二次函数零点式的应用
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３６ 数学教学研究 ２００３年第１２期 ｉ
二次函数零点式的应用
于先金
（湖南省会同县第一中学４１８３００）
对于二次函数，（ ）＝ｄ ＋ ＋ｃ （ｄ≠０），若
方程，（ ）＝０有两个根 、 ，则有零点式，（ｚ）＝
ｎ（ — ）（ — ）．运用二次函数零点式，可使一些 问题得到简解．下面略举几例． 例ｌ 已知二次函数，（ ）＝似 ＋ ＋ｃ（ｄ≠０） 的图像经过点＾，（ｔ，一ｄ）， 、 为方程，（ ）＝０的两 根，且茹Ｉ＜茹２，求证：茹Ｉ＜ｔ＜ ２． 解 由题意可知，（ ）＝ｎ（ — 。）（ — ）， ，（ｔ）＝ｄ（ｔ— Ｉ）（ｔ— １）＝一ｄ， 即 （ｔ— Ｉ）（ｔ—ｚ２）＝一１， 故有 （ｔ— ，）（ｔ— ）＜０． １ ＜１；２，ｏ￣ｏ １＜‘＜１；２· 例２ （１９９７年全国高考试题）设二次函数，（ ） ＝ｄ ＋ ＋ｃ（ｄ＞０），方程，（ ）一ｚ＝０的两根 ｌ Ｉ、 ２满足０＜ ｌ＜ ２‘÷．求证：当 ∈（０， Ｉ）时， ＜ ）＜ １． 证明 由题意知，（ ）一 ＝ａ（ — 。）（ — ）， ［，（ ）一 ］［，（ ）一 ］ ＝ａ（ｘ— １）（ —ｚ２）［ｄ（ — １）（ — ２） ＋ — １］ ＝ａ （ ）（ ＋÷）． 由０＜ ＜ Ｉ＜ ２＜１口，知 ａ ＞０，（ 一 １） ＞０， 一 ２＜０， ＋—１＞０， ［，（ ）一 ］［，（ ）一 。］＜０． Ｏ ＜ ｌ，ｏ￣ｏ ＜，（ ）＜ １． 例３（２００２年东北三校高考模拟题）设函数 ，（ ）＝ ＋ ＋ｃ，方程，（ ）一 ：０的两个实根为 Ｉ、 ２，且 ２一 Ｉ＞２． （Ｉ）求证： 。、 为方程九，（ ）］： 的两个根； （Ⅱ）若四次方程九，（ ）］＝ 的另两个根为 、 且 ＞ ，试判断ｚ 、 、 、 的大小． 证 （Ｉ）由题设可知，（ ）＝（ — ）（ｚ— ） ＋ ，则 －， ）一 Ｉ＝（ — １）（ — ２＋１），
－， ）一 ２＝（ — ２）（ — Ｉ＋１），
（ — １）（ — ２）＝０．
所以 ，（ ）］一 ＝［，（ ）一ｚ。］［，（ ）一 ］
＋，（ ）一
（ — Ｉ）（ — ２＋１）（ — ２）（ — Ｉ＋１）
＋（ — １）（ — ２）
（ — １）（ — ２）［（ — Ｉ＋１）（ — ２＋１）＋１］
＝０．
可知 。、 是方程 ，（ ）］＝ 的两个根．
（１Ｉ）由（Ｉ）可知 ， 是方程ｇ（ ）＝（ 一＊。
＋１）（ — ：＋１）＋１＝０的两根．因为 ２一 Ｉ＞２，
所以占（ １）＝ １一 ２＋１＜０，ｇ（ｘ２）＝ ２一 Ｉ＋２＞
０．
又二次函数ｇ（ ）的图像开口向上，所以方程
ｇ（ ）＝ｏ在区间（一 ， ）及（ 。， ）内各有一个
根．又 ３＞ ４，所以 ４∈（一∞， Ｉ）， ∈（ｚｌ， ２）．
故 ４＜ ｌ＜ ３＜ ２．
例４（２００３年武汉市部分学校高三年级调研
测试题）已知二次函数，（ ）＝ ＋ｄ ＋ｂ（ｄ，ｂ∈
Ｒ、．
（Ｉ）若方程，（ ）＝０有两个非整数实根，且这
两实根在相邻两整数之间，试证明存在整数ｋ，使
１
ｌ，（ ）ｌ≤÷；
（Ⅱ）若方程 ）＝０有两个非整数实根，且两
实根不在相邻两整数之间，请你探求当ｎ、ｂ满足什么
１
条件时，一定存在整数 ，使得ｆ ）Ｉ≤÷成立·
解 （Ｉ）设方程，（ ）＝０的两实根为 、 ，且
ｍ＜ １， ２＜ｍ＋１ （ｍ∈Ｚ），
所以－， ）＝ ＋口 ＋ｂ＝（ — Ｉ）（ — ２）．
则 ｌ－厂（ｍ）１．１，（ｍ＋１）ｌ＝
ｌ（ｍ— １）（ｍ— ２）ｌ ｌ（ｍ＋１一 Ｉ）（ｍ＋１一 ）｝
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２００３年第１２期 数学教学研究 ３７ ·
一ｍ）（ｍ＋１一 Ｉ）（ ２一ｒｎ）（ｍ＋１一 ２）
） （ ）
＝（÷ ÷） ＝（÷
所以必有Ｉ厂（ｍ）ｆ≤÷或ｆ厂（ｍ＋１）ｆ≤÷，
故 存在整数 ＝ｍ或ｍ＋１，使Ｉ，（ ）Ｉ≤÷．
（ＩＩ）设ｍ＜ Ｉ＜ｍ＋１＜ ２，ｍ∈ｚ，贝０
Ｉ，（ｍ）Ｉ·Ｉ，（ｍ＋１）Ｉ
＝Ｉ（ｍ— １）（ｍ— ２）Ｉ Ｉ（ｍ＋１一 Ｉ）（ｍ＋１一 ２）
（ Ｉ一，，１）（ ２一ｍ一１）（ ２一ｍ）（ｍ＋１一 ．）
巧用公式
）（ ２一ｍ一１）＋（ ２一ｍ）（ｍ＋ｌ— １）
２
（ ） ＝（ ．
此时令（ ≤（÷）２’得…ｎ
≤１，必有Ｉ，（ｍ）Ｉ≤÷或Ｉ，（ｍ＋１）Ｉ≤÷．
故当口、ｂ满足条件０＜４ａ 一１６ｂ≤１时，一定存
在整数 ，使得Ｉ ）ｌ≤÷成立．
妙解向量题
（浙江省绍兴市第一中学３１２０００）
１ 定理
定理１ 若Ａ、Ｂ、ｃ三点共线（如图１），且 ＝
Ａ商，Ｏ为任意一点，则有ｏ－ｄ： ．
１十Ａ
证明·．·ｏ－－ｄ： ＋ ： ＋Ａ Ｃ—Ｂ
＝ＯＡ＋Ａ（ｏＢ—ＤＣ），
ｏ／ｉ＋
Ａ ｏ￣
１＋Ａ
变式 若 、Ｂ、Ｃ三点
共线，且 ：旦商，０为任‘
，ｌ
意一点，则有
ｏＣ＝ ＋ｍ
图１
ｌＬ’Ｈｌ
定理２ 若 ＝Ａ Ｏ Ａ （Ａ， ∈Ｒ），则
Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线的充要条件是Ａ＋ ＝１．
证明 （必要性）如果 、Ｂ、Ｃ在一直线卜，则存
在一个实数ｍ，使得 ＝ｍ商，由定理１得
ｏ－ｄ： ｏＸ＋ｍ ｏ￣
士 ＯＡ＋ Ｏ—Ｂ．
令＾＝ ， ＝ ，所以Ａ＋ ＝１．
（充分性）如果Ａ ＝１，则Ａ＝１一 ．
ＯＣ＝Ａ ＝（１一 ） ：
ｏ－Ｉ （商一 ）： ＋
即 ： ，
所以 与 共线．
综上所述， 、Ｂ、Ｃ三点共线的充要条件是Ａ＋
＝１．
变式 设 ＝三， ：ａ， ：；，求证Ａ、Ｂ、Ｃ
三点共线的充要条件是：有不全为０的实数ｌ、ｍ、ｎ，
使得 ＋ｍ ＋，ｌ；： 且 ＋ｍ＋，ｌ：０．
分析 不妨设，ｌ≠０。则届＋ｍａ＋，ｌ； 且ｌ＋
ｍ＋，ｌ＝０即为
：（一 ）三＋（一旦）ａ １ｔ（一 ）＋（一 ）：１
ｒ正 ，Ｉ ，Ｉ ，Ｉ
说明 （１）定理条件中要求ｏ－Ｉ、 、 有公共
起点，但没有要求不共线；
（２）定理结论应用面较广，是一个几何与向量
沟通的模型．
２ 应用举例
２．１ 有关点共线问题
例１ 设ｔ为实数，如果３ ｏ－－Ｉ： ，２ ： ，
＝￡（ｏ－７＋ ），那么ｔ为何值，Ｃ、Ｄ、Ｅ三点共线．
解析‘．· ＝ｔ（ｏ－－Ｉ＋ ：÷ ＋÷ ，
一
： ≤
澌 擗
＝
Ｃ
—Ｄ
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