下载文档原格式
最短路径的算法介绍最短路径问题是在图论中经常遇到的一个问题，它的目标是找到两个顶点之间的最短路径。
最短路径的算法有很多种，每种算法都有自己的特点和适用场景。
本文将介绍几种常用的最短路径算法，并对它们的原理和应用进行详细探讨。
Dijkstra算法Dijkstra算法是最经典的最短路径算法之一，它适用于有权重的有向图。
该算法通过逐步扩展路径来求解最短路径。
具体步骤如下：1.初始化距离数组和访问数组，将起始顶点的距离设为0，其余顶点的距离设为无穷大，将起始顶点设为当前顶点。
2.遍历当前顶点的所有邻居顶点，更新其距离值。
如果新的距离值小于原来的距离值，则更新距离值。
3.标记当前顶点为已访问，并将距离最小的未访问顶点设为当前顶点。
4.重复步骤2和步骤3，直到所有顶点都被访问过或者找到目标顶点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。
该算法可以用于求解单源最短路径问题，即求解一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种用于解决带有负权边的最短路径问题的算法。
该算法通过逐步放松边来求解最短路径。
具体步骤如下：1.初始化距离数组，将起始顶点的距离设为0，其余顶点的距离设为无穷大。
2.重复以下步骤V-1次，其中V为顶点数：–遍历图中的所有边，对每条边进行放松操作。
放松操作是指通过比较边的起点和终点的距离来更新终点的距离值。
3.检查是否存在负权回路。
如果在第2步的操作中，仍然存在可以放松的边，则说明存在负权回路，无法求解最短路径。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为顶点数，E为边数。
该算法可以用于求解单源最短路径问题，并且可以处理带有负权边的图。
Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种用于解决所有顶点对之间最短路径的算法。
该算法通过动态规划的思想来求解最短路径。
具体步骤如下：1.初始化距离矩阵，将矩阵的对角线元素设为0，如果两个顶点之间存在边，则将矩阵对应位置的元素设为边的权重，否则设为无穷大。
最短路径路由算法1. 引言最短路径路由算法是计算机网络中的一种重要算法，用于确定网络中两个节点之间的最短路径。
在网络通信中，选择最短路径可以大大提高数据传输的效率和可靠性。
本文将介绍最短路径路由算法的原理、常见算法以及应用领域。
2. 原理概述最短路径路由算法是基于图论的算法。
它将网络抽象成一个有向图，其中节点表示网络中的路由器或交换机，边表示节点之间的连接。
每条边都有一个与之相关的权重，表示在该路径上传输数据的代价。
最短路径路由算法的目标是找到网络中两个节点之间的最短路径，即路径上的所有边的权重之和最小。
3. 常见算法3.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径路由算法中最经典的算法之一。
它通过逐步确定从源节点到其他节点的最短路径来实现最短路径的计算。
算法的核心思想是维护一个距离表，记录从源节点到其他节点的当前最短距离。
通过不断更新距离表中的值，最终得到源节点到目标节点的最短路径。
3.2 Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种常见的最短路径路由算法。
与Dijkstra 算法不同，Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。
算法通过进行多次迭代，逐步更新节点之间的最短距离，直到收敛为止。
Bellman-Ford算法的优势在于可以处理具有负权边的情况，但由于需要进行多次迭代，算法的时间复杂度较高。
3.3 Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种全局最短路径算法，用于计算图中任意两个节点之间的最短路径。
算法通过动态规划的方式，逐步更新节点之间的最短距离。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度较高，但由于可以同时计算所有节点之间的最短路径，因此在网络规模较小的情况下，仍然是一个有效的算法。
4. 应用领域最短路径路由算法在计算机网络中有广泛的应用。
其中，最为典型的应用之一就是Internet路由器的路由选择。
Internet由大量的路由器组成，路由器之间的通信需要选择最短路径，以保证数据的快速传输和网络的稳定性。
最短路径智能算法标题: 最短路径：智能算法的优化与应用引言:最短路径问题一直是计算机科学领域的一个重要研究方向。
在现实生活中，我们常常需要找到两个点之间最短的路线，无论是导航系统、物流配送还是电信网络等都离不开最短路径的计算。
为了高效解决这个问题，智能算法被引入和发展用于优化计算过程。
本文将深入探讨最短路径领域中智能算法的优化方法和应用情况。
一、最短路径问题的基本概念1.1 最短路径定义与表示方法最短路径是指在图中找到两个顶点之间路径长度最小的路径。
我们将讨论最常见的两种表示方法：邻接矩阵和邻接表，并解释它们在最短路径计算中的优缺点。
1.2 基础算法：Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径问题的经典算法之一，它通过逐步扩展已经找到的最短路径来寻找最终的最短路径。
我们将详细介绍Dijkstra算法的原理、实现方法和时间复杂度，并给出一个实际案例的应用。
二、智能算法在最短路径问题中的优化和应用2.1 遗传算法在最短路径问题中的应用遗传算法是一种通过模拟生物进化来解决最优化问题的智能算法。
我们将探讨如何将遗传算法应用于最短路径问题中，包括设计适应度函数、编码和解码、遗传操作等关键步骤，并分析遗传算法在解决最短路径问题中的优势和局限性。
2.2 蚁群算法在最短路径问题中的应用蚁群算法是受到蚁群觅食行为启发的一种智能算法，通过模拟蚂蚁搜索过程来解决最优化问题。
我们将介绍蚁群算法在最短路径问题中的应用，包括信息素模型、路径选择规则等，并讨论其在解决复杂网络中的最短路径问题时的性能。
2.3 粒子群算法在最短路径问题中的应用粒子群算法是模拟鸟群觅食行为的一种智能算法，通过模拟粒子的速度和位置更新来求解最优化问题。
我们将介绍粒子群算法在最短路径问题中的应用，包括速度更新规则、位置更新规则等，并分析其在解决大规模图中的最短路径问题时的性能。
三、总结与展望3.1 对智能算法在最短路径问题中的应用进行总结我们将对前文介绍的智能算法在最短路径问题中的应用进行总结和回顾，并比较它们在性能、适用范围等方面的异同。
最短路径问题算法最短路径问题算法概述：在图论中，最短路径问题是指在一个加权有向图或无向图中，从一个顶点出发到另外一个顶点的所有路径中，权值和最小的那条路径。
最短路径问题是图论中的经典问题，在实际应用中有着广泛的应用。
本文将介绍常见的几种最短路径算法及其优缺点。
Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题，即给定一个起点s，求出从s到其他所有顶点的最短路径。
Dijkstra算法采用了广度优先搜索策略，并使用了优先队列来维护当前已知的距离最小的节点。
实现步骤：1. 初始化：将起始节点标记为已访问，并将所有其他节点标记为未访问。
2. 将起始节点加入优先队列，并设置其距离为0。
3. 重复以下步骤直至队列为空：a. 取出当前距离起始节点距离最小的节点u。
b. 遍历u的所有邻居v：i. 如果v未被访问过，则将其标记为已访问，并计算v到起始节点的距离，更新v的距离。
ii. 如果v已被访问过，则比较v到起始节点的距离和当前已知的最短距离，如果更小则更新v的距离。
c. 将所有邻居节点加入优先队列中。
优缺点：Dijkstra算法能够求解任意两点之间的最短路径，并且保证在有向图中不会出现负权回路。
但是Dijkstra算法只适用于无负权边的图，因为负权边会导致算法失效。
Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题。
与Dijkstra算法不同，Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。
实现步骤：1. 初始化：将起始节点标记为已访问，并将所有其他节点标记为未访问。
2. 对于每个节点v，初始化其到起始节点s的距离为正无穷大。
3. 将起始节点s到自身的距离设置为0。
4. 重复以下步骤n-1次（n为顶点数）：a. 遍历所有边(u, v)，如果u到起始节点s的距离加上(u, v)边权小于v到起始节点s的距离，则更新v的距离为u到起始节点s的距离加上(u, v)边权。
最短路径算法-回复最短路径算法是一种在图论中用于寻找两个节点之间最短路径的算法。
在现实生活中，最短路径算法有广泛应用，如地图导航、物流配送和通信网络等领域。
本文将介绍最短路径算法的基本概念和应用，并详细解释其中的原理和步骤。
首先，我们需要了解什么是图。
图是由节点和边组成的一种数据结构，节点表示实体，而边表示节点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图，有向图中的边具有方向性，而无向图中的边没有方向性。
最短路径算法适用于有向图和无向图。
最短路径算法中有多种常用的算法，包括Dijkstra算法、Bellman-Ford 算法和Floyd-Warshall算法。
下面我们将逐一介绍这些算法的原理和步骤。
首先，我们来介绍Dijkstra算法。
Dijkstra算法用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
算法的基本原理是从起始节点开始，逐步扩展最短路径集合，直到达到目标节点为止。
具体步骤如下：1. 创建一个集合S，用于存储已确定最短路径的节点。
2. 初始化源节点的距离为0，其他节点的距离为无穷大。
3. 选择距离最小的节点作为当前节点，并将其加入集合S。
4. 更新与当前节点相邻节点的距离，如果新的距离比之前的距离短，则更新距离。
5. 重复步骤3和步骤4，直到所有节点都已加入集合S。
6. 最后得到的距离集合即为最短路径。
下面我们来看一个具体的例子。
假设我们有以下的图：A/ \2 4/ \B-1- C-5\ /3 1\ /D我们以节点A为起始节点，要求到达节点D的最短路径。
首先，我们初始化节点A的距离为0，其他节点的距离为无穷大。
然后我们选择距离最小的节点B，并将其加入集合S。
接下来，我们更新节点B相邻节点的距离。
我们发现通过节点B可以更快地到达节点C，所以我们更新节点C的距离为3。
然后我们选择距离最小的节点C，并将其加入集合S。
接着我们更新节点C相邻节点的距离，发现通过节点C可以更快地到达节点D，所以我们更新节点D的距离为6。
最短路径问题及其变形最短路径问题及其变形【摘要】本文将详细介绍最短路径问题及其变形。
最短路径问题是图论中的经典问题之一，通过求解最短路径，我们可以在许多实际应用中找到最优的路径选择方案。
本文将从最短路径问题的基本定义出发，逐渐深入探讨最短路径问题的相关概念和算法，并介绍常见的最短路径问题的变形和应用场景。
通过学习本文，读者将对最短路径问题有全面、深刻和灵活的理解。
【正文】1. 最短路径问题的定义最短路径问题是在给定图中寻找两个节点之间最短路径的问题。
其中，节点可以表示地点，边可以表示路线或路径的长度。
最短路径的长度可以根据路径上各边的权重进行定义，常见的权重可以是边的长度、边的时间消耗等。
2. 最短路径问题的经典算法在解决最短路径问题时，有几个经典的算法可以使用。
其中，Dijkstra 算法和Bellman-Ford算法是最常用的两种算法之一。
2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的贪心算法。
它以一个起始节点为出发点，逐步更新其他节点到起始节点的距离，直到找到目标节点为止。
在更新每个节点的距离时，Dijkstra算法会选择当前距离起始节点最近的节点进行更新。
通过这种方式，Dijkstra算法能够保证找到最短路径。
2.2 Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种用于解决最短路径问题的动态规划算法。
它通过多次迭代来逐步优化节点之间的距离估计值，直到收敛为止。
Bellman-Ford算法允许边的权重为负值，这使得它在一些特殊情况下具有较好的性能。
3. 最短路径问题的变形除了基本的最短路径问题，还有一些变形问题值得关注。
这些变形问题在现实生活中具有广泛的应用。
3.1 单源最短路径问题单源最短路径问题是指在给定图中，求解某个特定节点到其他所有节点的最短路径。
在实际应用中，我们可以使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法来解决这个问题。
最短路径算法介绍据Drew 所知最短路经算法现在重要的应用有计算机网络路由算法，机器人探路，交通路线导航，人工智能，游戏设计等等。
美国火星探测器核心的寻路算法就是采用的D*（D Star）算法。
最短路经计算分静态最短路计算和动态最短路计算。
静态路径最短路径算法是外界环境不变，计算最短路径。
主要有Dijkstra算法，A*（A Star）算法。
动态路径最短路是外界环境不断发生变化，即不能计算预测的情况下计算最短路。
如在游戏中敌人或障碍物不断移动的情况下。
典型的有D*算法。
这是Drew程序实现的10000个节点的随机路网三条互不相交最短路真实路网计算K条路径示例：节点5696到节点3006，三条最快速路，可以看出路径基本上走环线或主干路。
黑线为第一条，兰线为第二条，红线为第三条。
约束条件系数为1.2。
共享部分路段。
显示计算部分完全由Drew自己开发的程序完成。
参见K条路算法测试程序Dijkstra算法求最短路径：Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE 表方式，Drew为了和下面要介绍的A* 算法和D* 算法表述一致，这里均采用OPEN,CLOS E表的方式。
大概过程：创建两个表，OPEN, CLOSE。
OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。
1．访问路网中里起始点最近且没有被检查过的点，把这个点放入OPEN组中等待检查。
2．从OPEN表中找出距起始点最近的点，找出这个点的所有子节点，把这个点放到CLOSE 表中。
最短路径dijkstra算法 java
【实用版】
目录
1.Dijkstra 算法简介
2.Dijkstra 算法的应用场景
3.Dijkstra 算法的 Java 实现
4.Dijkstra 算法的 Java 示例
正文
【1.Dijkstra 算法简介】
Dijkstra 算法是一种用于寻找图中单源最短路径的算法，由荷兰计
算机科学家 Edsger Dijkstra 于 1956 年提出。
它适用于有向图和无向图，但不适用于存在负权边的图。
Dijkstra 算法的基本思想是以贪心策
略逐步扩展当前节点的最短路径，直到找到源节点到目标节点的最短路径。
【2.Dijkstra 算法的应用场景】
Dijkstra 算法在实际生活中有很多应用场景，例如：
- 交通导航系统：通过计算道路网络中两点之间的最短路径，为驾驶员提供最优行驶路线。
- 物流配送：在物流配送系统中，通过计算货物从起点到终点的最短路径，可以降低运输成本，提高配送效率。
- 社交网络：在社交网络中，Dijkstra 算法可以帮助找到两个用户
之间的最短路径，从而为推荐系统提供依据。
第1页共1页。
最短路径算法及应用乘汽车旅行的人总希望找出到目的地的尽可能的短的行程。
如果有一张地图并在图上标出每对十字路口之间的距离，如何找出这一最短行程？一种可能的方法就是枚举出所有路径，并计算出每条路径的长度，然后选择最短的一条。
那么我们很容易看到，即使不考虑包含回路的路径，依然存在数以百万计的行车路线，而其中绝大多数是不值得考虑的。
在这一章中，我们将阐明如何有效地解决这类问题。
在最短路径问题中，给出的是一有向加权图G＝（V，E，W），其中V为顶点集，E为有向边集，W为边上的权集。
最短路径问题研究的问题主要有：单源最短路径问题、与所有顶点对之间的最短路径问题。
一、单源最短路径问题所谓单源最短路径问题是指：已知图G＝（V，E），我们希望找出从某给定的源结点S∈V 到V中的每个结点的最短路径。
首先，我们可以发现有这样一个事实：如果P是G中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。
（一）Dijkstra算法对于图G，如果所有Wij≥0的情形下，目前公认的最好的方法是由Dijkstra于1959年提出来的。
例1 已知如下图所示的单行线交通网，每弧旁的数字表示通过这条单行线所需要的费用，现在某人要从v1出发，通过这个交通网到v8去，求使总费用最小的旅行路线。
Dijkstra方法的基本思想是从vs出发，逐步地向外探寻最短路。
执行过程中，与每个点对应，记录下一个数(称为这个点的标号)，它或者表示从vs到该点的最短路的权(称为P 标号)、或者是从vs到该点的最短路的权的上界(称为T标号)，方法的每一步是去修改T标号，并且把某一个具T标号的改变为具P标号的点，从而使G中具P标号的顶点数多一个，这样至多经过n-1(n为图G的顶点数)步，就可以求出从vs到各点的最短路。
在叙述Dijkstra方法的具体步骤之前，以例1为例说明一下这个方法的基本思想。
例1中，s=1。
因为所有Wij≥0，故有d(v1, v1)=0。
这时，v1是具P标号的点。
现在考察从v1发出的三条弧，(v1, v2), (v1, v3)和(v1, v4)。
如果某人从v1出发沿(v1, v2)到达v2，这时需要d(v1, v1)+w12=6单位的费用；如果他从v1出发沿(v1, v3)到达v3，这时需要d(v1, v1)+w13=3单位的费用；类似地，若沿(v1, v4)到达v4，这时需要d(v1, v1)+w14=1单位的费用。
因为min{ d(v1, v1)+w12，d(v1, v1)+w13，d(v1, v1)+w14}= d(v1, v1)+w14=1，可以断言，他从v1到v4所需要的最小费用必定是1单位，即从v1到v4的最短路是(v1, v4)，d(v1, v4)=1。
这是因为从v1到v4的任一条路P，如果不是(v1, v4)，则必是先从v1沿(v1, v2)到达v2，或者沿(v1, v3)到达v3。
但如上所说，这时他已需要6单位或3单位的费用，不管他如何再从v2或从v3到达v4，所需要的总费用都不会比1小(因为所有wij≥0)。
因而推知d(v1, v4)=1，这样就可以使v4变成具P标号的点。
现在考察从v1及v4指向其余点的弧，由上已知，从v1出发，分别沿(v1, v2)、(v1, v3)到达v2, v3，需要的费用分别为6与3，而从v4出发沿(v4, v6)到达v6所需的费用是d(v1, v4)+w46=1+10=11单位。
因min{ d(v1, v1)+w12，d(v1, v1)+w13，d(v1, v4)+w46}= d(v1, v1)+w13=3。
基于同样的理由可以断言，从v1到v3的最短路是(v1, v3)，d(v1, v3)=3。
这样又可以使点v3变成具P 标号的点，如此重复这个过程，可以求出从v1到任一点的最短路。
在下述的Dijstra方法具体步骤中，用P，T分别表示某个点的P标号、T标号，si表示第i步时，具P标号点的集合。
为了在求出从vs到各点的距离的同时，也求出从Vs到各点的最短路，给每个点v以一个λ值，算法终止时λ(v)=m，表示在Vs到v的最短路上，v的前一个点是Vm；如果λ(v)=∞，表示图G中不含从Vs到v的路；λ(Vs)=0。
Dijstra方法的具体步骤：{初始化}i=0S0={Vs}，P(Vs)=0 λ(Vs)=0对每一个v<>Vs，令T(v)=+ ∞，λ(v)=+ ∞，k=s{开始}①如果Si=V，算法终止，这时，每个v∈Si，d(Vs,v)=P(v)；否则转入②②考察每个使(Vk,vj)∈E且vj Si的点vj。
如果T(vj)>P(vk)+wkj，则把T(vj)修改为P(vk)+wkj，把λ(vj)修改为k。
③令如果，则把的标号变为P标号，令，k=ji，i=i+1，转①，否则终止，这时对每一个v∈Si，d(vs,v)=P(v)，而对每一个。
算法实现：1、数据结构＊用邻接矩阵表示图G＊用一维数组D[I]存放从源点到I点的最短路径长度或其上界。
（上面算法中的P 标号与T标号实际上存放着源点到某点的最短路径长度或其上界，因此我们可以统一用D 数组来表示）。
＊用一维数组P，其中P[I]记录到I点的最短路径中前一个顶点的序号。
{$R+}2、源程序（二）Bellman-Ford算法在单源最短路径问题的某些实例中，可能存在权为负的边。
如果图G＝（V，E）不包含从源s可达的负权回路，则对所有v∈V，最短路径的权定义d(s,v)依然正确，即使它是一个负值也是如此。
但如果存在一从s可达的负回路，最短路径的权的定义就不能成立。
S到该回路上的结点就不存在最短路径。
当有向图中出现负权时，则Dijkstra算法失效。
当不存在源s可达的负回路时，我们可用Bellman-Ford算法实现。
下面我们介绍有向图中，存在具有负权的弧时，求最短路的方法。
为了方便起见，不妨设从任一点vi到任一点vj都有一条弧（如果在Gk ,(vi,vj)不存在，则添加(vi,vj)且令wij=+∝）。
显然，从vs到vj的最短路总是从vs出发，沿着一条路到某个点vi，再沿(vi,vj)到vj的（这里vi可以是vs本身），由本章开始时介绍的一个结论可知，从vs到vi的这条路必定是从vs到vi的最短路，所以d(vs,vi)必满足如下方程：为了求得这个方程的解（这里P为图G中的顶点数目），可用如下递推公式：开始时，令对t=2,3,...,若进行到某一步，例如第k步时，对所有j=1,2,...,p,有：则即为vs到各点的最短路的权。
不难证明：（1）如果G是不含回路的赋权有向图，那么，从vs到任一个点的最短路必可取为初等路，从而最多包含P－2个中间点；（2）上述递推公式中的是在至多包含t-1个中间点的限制条件下，从vs 到vj的最短路的权。
由（1）（2）可知：当G中不含负回路时，上述算法最多经过p-1次迭代必定收敛，即对所有的j=1,2,...,P,均有，从而求出从vs到各个顶点的最短路的权。
如果经过p-1次迭代，存在某个j，使，则说明G中包含有负回路。
显然，这时从vs到vj的路是没有下界的。
根据以上分析，Bellman-Ford算法可描述为：算法实现1、数据结构（同Dijkstra算法，略）2、源程序（三）有向无回路图中的单源最短路径若图G是一个无回路有向图，求图G的单源最短路径问题可以在O(V+E)时间内计算出单源最短路径。
在有向无回路图中最短路径总是存在的，这是因为即使图中有权为负的边，也不可能存在权为负的回路。
算法开始时先对有向无回路图进行拓朴排序，以便获得结点的线性序列。
如果从结点u 到结点v存在一通路，则在拓扑序列中u先于v。
在拓扑排序过程中我们仅对结点执行一趟操作。
当对每个结点进行处理时，从该结点出发的所有边也被松驰。
算法描述如下：二、每对结点间的最短路径我们要讨论找出图中每对结点间最短路径问题。
这个问题在实践中常常会出现。
例如，对一公路图，要造表说明其上的每对城市间的距离时就可能出现这种问题。
对于有向图G（V，E，W），要求每对结点间的最短路径，我们可以把单源最短路径算法运行｜V｜次来解决，每次依序把图中的每个结点作为源点。
如果所有边的权为非负，可以采用Dijkstra算法，算法的运行时间为O（V3）；如果允许有负权边的存在，我们必须对每个结点运行一次速度较慢的Bellman-Ford算法，其中运行时间为O（V2E），对稠密图则为O（V4）。
下面我们介绍一种动态程序设计方案来解决可以存在负权边但无负回路的有向图G＝（V，E），每对结点间的最短路径问题，所产生的算法称为Floyd-Warshall算法，其运行时间为O（V3）。
（一）最短路径的结构在Floyd-Warshall算法中，考察的是一条最短路径上的"中间"结点，其中某条简单路径P=<V1,V2,...,Vj>的中间结点是P中除V1和Vj以外的任何结点，即任何属于集合｛V2,V3...,Vj－1｝的结点。
该算法主要基于下列观察。
设G的结点为V＝｛1,2,...,n｝，并对某个k考察其结点子集｛1,2，...,k｝。
对任意一对结点i,j∈V，考察从i到j且其中间结点皆属于集合｛1,2，...,k｝的所有路径，设P是其中一条最小权路径（因为我们假定G中不包含负权回路，所以P是简单路径）。
Floyd-Warshall算法利用了路径P与从i到j间的最短路径（所有中间结点皆属于集合｛1,2，...,k-1｝之间的联系。
这一联系取决于k是否是路径p的一个中间结点。
如果k是路径p的中间结点，由如下图所示，我们把p分解为p1（i k）,p2（k j）。
由前面可知，p1是从i到k的一条最短路径，且其所有中间结构均属于集合｛1,2，...,k｝。
事实上，结点k不是路径p1的中间结点，所以p1是从i到k的一条最短路径，且满足所有中间结点均属于｛1,2，...,k-1｝。
类似地，p2是从k到j的一条最短路径，且其中间结点皆属于集合｛1,2，...,k-1｝。
（二）解决每对结点间最短路径问题的一种递归方案基于上述观察，我们将给出定义最短路径估计的一个递归公式。
设为从结点i到结点j且满足所有中间均属于集合｛1,2，...,k｝的一条最短路径的权。
当k=0时，从结点i到结点j的路径中根本不存在中间结点，因此它至多包含一条边，则有，递归定义由下式给出：矩阵给出了最后解，对所有的i,j∈V成立――因为其所有中间点皆属于｛1,2，...,n｝。
（三）自底向上计算最短路径的权基于以上给出的递归定义，我们可以运用下面自底向上过程按k值的递增顺序计算。
过程的输入是n*n的矩阵W。
其返回值关于最短路径的权的矩阵。
