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邮递员问题最短路径的解法邮递员问题，又称旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP），是一个著名的组合优化问题。
它要求找到一条路径，使得邮递员从出发点出发，经过所有的城市且仅经过一次，最后回到出发点，同时路径长度最短。
由于邮递员问题是NP-hard问题，没有多项式时间的解法。
然而，存在一些启发式和近似算法可以在可接受的时间内找到较好的解决方案：1. 蛮力法：尝试所有可能的路径组合，计算每条路径的长度，最终选择最短路径作为解。
这种方法的时间复杂度为O(n!)，适用于较小规模的问题。
2. 最近邻算法：从一个起始点开始，每次选择离当前点最近的未访问过的城市作为下一个访问点，直到所有城市都被访问过，然后回到起始点。
该算法的时间复杂度为O(n^2)，虽然不能保证找到最优解，但是可以在较短的时间内找到较好的解。
3. 2-opt算法：先使用最近邻算法得到一个初始解，然后对路径进行优化。
2-opt算法通过不断交换路径中的两个边来减小路径的长度，直到没有可改进的交换。
该算法可以较快地优化路径，但无法保证找到全局最优解。
4. 遗传算法：使用进化计算的思想来解决TSP问题。
通过生成初始种群，交叉、变异等操作进行迭代优化，逐渐找到更好的路径。
遗传算法可以在较短时间内找到较好的解，但是无法保证找到最优解。
上述算法只是解决TSP问题的一部分方法，具体使用哪种方法取决于问题规模和时间要求。
对于较小规模的问题，可以使用蛮力法或者最近邻算法得到较好的解。
对于更大规模的问题，可以考虑使用启发式算法，如遗传算法等。
此外，还存在其他算法和优化技术用于处理TSP问题，根据具体情况选择合适的方法。
多地点的最短路径算法多地点最短路径算法是指在多个起点和多个终点之间寻找最优路径的算法。
在实际应用中，例如GPS导航系统和物流配送等领域，多地点最短路径算法具有重要的应用价值。
本文将介绍几种用于解决多地点最短路径问题的算法，包括Dijkstra算法、Floyd算法和A*算法。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种基于贪心策略的最短路径算法，广泛应用于图形问题中。
它的基本思想是不断扩展距离最短的节点，直到求得所有节点的最短路径。
在多地点最短路径问题中，可以将起点按顺序逐一添加到集合中，然后针对每个起点运行Dijkstra算法，最终得到每个终点的最短路径。
2. Floyd算法Floyd算法是一种动态规划算法，可以求出从任一起点到任一终点的最短路径。
它通过记录任意两个节点之间经过的中间节点，并计算出经过这些中间节点的最短路径长度。
在多地点最短路径问题中，可以构建一个权重矩阵，矩阵中的每个元素代表两个节点之间的距离，然后运行Floyd算法，最终得到每个起点到每个终点的最短路径。
3. A*算法A*算法是一种启发式搜索算法，它在搜索过程中利用信息启发式函数来预估从当前节点到目标节点的路径成本，以便更快地找到最短路径。
在多地点最短路径问题中，可以将每个起点作为初始节点，每个终点作为目标节点，然后运行A*算法，最终得到每个起点到每个终点的最短路径。
总结在多地点最短路径问题中，Dijkstra算法、Floyd算法和A*算法都可以用来寻找最优路径。
Dijkstra算法适用于较小的问题，而且算法复杂度为O(n²)，适用于稠密图。
Floyd 算法适用于较大的问题，复杂度为O(n³)，适用于稀疏图。
A*算法可以在比较短时间内找到近似最优解，但在处理复杂的问题时速度较慢。
根据实际应用的具体要求，可以选择适合的算法。
最短路径问题介绍全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最短路径问题是指在一个带有边权的图中，寻找连接图中两个特定节点的最短路径的问题。
在实际生活中，最短路径问题广泛应用于交通运输、通信网络、物流配送等领域。
通过解决最短路径问题，可以使得资源的利用更加高效，节约时间和成本，提高运输效率，并且在紧急情况下可以迅速找到应急通道。
最短路径问题属于图论中的基础问题，通常通过图的表示方法可以简单地描述出这样一个问题。
图是由节点和边组成的集合，节点表示不同的位置或者对象，边表示节点之间的连接关系。
在最短路径问题中，每条边都有一个权重或者距离，表示从一个节点到另一个节点移动的代价。
最短路径即是在图中找到一条路径，使得该路径上的边权和最小。
在解决最短路径问题的过程中，存在着多种算法可以应用。
最著名的算法之一是Dijkstra算法，该算法由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题，即从一个给定的起点到图中所有其他节点的最短路径。
该算法通过维护一个距离数组和一个集合来不断更新节点之间的最短距离，直到找到目标节点为止。
除了Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法外，还有一些其他与最短路径问题相关的算法和技术。
例如A*算法是一种启发式搜索算法，结合了BFS和Dijkstra算法的特点，对图中的节点进行评估和排序，以加速搜索过程。
Bellman-Ford算法是一种解决含有负权边的最短路径问题的算法，通过多次迭代来找到最短路径。
一些基于图神经网络的深度学习方法也被应用于最短路径问题的解决中，可以获得更快速和精确的路径搜索结果。
在实际应用中，最短路径问题可以通过计算机程序来实现，利用各种算法和数据结构来求解。
利用图的邻接矩阵或者邻接表来表示图的连接关系，再结合Dijkstra或者Floyd-Warshall算法来计算最短路径。
Python中的最短路径算法详解Python是一门高效的编程语言，其强大的算法库包含了许多经典的算法，比如最短路径算法。
最短路径算法是图论中的一个经典问题，它的目的是在图中寻找从一个指定顶点到另一个指定顶点的最短路径，即边权重之和最小的路径。
最短路径算法有很多种，其中比较常见的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd算法。
接下来我将分别介绍这3种算法的原理和Python实现。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径算法中比较经典的一种，它采用贪心策略，通过每次选取当前离源点最近的节点来不断扩展路径，直至到达终点。
它的基本思路如下：步骤1：定义源点s到其它节点的距离数组dist[]，每当找到一条从源点可以到达的路径，就比较这条路径的长度和已知的最短路径长度，如果路径更短，就替换当前的最短路径长度，并更新终点节点的前一个节点。
步骤2：标记源点s为已经访问过的节点，将该节点入队，并在队列中取出此时距离源点最近的节点v。
步骤3：对所有与节点v相邻的节点w，计算出新的距离dist[s][w]，如果dist[s][w]小于已知的最短距离，就更新最短距离，并将节点w加入队列中。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到队列为空。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为节点数，因此它适用于稠密图。
下面是Python中Dijkstra算法的代码实现：```pythonimport heapqdef dijkstra(graph, start):#初始距离和前驱节点dist = {start: 0}previous = {start: None}#所有未确定最短距离的节点放入堆中heap = [(0, start)]heapq.heapify(heap)while heap:(d, u) = heapq.heappop(heap)#如果已经处理过该节点，则直接跳过if u in dist and d > dist[u]:continuefor v, w in graph[u].items():#计算新的距离newdist = dist[u] + w#如果新距离比原距离更小，则更新距离和前驱节点if v not in dist or newdist < dist[v]:dist[v] = newdistprevious[v] = uheapq.heappush(heap, (newdist, v))return (dist, previous)#测试graph = {'A': {"B": 2, "D": 4},'B': {"C": 3, "D": 1},'C': {"D": 1, "E": 5},'D': {"E": 1},'E': {}}dist, prev = dijkstra(graph, 'A')print(dist) # {'A': 0, 'B': 2, 'D': 3, 'C': 5, 'E': 4}print(prev) # {'A': None, 'B': 'A', 'D': 'B', 'C': 'B', 'E': 'D'}```2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种适用于有向图的单源最短路径算法，它可以处理有负权边的情况，但是不能处理负环的情况。
湖北大学本科毕业论文（设计）题目最短路径算法及其应用姓名学号专业年级指导教师职称2011年 4月 20 日目录绪论 (1)1 图的基本概念 (1)1.1 图的相关定义 (1)1.2 图的存储结构 (2)1.2.1 邻接矩阵的表示 (2)1.2.2 邻接矩阵的相关结论 (3)2 最短路径问题 (3)2.1 最短路径 (4)2.2 最短路径算法 (4)2.2.1Dijkstra算法 (4)2.2.2Floyd算法 (5)3 应用举例 (5)3.1 Dijkstra算法在公交网络中的应用 (5)3.1.1 实际问题描述 (5)3.1.2 数学模型建立 (5)3.1.3 实际问题抽象化 (6)3.1.4 算法应用 (6)3.2 Floyd算法在物流中心选址的应用 (7)3.2.1 问题描述与数学建模 (7)3.2.2 实际问题抽象化 (7)3.2.3 算法应用 (8)参考文献 (10)附录 (11)最短路径算法及其应用摘要最短路径算法的研究是计算机科学研究的热门话题，它不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的实用价值。
最短路径问题有广泛的应用，比如在交通运输系统、应急救助系统、电子导航系统等研究领域。
最短路径问题又可以引申为最快路径问题、最低费用问题等，但它们的核心算法都是最短路径算法。
经典的最短路径算法——Dijkstra和Floyd算法是目前最短路径问题采用的理论基础。
本文主要对Dijkstra和Floyd算法进行阐述和分析，然后运用这两个算法解决两个简单的实际问题。
【关键字】最短路径 Dijkstra算法 Floyd算法图论Shortest path algorithms and their applicationsAbstractThe research about the shortest path is a hot issue in computer science. It has both important theoretical significance and important utility value. The shortest path problem has broad application area, such as transport system, rescue system, electronic navigation system and so on. The shortest path problem can be extended to the problem of the fastest path problem and the minimum cost problem. But their core algorithms are all both the shortest path algorithms. The classical algorithms for the shortest path——Dijkstra and Floyd are the theoretical basis for solving the problems of the shortest path. The article mainly through the demonstration and analysis of the Dijkstra and Floyd algorithms, then use the algorithms to solve the two simple practical problems.【keywords】shortest path Dijkstra algorithm Floyd algorithm graph绪论随着知识经济的到来，信息将成为人类社会财富的源泉，网络技术的飞速发展与广泛应用带动了全社会对信息技术的需求，最短路径问题作为许多领域中选择最优问题的基础，在电子导航，交通旅游，城市规划以及电力，通讯等各种管网，管线的布局设计中占有重要的地位。
最短路径实际生活中的应用
最短路径算法是一种常用的图论算法，可以在图中寻找两个节点之间最短的路径。
在实际生活中，最短路径算法可以被应用于多种场景，下面将列举几个例子：
1.导航系统
众所周知，导航系统是基于地图数据实现的，而地图就是一个图。
最短路径算法可以帮助导航系统找到两个地点之间最短的路径，并在地图上标出路线，为司机提供导航服务。
2.物流配送
在物流配送过程中，物流企业需要将货物从仓库运送到客户处。
最短路径算法可以帮助物流企业确定货车的行驶路线，节约时间和成本。
此外，最短路径算法还可以帮助物流企业规划仓库的位置，让仓库与客户的距离更近，提高效率。
3.电力网络
电力网络中的电线杆和变电站可以看作是节点，它们之间的电线可以看作是边。
最短路径算法可以帮助电力公司确定电线的布局，让电线的长度更短，降低电力损耗和成本。
4.社交网络
社交网络中的用户可以看作是节点，他们之间的关注和好友关系可以看作是边。
最短路径算法可以帮助社交网络推荐好友或者关注对象，让用户之间的连接更加紧密。
总之，最短路径算法在实际生活中有着广泛的应用，它可以帮助
我们优化决策，提高效率和降低成本。
最短路径问题算法最短路径问题算法概述：在图论中，最短路径问题是指在一个加权有向图或无向图中，从一个顶点出发到另外一个顶点的所有路径中，权值和最小的那条路径。
最短路径问题是图论中的经典问题，在实际应用中有着广泛的应用。
本文将介绍常见的几种最短路径算法及其优缺点。
Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题，即给定一个起点s，求出从s到其他所有顶点的最短路径。
Dijkstra算法采用了广度优先搜索策略，并使用了优先队列来维护当前已知的距离最小的节点。
实现步骤：1. 初始化：将起始节点标记为已访问，并将所有其他节点标记为未访问。
2. 将起始节点加入优先队列，并设置其距离为0。
3. 重复以下步骤直至队列为空：a. 取出当前距离起始节点距离最小的节点u。
b. 遍历u的所有邻居v：i. 如果v未被访问过，则将其标记为已访问，并计算v到起始节点的距离，更新v的距离。
ii. 如果v已被访问过，则比较v到起始节点的距离和当前已知的最短距离，如果更小则更新v的距离。
c. 将所有邻居节点加入优先队列中。
优缺点：Dijkstra算法能够求解任意两点之间的最短路径，并且保证在有向图中不会出现负权回路。
但是Dijkstra算法只适用于无负权边的图，因为负权边会导致算法失效。
Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题。
与Dijkstra算法不同，Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。
实现步骤：1. 初始化：将起始节点标记为已访问，并将所有其他节点标记为未访问。
2. 对于每个节点v，初始化其到起始节点s的距离为正无穷大。
3. 将起始节点s到自身的距离设置为0。
4. 重复以下步骤n-1次（n为顶点数）：a. 遍历所有边(u, v)，如果u到起始节点s的距离加上(u, v)边权小于v到起始节点s的距离，则更新v的距离为u到起始节点s的距离加上(u, v)边权。
离散数学是数学的一个分支，研究离散对象和不连续对象的数量关系及其结构的数学学科。
离散数学对于计算机科学和信息技术领域有着重要的应用，其中最短路径dijkstra算法是离散数学中的一个重要算法，它被广泛应用于计算机网络、交通规划、电路设计等领域，在实际应用中发挥着重要的作用。
一、最短路径dijkstra算法的基本原理最短路径dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·达斯提出的，用于解决带权图中的单源最短路径问题。
该算法的基本原理是：从一个源点出发，按照权值递增的顺序依次求出到达其它各个顶点的最短路径。
具体来说，最短路径dijkstra算法的实现步骤如下：1. 初始化：将源点到图中各个顶点的最短路径估计值初始化为无穷大，将源点到自身的最短路径估计值初始化为0；2. 确定最短路径：从源点开始，选择一个离源点距离最近的未加入集合S中的顶点，并确定从源点到该顶点的最短路径；3. 更新距离：对于未加入集合S中的顶点，根据新加入集合S中的顶点对其进行松弛操作，更新源点到其它顶点的最短路径的估计值；4. 重复操作：重复步骤2和步骤3，直到集合S中包含了图中的所有顶点为止。
二、最短路径dijkstra算法的实现最短路径dijkstra算法的实现可以采用多种数据结构和算法，比较常见的包括邻接矩阵和邻接表两种表示方法。
在使用邻接矩阵表示图的情况下，最短路径dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n表示图中顶点的个数；而在使用邻接表表示图的情况下，最短路径dijkstra 算法的时间复杂度为O(nlogn)。
三、最短路径dijkstra算法的应用最短路径dijkstra算法可以应用于计算机网络中路由选择的最短路径计算、交通规划中的最短路径选择、电路设计中的信号传输最短路径计算等领域。
在实际应用中，最短路径dijkstra算法通过寻找起始点到各个顶点的最短路径，为网络通信、交通规划、电路设计等问题提供有效的解决方案。
第36卷第5期2002年9月浙 江 大 学 学 报(工学版)Jo ur nal o f Zhejiang U niv ersity(Eng ineer ing Science)Vol.36No.5Sep.2002收稿日期:2001-10-24.作者简介:柴登峰(1974-),男,浙江江山人,博士生,从事遥感图像处理、地理信息系统方面研究.E-mail:chaidf@z 前N 条最短路径问题的算法及应用柴登峰,张登荣(浙江大学空间信息技术研究所,杭州浙江310027)摘 要:现有最短路径问题指的是狭义最短路径问题,针对该问题而设计的算法只能求得最短的一条路径.前N 条最短路径拓宽了最短路径问题的内涵(即不仅要求得最短路径,还要求得次短、再次短…第N 短路径),是广义最短路径问题.在图论理论基础上分析问题之后,设计了一个递归调用Dijkstr a 算法的新算法,该算法可以求取前N 条最短路径,而且时间、空间复杂度都为多项式阶.该算法已经成功应用于一个交通咨询系统中,自然满足实时应用需要.关键词:最短路径;N 条最短路径;网络分析;地理信息系统;交通咨询系统中图分类号:P 208;O 22 文献标识码:A 文章编号:1008-973X (2002)05-0531-04Algorithm and its application to N shortest paths problemCHAI Deng-f eng,ZHAN G Deng-rong(I nstitute of Sp ace and I n f ormation T echnical ,Zhej iang U niv er sity ,H angz hou 310027,China )Abstract :As the shor test path denotes one path ,algorithms designed for shor test path problem can g et only one path .N shortest paths are N paths including the shortest one ,the one inferior to the shortest one,eto.After reviewing the application of shortest poth pro blem ,an N shortest paths problem w as put fo rw ard and described.Gr aph theo ry w as used to analy ze the problem and results in fo ur theoretical con-clusions .T hen ,algo rithm recursively calling the Dijkstra algor ithm was desig ned and analy zed .Bath time co nplexity and space conplex ity are poly nom ial order.The algo rithm w as tested by ex periment and applied to a traffic consultatio n system of Guang zhou City ,it can meet the need of r eal-time application.Key words :sho rtest path;N shor test paths;netw ork analysis;tr affic consultation system ;GIS 20世纪中后期,随着计算机的出现和发展,图论的理论和应用研究得到广泛重视,图论作为一个数学分支的地位真正得到了确立.现在,图论的应用已经深入到众多领域,GIS 网络分析就是图论在地理信息领域的重要应用[3],此外,还有城市规划、电子导航、交通咨询等等.最短路径问题是图论中的一个典范问题[1],主要研究成果有Dijkstra 、Floy d 等优秀算法[1,2],Dijk-stra 还被认为是图论中的好算法[1].目前的研究工作主要集中于算法实现的优化改进与应用方面[3,4].最短路径问题通常有两类[2]:一类是求取从某一源点到其余各点的最短路径;另一类是求取每一对顶点之间的最短路径.它们从不同的角度描述问题,但有一个共同的缺陷:这里的最短路径指两点之间最短的那一条路径,不包括次短、再次短等等路径.在此不妨称以上两类问题为狭义最短路径问题,为此设计的算法只能求得最短的一条路径,而不能得到次短、再次短等等路径.实际上,用户在使用咨询系统或决策支持系统时,希望得到最优的决策参考外,还希望得到次优、再次优等决策参考,这同样反映在最短路径问题上.因此,有必要将最短路径问题予以扩充,成为N 条最短路径问题,即不但要求得到最短路径,还要得到次短、再次短等路径.这称之为广义最短路径问题.1 问题描述在图、有向图、赋权图、顶点、边、路径(或称为通路、路)以及路径的长度等概念[2]的基础上,下面给出前N条最短路径问题的定义.前N条最短路径问题是:设有赋权图G(V,E)及其上给定的两个顶点v i和v j,r为v i和v j之间的一条路径,记其长度为d(r),由v i和v j之间的所有互不相同的路径组成的集合R(G,v i,v j)称为G上v i和v j之间的路径集合,即R(G,v i,v j)={rûr为G 上v i,v j之间的路径}.若按路径长度值大小将其排列得r1,r2,…,r M,d(r1)≤d(r2)≤…≤d(r M),则称r1为G上v i和v j间的第1最短路径(即狭义最短路径),d1为其长度;r2为G上v i和v j间第2最短路径,d2为其长度;r M为G上v i和v j间第M最短路径,d M为其长度.求取G上v i和v j间的第1～N(N ≤M)最短路径的问题称为前N条最短路径问题.2 算法设计的理论基础前面已指出,Dijkstra算法是求解狭义最短路径问题的优秀算法,但它只能求取第1最短路径而不能求得第2,…,N最短路径.经对问题研究分析后,归纳总结出四个结论,据此可将前N条最短路径问题转换为狭义最短路径问题加以求解.这样,就可以借用Dijkstra算法求解前N条最短路径问题.在给出结论之前,先作如下约定:(1)文中所指子图皆为生成子图.(2)r1(G,v i,v j)为G上v i和v j间的第1最短路径.结论1:若r=v0e1v1…e n v n∈R(G,v i,v j),则存在G′A G,使得r=r1(G′,v i,v j),反之,若G′A G,则R(G′,v i,v j)A R(G,v i,v j).结论2:r=r1(G,v i,v j),r′=r1(G′,v i,v j),若G′(V,E′)A G(V,E),则d(r)≤d(r′).结论3:设R(G,v i,v j)={r1,r2,…,r M},d(r1)≤d(r2)≤…≤d(r M),r1=v0e1v1…e n v n,R′(G,v i,v j) =∪k=1,…,nR k(G k,v i,v j),R k(G k,v i,v j)=R(G k(V,E k), v i,v j),E k=E(G)-{e k},则R(G,v i,v j)-{r1}=R′(G,v i,v j).结论4:设R(G,v i,v j)={r1,r2,…,r M},d(r1)≤d(r2)≤…≤d(r M),r′k=r1(G k,v i,v j),R k=R(G k,v i,v j)-{r′k},G k A G,k=1,…,n,R′=∪k=1,…,n ({r′k}∪R k),则有:¹若{r s,…,r M}=R′,d(r′t)=mink=1,…,n(d(r′k)),则r s=r′t.º若r′t=v0e1v1…e m v m,则{r s+1,…,r M}=R″, R″=(∪k=1,…,n,r′k≠r′t({r′k}∪R k))∪(∪p(∪l({r p l}∪R p l))),R p l=R(G p l,v i,v j),r p l=r1(G p l,v i,v j),G p l(V,E p l),E p l=E p-{e l},l=1,…,m,p∈{1,…,n},r′p=r s,且 r s+1=r′t,d(r′t)=min(m ink=1,…,n,r′k≠r′(d(r′k)), m inp∈{1,…,n},r′p=r′l(minl=1,…,m(d(r p l))));r q t,d(r q t)=m in(mink=1,…,n,r′k≠r′(d(r′k)), m inp∈{1,…,n},r′p-r′t(minl=1,…,m(d(r p l)))).根据结论1,赋权图G(V,E)上两顶点间的任一路径都必然是它的某一子图G′(V,E′)上相同顶点间的第1最短路径,可将一个图G(V,E)上两顶点间的第2,…,N最短路径转换为第1最短路径加以求解.根据结论3,可将第1最短路径r1从路径集合{r1,r2,…,r M}中分离出来,分别将第1最短路径r1=v0e1v1,…,e n v n上的一条边从图G的边集中删除就可得到一批子图G k,k=1,…,n,这些子图上路径集合的并集∪k=1,…,nR k就等于非第1最短路径集合{r2,…,r M}.同样,可将路径集合R k,k=1,…,n分离为第1和非第1最短路径.如此递归进行可将全部路径转化为某一子图上的第1最短路径.将所有路径全部求出,然后按路径长度值大小对其进行排序即可求解前N条最短路径问题.在实际应用中N通常较小(N<5),避免求取不必要的路径是算法设计的关键.根据结论4,如果前s-1最短路径r1,r2,…,r s-1已经求得且所剩路径r s,…,r M在若干子图(它们组成一子图集)上路径集合R k,k=1,…,n中,则第s最短路径r s是这些子图上第1最短路径的最短者,求得第s最短路径后,在子图集中将第s最短路径所对应的子图(该子图的第1最短路径为原图的第s最短路径)用若干子图(根据结论3求得)取代,得到新的子图集就是求取第s+1最短路径所需的子图集.当s=1时,原图就是所需子图,求得第1最短路径之后,派生出若干子图,这样可以求取第2最短路径,如此递推进行,直至求取第N最短路径.这就不必求出全部路径,在N较小时,就显得更加重要和有效.上述四个结论是算法设计的理论依据.532浙 江 大 学 学 报(工学版) 第36卷 3 算法设计和分析在前述结论的基础上,下面设计求解前N 条最短路径问题的算法.先根据需要定义边、路径、图等结构类型,用于表示边、路径和图等,用P aths 数组存放路径类型指针变量,其大小设为N ,最后经过排序的结果就存放在这里,与此对应的是CutEdgeSet 数组,它存放以边为元素的集合变量,对应的含义为CutE dgeSet [i ]E ′=E -CutEd geS et [i ]G ′(V ,E ′)r =r 1(G ′,v i ,v j )P aths [i ]=r .在原图上割断,然后恢复CutE DgeSet 中的边可以避免存储中间子图.算法进行N 次循环,第i 次循环确定第i 最短路径,循环中先选择第i -1最短路径(即Paths [i -1]),根据CutEd geSet [i -1]和P aths [i -1]中的边产生若干子图,求取其上的第1最短路径作为候选路径存放入P aths [k ]中,k =i ,…,N .每次存入新候选路径时采用排序算法插入到正确位置,这样Paths 数组中元素始终保持按路径长度值大小进行存放,P aths [i ]在循环结束时就指向第i 最短路径.算法描述1是算法的完整描述,其中CutEd -geN um 表示CutEd geSet 中边的数目,E dgeN um 表示P aths [i -1]上边的数目;G 、souVex 和desVex 是算法的输入变量,分别表示图、源点和目标点;P 表示路径类型指针的变量;edge 表示边类型的变量,它至少含距离属性dist .所调用函数的含义如为其名称所表示的那样.若P 为空指针,则DistOf -Path (P )返回值为无穷大.从算法描述可以看出,对于G (V ,E ),N 是所要求的最短路径数目,与图的大小无关,而且通常较小,可以为常数量级;E dgeN um 是Paths [i -1]边的数目,其上限是边的总数目(实际应用中,远不能达到),由于Dijkstra 算法的时间复杂度为O (n 2),因此总的时间复杂度为O (e *n 2),其中e 和n 分别为图G (V ,E )的边和顶点的数目,若记顶点v i 的入度为T D (v i ),则e =∑ni =1TD (v i),对于GIS 网络分析对象,通常T D (v i )较小(如道路网中一般不超过4),因此,总的时间复杂度为O (n 3),这是多项式阶的算法.若以链表结构来存储图,则算法的空间复杂度为O (n ).4 算法应用现有如图1所示一有向赋权图,v i (i =1,…,11),e i (i =1,…,22)分别表示顶点和边,括号内数字为边的权值.图1 赋权图F ig.1 W eig hted g r aphfor (i =0;i <N ;i ++){CutEdgeS et [i ]=5; P aths [i ]=null ;}for (i =0;i <N ;i ++){ if(i0){ Dij kstra (G ,souVex ,desVex ,P );P aths [i ]=P ; CutEdgeS et [i ]=5;}else{ CutEdgeN um =S iz eOf Set (CutEd geSet [i -1]);for(j =0;j <CutE dgeN um ;j ++){ ed ge =Mem ber Of Set (CutEdgeS et [i -1],j ); dist [j ]=edg e .dist ; edg e .dist =∞;}if (P aths [i -1]=null )break ;Ed geN um =L engthOf Pa th (Paths [i -1]);for(j =0;j <EdgeN um ;j ++){ edge =EdgeOf P ath (P aths [i -1],j ); for (jj =0;jj <N ;j j ++) if (edge ∪CutEdgeSet [i -1]CutE dge -Set [j j ])co ntinue; dist =ed ge .dist ; edge .dist =∞; Dij ktra (G ,souVex ,d esV ex ,P ); edge .dist =dist ; dist =DistOf Path (P ); for (k =i ;k <N ;k ++) { if(DistOf P ath (P aths [k ])>dist ) { for(kk =N -1;kk >k ;k k --) { Paths [kk ]=P aths [kk -1];Cut -533 第5期柴登峰,等:前N 条最短路径问题的算法及应用E dgeSet[kk]=CutEd geSet[k k-1]; } Paths[k]=P;CutEdgeS et[k]=CutEd geSet[i-1]∪{edge}; break; } }}for(j=0;j<CutEdgeN um;j++){ ed ge=MemberOf Set(CutEd geSet[i-1],j); edge.dist=d ist[j]; edge.dist=∞;}}}利用本算法进行实验,得到三条最短路径,第1、2、3最短路径分别为:v1e2v3e9v7e17v10e22v11、v1e3v4e10v7e17v10e22v11和v1e2v3e7v5e13v8e20v11,其路径长度分别为42、45和46.本算法已经成功应用到广州市城市交通咨询系统中,应用有两种方式:求两点之间若干条最近的道路和若干条最节省时间的道路.后者需要增加一个环节用于估计行车时间,行车时间通常由路程、交通流量、道路等级等因素决定.为给用户提供实时信息,交通流量可实时测量和估计而得.对于一般的输入点求取3至5条最短路径,其计算时间通常在5s之内(CPU:667M Hz).通过实验及实际应用的检验,可以看出本算法是有效的.5 结 论本文提出的前N条最短路径问题是通常最短路径问题的扩充和延伸,它解决了实际中存在的问题,满足了需求.给出的算法有严格的理论基础,能成功计算得到前N条最短路径,其时间空间复杂度都为多项式阶.参考文献(References):[1]邦迪J A,默蒂U S R.图论及其应用[M].吴望名,等译.北京:科学出版社,1984.BON DY J A,M U RT Y U S R.Graph theory with Ap-plications[M].WU W ang-min,et al t ransl.Beijing: Science Pr ess,1984.[2]严蔚敏,吴伟明.数据结构[M].北京:清华大学出版社,1992.Y AN W ei-ming,WU Wei-ming.Data structures[M].Beijing:T singhua U niv ersity Pr ess,1992.[3]王杰臣,毛海城,杨得志.图的节点——弧段联合结构表示法及其在G IS最优路径选取中的应用[J].测绘学报, 2000,29(1):47-51.W A N G Jie-chen,M A O Hai-cheng,Y A NG De-zhi.U-nit ed str uctur e of po int:A r c for netw or k gr aph and It'sa pplicatio n in G ISs shor test pa th sear ching[J].Scienceof Surveying and 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