分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m （ n 看作参量）， 结果)(n y 中变量是 n ,; )()()()()(∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n x m h m n h m x n y ②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，; )( )( 4n y n n y n 值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（③ 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在 n如此题所示，因而要分段求解。

2 .已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应 为)n (h ,试求系统的输出)n (y ,并画图。

)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ分析：①如果是因果序列)(n y 可表示成)(n y ={)0(y ，)1(y ，)2(y ……}，例如小题（2）为)(n y ={1，2，3，3，2，1} ;②)()(*)( , )()(*)(m n x n x m n n x n x n -=-=δδ ;0 00 , 01()0 , ,()0,n n n a n N h n n n n x n n n β-⎧≤≤-=⎨⎩⎧≤⎪=⎨<⎪⎩其他()∑∑∑+-=+-=--+===-=-+≥nN n m mn n nN n m mn n m nn m m n h m x n y N n n 111N -00)()()( , 1)3(αββααβ全重叠时当()()()()βααβαβαβαββααβαβαβ==≠--=--=---+++--,)(,100111n n N N n N n n N n n n N n y③卷积和求解时，n 的分段处理。

一、数字信号处理（确定性信号）1、对于一个LTI 系统，设其输入序列为矩形冲激信号x(n)=u(n)-u(n-10)，而冲激相应为)(9.0)(n u n h n ，用MATLAB 求解输出信号。

可以直接调用卷积函数来实现。

解：clear allx=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]; n=[0:9]; y=0.9.^n; z=conv(x,y); N=length(z); stem(0:N-1,z);图像如下：给定冲激信号x （n)设定y 函数绘图对x,y 卷积2、编程求两个序列之间的相关系数。

设序列x （k ）=｛3，11，7，0，-1，4，2｝，n=[-3,-2,-1,0,1,2,3]，将x 进行移位再加上一个白噪声信号，即y(k)=x(k-2)+w(k),其中k 属于n ，需要计算x 序列与y 序列之间的相关系数，可以使用卷积来实现。

解：clear all>> x=[3,11,7,0,-1,4,2]; >> nx=[-3:3];>> [y,ny]=sigshift(x,nx,2); >> w=randn(1,length(y)); >> nw=ny;>> [y,ny]=sigadd(y,ny,w,nw); >> [x,nx]=sigfold(x,nx);>> [rxy,nrxy]=conv_m(y,ny,x,nx); >> subplot(1,1,1); >> stem(nrxy,rxy)>> axis([-5,10,-50,250]); >> xlabel('延迟量1'); >> ylabel('rxy');>> title('噪声序列的互相关')图像如下：给定信号x （n)对x 序列移位设定随机信号w根据x,w 得到y 序列对x,y 卷积绘图3、利用filter函数计算冲激相应和单位阶跃响应。

0舍1入法和恒置1法例题
摘要：
1.0 舍1 入法和恒置1 法简介
2.0 舍1 入法例题解析
3.恒置1 法例题解析
4.总结
正文：
一、0 舍1 入法和恒置1 法简介
0 舍1 入法和恒置1 法是数字信号处理中常用的两种取整方法。

0 舍1 入法指的是，当小数部分大于等于0.5 时，整数部分加1；当小数部分小于0.5 时，整数部分不变。

恒置1 法则是指，无论小数部分是多少，整数部分都保持为1。

这两种方法在实际应用中各有优势，根据不同需求选择合适的方法。

二、0 舍1 入法例题解析
假设有一个数字信号y(n)=3.6，要求对其进行0 舍1 入处理。

根据0 舍1 入法的规则，当小数部分大于等于0.5 时，整数部分加1。

在这个例子中，3.6 的小数部分为0.6，大于等于0.5，所以整数部分加1，得到的结果为4。

三、恒置1 法例题解析
同样假设有一个数字信号y(n)=3.6，要求对其进行恒置1 处理。

根据恒置1 法的规则，无论小数部分是多少，整数部分都保持为1。

在这个例子
中，3.6 的小数部分为0.6，但整数部分仍为1，所以得到的结果为1。

四、总结
0 舍1 入法和恒置1 法是数字信号处理中常用的两种取整方法，它们在实际应用中各有优势。

0 舍1 入法能够较好地保留信号的细节信息，而恒置1 法则能简化信号的表示，降低计算复杂度。

. WORD 格式整理. .习题及答案4一、填空题（每空1分, 共10分）1．序列()sin(3/5)x n n π=的周期为 。

2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。

3．对4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。

4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。

5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。

6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出y(n)= 。

7．因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。

二、单项选择题（每题2分, 共20分）1．δ(n)的Z 变换是 （ ）A.1 B.δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π2．序列x 1（n ）的长度为4，序列x 2（n ）的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 73．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入为3x （n-2），输出为 （ ） A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n ） D.y （n ）4．下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT 的是 （ ）A.时域为离散序列，频域为连续信号B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即可完全不失真恢复原信号 （ ）A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理想带阻滤波器 6．下列哪一个系统是因果系统 （ ）A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n)7．一个线性时不变离散系统稳定的充要条件是其系统函数的收敛域包括 （ ） A. 实轴 B.原点 C.单位圆 D.虚轴8．已知序列Z 变换的收敛域为｜z ｜>2，则该序列为 （ ）A.有限长序列 B.无限长序列 C.反因果序列 D.因果序列9．若序列的长度为M，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N需满足的条件是 ( ) A.N≥M B.N≤M C.N≤2M D.N≥2M10．设因果稳定的LTI系统的单位抽样响应h(n)，在n<0时，h(n)= ( ) A.0 B.∞ C. -∞ D.1三、判断题（每题1分, 共10分）1．序列的傅立叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。

数字电子技术基础数字信号处理习题解析数字信号处理（Digital Signal Processing，DSP）作为数字电子技术的一个重要分支，广泛应用于通信、音频、视频、图像等领域。

为了帮助读者更好地理解数字信号处理的相关概念和技术，在本文中，我们将解析一些数字信号处理的习题，并深入探讨其原理和应用。

1. 习题一：给定一个离散时间信号序列x(n) = {1, 2, 3, 4}，请计算其累加序列y(n)。

解析：累加序列y(n)即为输入信号x(n)的前缀和。

根据定义，y(n) = x(0) + x(1) + ... + x(n)。

对于给定的序列x(n) = {1, 2, 3, 4}，计算得到累加序列y(n) = {1, 3, 6, 10}。

2. 习题二：对于一个单位脉冲序列x(n) = δ(n-2)，请计算其平移2个单位时间后的序列y(n)。

解析：单位脉冲序列即在n=0时取值为1，其它时刻取值为0的离散时间序列。

平移操作即将信号向左或向右移动若干个单位时间。

对于给定的单位脉冲序列x(n) = δ(n-2)，平移2个单位时间后得到序列y(n) = δ(n)。

3. 习题三：给定一个离散时间信号序列x(n) = {2, -3, 4, -1}，请计算其反序列y(n)。

解析：反序操作即将输入信号的元素按逆序排列。

对于给定的序列x(n) = {2, -3, 4, -1}，计算得到反序列y(n) = {-1, 4, -3, 2}。

4. 习题四：给定两个离散时间信号序列x(n) = {1, 2, 3, 4}和h(n) = {1, -1}，请计算它们的线性卷积y(n)。

解析：线性卷积操作是两个序列的每个元素相乘再求和的过程。

对于给定的序列x(n) = {1, 2, 3, 4}和h(n) = {1, -1}，计算得到线性卷积序列y(n) = {1, 1, 1, 1}。

5. 习题五：给定一个离散时间信号序列x(n) = {1, 2, -1, 3}，请计算其离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）结果X(k)。

1：周期序列()()n n x 0cos ~ω=， 0ω6π=，()n x ~是由)(~t x a ()t 0cos Ω=理想抽样而得。

试求(1)()n x ~的周期;(2)()()[]n x F e X j ~=ω (3) ()t x a~=∑∞-∞=n ntj n 0e Ωα；求n α (4)()()[]t x F X a ~=Ω 解：(1) 对于周期性序列()()n n x 0cos ~ω= 因为2ωπ=6/2ππ=112=K N所以序列周期12=N(2):由题意知()n x ~是由()t x a ~理想抽样所得，设抽样间隔为s T ，抽样输出为()t xa ˆ； 易得()()[]t x F X a ~=Ω()[]t F 0cos Ω= ]2[00tj t j e e F Ω-Ω+==π()0Ω+Ωδ+π()0Ω-Ωδ由采样序列()n x ~=()nt xa ˆ，由采样定理知： ()()[]n x F e X j ~=ω=()sTaX /ˆω=ΩΩ =∑∞∞--k ss sT k T X T )2(1πω =∑∞∞--k s s T k X T )2(1πω=)]26()26([1sk s s T k T k T ππωπδππωπδ-++--∑∞∞- =)]26()26([ππωπδππωπδk k k -++--∑∞∞- (3) 由)(~t x a ()t 0cos Ω==200tj tj e e Ω-Ω+=∑∞-∞=n nt j n 0e Ωα得:⎪⎩⎪⎨⎧=±==其他n n n 0121α(4)由(2)得:()ΩX =π()0Ω+Ωδ+π()0Ω-Ωδ2：有限长序列()⎪⎭⎫⎝⎛=n n x 6cos π()n R 12求：(1))]([)(n R F e R n j n =ω(2) ()()[]n x F e X j =ω，用)(ωj N e R 表示; (3)求(2)中()ωj e X 的采样值⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k j e X 122π 110≤≤k ; (4)()()[]n x DFT k X =;(5):求第(3)问中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k j e X 122π的IDFT 变换; (6)：求()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=n R n F e X j 2416cos πω的采样值⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k j e X 2421π230≤≤k ; (7):求第(6)问中的采样序列()n x 1; (8):第(2)问中()ωj e X 的采样值⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k j e X 242π对应的采样序列。

N 1
由离散帕塞瓦尔定理，得
X (k ) 2 N x(n) 2 60
k 0
n0
8、数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应长度分类，可以分成( 无限长单位
脉冲响应(IIR) )滤波器和( 有限长单位脉冲响应(FIR) )滤波器。
9.无限长单位脉冲响应(IIR)数字滤波器的两种常用设计方法是冲激响应不变法和双线
k 0
则存在公共的收敛区域
X (z)
1 1 cz 1
cz 1 cz
,
c
z
1 c
18、分析单位脉冲响应为 h(k ) aku(k ), 的线性时不变系统
的因果性和稳定性。 解：1）因为 k0 时，h（k）=0，因此系统是因果的
2）如果 |a|<1, 则 s 1 故系统是稳定的 1 | a |
如果 |a|≥1 , 则 s → ∞，级数发散。 故系统仅在|a|<1 时才是稳定的
17、求 x(n) c n 的 z 变换 ( c 1 )
1
解 X (z) x(n)z n cn z n cn z n
n
n
n0
c 1，
X 1 ( z)
cn zn
n0
1 1 cz 1
zc
X 2 (z)
1
cn zn
n
cz 1 cz
z1 c
s | h(k) | | a |k
k
fs≥2fh, T=1/fs ≤1/2fh=0.125*10-3 (s) (3)最小记录点数 N，它应满足 N≥2fh /F=800
13、对实信号进行谱分析，要求谱分辨率 F ≤10 Hz，信号最高频率 fc=2.5 kHz， 试确定:
(1)最小记录时间 Tpmin; (2)最大的采样间隔 Tmax; (3)最少的采样点数 Nmin。

==============================绪论==============================1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV==================第一章 时域离散时间信号与系统==================1.①写出图示序列的表达式答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15}2. ①求下列周期)54sin()8sin()4()51cos()3()54sin()2()8sin()1(n n n n n ππππ-②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。

（1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （2）)81(j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω=73π, 所以314π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。

（2） 因为ω=81, 所以ωπ2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。

③序列)Acos(nw x(n)0ϕ+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。

3.加法乘法序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。

移位翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。

②尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。

卷积和：①h(n)*求x(n)，其他02n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、⎩⎨⎧≤≤-=⎩⎨⎧≤≤= }23,4,7,4，23{0,h(n)*答案：x(n)=②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n )x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转)解得y (n )={2,7,19,28,29,15}③(n)x *(n)x 3)，求x(n)u(n u(n)x 2),2δ(n 1)3δ(n δ(n)2、已知x 2121=--=-+-+=}{1,4,6,5,2答案：x(n)=4.如果输入信号为，求下述系统的输出信号。

而
T [ax1 (n) + bx2 (n)] = [ax1 (n) + bx2 (n)]2 =[ax1 (n)]2 + [bx2 (n)]2 + 2abx1 (n) x2 (n)
即
T [ax1 (n) + bx2 (n)] ≠ ay1 (n) + by2 (n)
所以，系统不是线性系统。
7
又因为
T [ x(n − m)] = [ x(n − m)]2 , y (n − m) = [ x(n − m)]2
n = −∞
∑
∞
h( n) =
p<∞
9
根据单位抽样序列的性质，可得
α n h( n) = 0
∞
0 ≤ n ≤ N −1 其它
N −1 n= 0
S 由此得 =
n = −∞
h( n) ∑ α ∑=
n
<∞
因为 α 0 , α1 , , α N −1为常数.
所以系统是稳定的。
10
例5、以下序列是系统的单位抽样响应h(n)，判断该系统是否因果的、稳定的。 （1） n2 （5）
所以x(n)是非周期序列。
5
例3、判断系统
y (n) = [ x(n)]2
是否为线性系统、是否为移不变系统。
分析：利用定义来判断： （1）线性：满足可加性和比例性：
T [a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] = a1T [ x1 (n)] + a2T [ x2 (n)]
（2）移不变性：输入和输出的移位相同：
为双边序列。 为左边序列 。 为右边序列 。
23
例3 用长除法，留数定理法，部分分式法求下列X(z)的z反变 换。