2019-2020学年高二数学人教A版选修2-1课件：2.4.1 抛物线及其标准方程 .pdf
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反思求抛物线的标准方程的方法:
(1)当焦点的位置确定时,可利用待定系数法,设出抛物线的标准
方程,由已知条件建立关于参数的方程,求出参数的值,进而得出抛 物线的标准方程.
(2)当焦点的位置不确定时,可设抛物线的方程为y2=mx(m≠0)或
x2=ny(n≠0),利用已知条件求出m,n的值.
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2.4.1 抛物线及其标准方程
A.y=−
1 8
B.
������
=
−
1 4
C.y=−
1 2
D.
������
=
−1
解析:∵抛物线的标准方程为
x2=
1 2
������,
∴准线方程为 y=− 18.
答案:A
【做一做 2-2】 以������
-
3 4
,0
为焦点的抛物线的标准方程是
______________.
解析:∵焦点������
-
3 4
方程的右端为±2py,左端为x2;
②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半
轴上,方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在
x轴(或y轴)的负半轴上,方程右端取负号.
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2.4.1 抛物线及其标准方程
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典例透析
【做一做 2-1】 抛物线 y=2x2 的准线方程为( )
-4-
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2.抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
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准线方程
y2=2px(p>0)
p 2 ,0
x=−
p 2
y2=-2px(p>0)
p - 2 ,0
x=
p 2
x2=2py(p>0)
p 0, 2
y=− p
2
x2=-2py(p>0)
p 0,- 2
y= p
2
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名师点拨四种位置的抛物线标准方程的对比:
(1)共同点:
①抛物线顶点为原点;
②焦点在坐标轴上;
③焦点的非零坐标都是一次项系数的
(2)不同点:
14.
①焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y2;焦点在y轴上时,
0,
1 4������
, 对称轴为y 轴;当 a<0 时,其函数图象
的开口向下,顶点为(0,0),焦点为
0,
1 4������
, 对称轴为y 轴.由此可见,二
次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可由开口向上或向下的标准形式的
抛物线通过平移得到.
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2.4.1 抛物线及其标准方程
题型一
题型二
2
口方向.
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题型一
题型二
解:(1)∵点(-3,2)在第二象限,
∴抛物线的标准方程可设为 y2=-2px(p>0)或 x2=2py(p>0).
把点(-3,2)的坐标分别代入 y2=-2px(p>0)和 x2=2py(p>0),得
4=-2p·(-3)或 9=2p·2,
,0
在x 轴的负半轴上,
∴
������ 2
=
3 4
.
∴
2������
=
3.∴y2=-3x.
答案:y2=-3x
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二次函数与抛物线的标准方程的关系
剖析二次函数的图象是开口向上或向下的抛物线,但开口向左
或向右的抛物线不是二次函数的图象.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)图
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求抛物线的标准方程
【例1】 试求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)过点(-3,2); (2)焦点在直线x-2y-4=0上; (3)焦点到准线的距离为 52. 分析:对于(1),需要确定p的值和开口方向两个条件,因为点(-3,2)
在第二象限,所以抛物线的标准方程可设为y2=-2px(p>0)或 x2=2py(p>0);对于(2),因为抛物线的焦点在坐标轴上,所以求出直线 x-2y-4=0与坐标轴的两个交点(4,0)和(0,-2),即为所求抛物线两种情 况下的焦点;而对于(3),由题意知 p= 5 , 下一步需要讨论抛物线的开
������ 2
=
2,
即 2p=8,此时抛物线方程为 x2=-8y.
故所求的抛物线方程为 y2=16x 或 x2=-8y.
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2.4.1 抛物线及其标准方程
题型一
题型二
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(3)由焦点到准线的距离为
5 2
,
可知p=Biblioteka 52,即 2p=5.故所求的抛物线方程为 y2=5x 或 y2=-5x 或 x2=5y 或 x2=-5y.
2.4 抛物线
-1-
2.4.1 抛物线及其标准方程
-2-
2.4.1 抛物线及其标准方程
目目标标导导航航
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1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程. 2.会求简单的抛物线方程.
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2.4.1 抛物线及其标准方程
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1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点 的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. 归纳总结抛物线的定义可归结为“一动三定”:一个动点,设为M; 一个定点F,为抛物线的焦点;一条定直线l,为抛物线的准线;一个定 值,即点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比为定值1.另外, 定点F不在定直线l上,否则,动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F且 与直线l垂直的一条直线. 【做一做1】 若动点P到定点F(-4,0)的距离与到直线x=4的距离 相等,则点P的轨迹是( ) A.抛物线 B.线段 C.直线 D.射线 解析:由抛物线的定义可知点P的轨迹为抛物线. 答案:A
即
2p=
4 3
或2p=
92.
故所求抛物线的标准方程为
y2=−
4 3
������或x2=
9 2
������.
(2)令 x=0,得 y=-2;令 y=0,得 x=4.
故抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).
当焦点为(4,0)时,
������ 2
=
4,
即 2p=16,此时抛物线方程为 y2=16x.
当焦点为(0,-2)时,
象的顶点为
-
������ 2������
,
4������������ -������2 4������
,
对称轴为x=−
������ 2������
,
它是由y=ax2(a≠0)平移
得到的;而 y=ax2(a≠0)可化为 x2= 1 ������, 当a>0 时,其函数图象的开口向
������
上,顶点为(0,0),焦点为
