江苏省扬州市第一中学高二数学《圆锥曲线》练习

江苏省扬州市第一中学2024-2025学年高二上学期10月教学质量调研评估数学试卷一、单选题1．直线103x -=的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．过点()1,4A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A ．30x y -+=B ．50x y +-=C ．40x y -=或50x y +-=D ．40x y -=或30x y -+=3．已知m 为实数，直线()()12:220,:5210l m x y l x m y ++-=+-+=，则“12l l //”是“3m =-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．求圆心在直线210x y +-=上，且与直线20x y ++=相切于点(0,2)-的圆的方程是（）A ．()()22112x y -++=B ．()2212x y +-=C ．()()22114x y -++=D ．()2214x y +-=5．已知两点()3,2A -，()2,1B ，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．(][),11,-∞-+∞ B ．[]1, 1-C ．[)1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．已知点P 在圆22:(2)(3)1C x y -+-=上运动，点()2,0A -，则AC AP ⋅的取值范围为（）A ．[]20,30B ．()20,30C ．[]20,25D ．()20,257．已知点(0,0)O ，点P 满足||1PO =，则点P 到直线02x m y --=的距离的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知点()1,0A -，()0,3B ，点P 是圆()2231x y -+=上任意一点，则PAB 面积的最小值为（）A ．6B ．112C ．92D ．62-二、多选题9．若三条直线123:210,:10,:220l x y l x y l x ay a -+=+-=++-=可以围成一个三角形，则实数a 的值可以为（）A ．1-B ．0C ．1D ．310．对于直线l ：()1230m x y m -+-+=，下列选项正确的是（）A ．直线l 恒过点()2,1-B ．当2m =时，直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为12C ．若直线l 不经过第二象限，则31,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．坐标原点到直线l11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A ，(0,3)B ，(,3)(0)C a a ≠，(1,0)D -，ABD △，BCD △的外接圆分别为圆M 、圆N ，则下列结论正确的是（）A ．直线BD 的方程为230x y -+=B ．点C 恒在圆M 外C ．若圆M 与圆N 的半径相等，则2a =-D ．若1a =，则圆N 的圆心的横坐标为0三、填空题12．1:30l x y -+=，与直线2:220l x my +-=平行，则直线1l 与2l 的距离为.13．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC V 的三个顶点(5,1),(7,3),(2,8)A B C --，若直线2y x b =+过ABC V 的外接圆的圆心，则b =；若点(2,)m 在ABC V 的外接圆内，则m的取值范围为．14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点,M N 及动点P ，若TMTNλ=（0λ>且1λ≠），则点T 的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点P 为圆22:(1)4A x y -+=上一动点，Q 为圆22:(3)(4)1B x y -+-=上一动点，点()3,0C -，则PC PQ PB ++的最小值为．四、解答题15．已知三角形ABC 的顶点坐标为()()()1,5,2,1,4,3A B C ---．(1)求过点C 且与边AB 平行的直线方程；(2)求AB 边上的高所在的直线方程．16．求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心是()4,0，且过点()2,2；(2)圆心在y 轴上，半径为5，且过点()3,4-；(3)求过两点()1,2C -和(D ，圆心在x 轴上的圆的标准方程．17．已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.(1)求直线BC 的方程和点C 的坐标；(2)求ABC V 的面积．18．已知O 为坐标原点，()1,2A -，过点A 且斜率为k 的直线l 与x 轴负半轴及y 轴正半轴分别交于点B C ､.(1)求AB AC ⋅的最小值；(2)若OBC △的面积为S ，且对于每一个S 的值满足条件的k 值只有2个，求S 的取值范围.19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设()11,A x y ，()22,B x y ，则欧几里得距离(,)D A B 1212(,)d A B x x y y =-+-，余弦距离(,)1cos(,)e A B A B =-，其中cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉（O 为坐标原点）．(1)若(1,2)A -，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，求A ，B 之间的曼哈顿距离(,)d A B 和余弦距离(,)e A B ；(2)若点(2,1)M ，(,)1d M N =，求(,)e M N 的最大值；(3)已知点P ，Q 是直线:1(1)l y k x -=-上的两动点，问是否存在直线l 使得min min (,)(,)d O P D O Q ，若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程，若不存在，请说明理由．。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作圆锥曲线 同步练习1．抛物线22y x =-的焦点坐标是（ ）A. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B. ()0,1C. 10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线方程为12y x=±，则该双曲线的离心率是（ ）A.5B. 5C. 52D. 543．14k <<是方程22141x y k k +=--表示椭圆的（ ）A.充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．以上都不对4．已知定点,A B 且4AB =，动点P 满足3PA PB -=，则PA的最小值是（ ）Ａ．21 Ｂ．23 Ｃ．27Ｄ．55．若双曲线2214x y k +=的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ）Ａ．(,0)-∞ Ｂ．(3,0)- Ｃ．(12,0-Ｄ．(60,12)--6．过双曲线221169x y -=的右焦点2F 有一条弦PQ ，6PQ =,1F 是左焦点，那么△1F PQ的周长为（ ）Ａ．28 B.22 C.14 D.127．设F1，F2为椭圆x2a2 +y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，M 是椭圆上的一点，且满足12MF MF ⊥，则椭圆的离心率为( )A 、32 B 、22C 、2- 3D 、1- 3 8．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝4，则这样的直线l 有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条9．已知A ，B 是椭圆2211612x y +=上的两点，2F 是其右焦点，如果228AF BF +=，则AB 的中点到椭圆左准线的距离为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1210.若椭圆221x y m p +=与双曲线()221,,0,x y m n p m p n p -=>≠有公共的焦点12,F F ，其交点为P ，则△12PF F 的面积是（ ）A.m n +B.2m n +C.pD.2p11.椭圆的焦点是()()123,0,3,0F F -，P 为椭圆上一点，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则椭圆的方程为____________．12．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MAMF +取得最小值的M 的坐标为13.已知动圆M 与 y 轴相切，且与定圆C ：222(0)x y ax a +=>相内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 .14. 已知)0,21(-A ，B 是圆4)21(:22=+-y x F （F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程是_________________15.求标准方程： （1）若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是(10,0)，求双曲线的标准方程。

2.1 圆锥曲线一、填空题1．已知M(－2,0)，N(2,0)是平面上的两点，动点P满足PM＋PN＝6，则动点P的轨迹是________．【解析】∵PM＋PN＝6>4，∴动点P的轨迹是一椭圆．【答案】椭圆2．到定点(0,7)和定直线y＝7的距离相等的点的轨迹方程是________．【解析】∵定点(0,7)在定直线y＝7上，∴到定点(0,7)与到定直线y＝7距离相等的点的轨迹是过(0,7)的该直线的垂线，其方程为x＝0.【答案】x＝03．命题甲：动点P到定点A、B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0)；命题乙：P点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．【解析】甲乙，乙⇒甲．【答案】必要不充分4．定点F1(－3,0)，F2(3,0)，动点M满足|MF1－MF2|＝6，则M点的轨迹是________．【解析】∵|MF1－MF2|＝6＝F1F2，∴M的轨迹是x轴上以F1，F2分别为端点的两条射线．【答案】x轴上分别以F1，F2为端点的两条射线5．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为______．(填椭圆、双曲线或抛物线)【解析】由题意P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹为一条抛物线．【答案】抛物线图2－1－36．如图2－1－3，点A为圆O内一定点，P为圆周上任一点，AP的垂直平分线交OP 于动点Q，则点Q的轨迹为________．【解析】由题意，QA＝QP，∴OQ＋QA＝OQ＋QP＝OP(半径)>OA，∴Q 点的轨迹是以O 、A 为焦点的一椭圆．【答案】 以O 、A 为焦点的一椭圆7．已知椭圆的两个焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若△AF 1F 2的周长为18，则△ABF 2的周长为________．【解析】 因为AF 2＋AF 1＋F 1F 2＝18，F 1F 2＝8，所以AF 2＋AF 1＝10，于是BF 2＋BF 1＝10，所以△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝AF 1＋BF 1＋AF 2＋BF 2＝20.【答案】 208．△ABC 的顶点A(0，－4)，B(0,4)，且4(sin B －sin A)＝3sin C ，则顶点C 的轨迹是________．【解析】 运用正弦定理，将4(sin B －sin A)＝3sin C 转化为边的关系，即4(b 2R －a 2R)＝3×c 2R，则AC －BC ＝6<AB ，显然，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的一支去掉点(0,3)．故填以A ，B 为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3)．【答案】 以A ，B 为焦点的双曲线的上支(去掉点(0,3))二、解答题9．已知F 1(－4,3)，F 2(2,3)为定点，动点P 满足PF 1－PF 2＝2a ，当a ＝2或a ＝3时，求动点P 的轨迹．【解】 由已知可得，F 1F 2＝6.当a ＝2时，2a ＝4，即PF 1－PF 2＝4<F 1F 2，根据双曲线的定义知，动点P 的轨迹是双曲线的一支(对应于焦点F 2)；当a ＝3时，PF 1－PF 2＝6＝F 1F 2，此时动点P 的轨迹是射线F 2P ，即以F 2为端点向x 轴正向延伸的射线．故当a ＝2时，动点P 的轨迹是双曲线的一支(对应于焦点F 2)；当a ＝3时，动点P 的轨迹是射线F 2P.10．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝16，圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1，动圆P 与两圆相外切，求动圆圆心P 的轨迹．【解】 设圆P 的半径为r ，两圆圆心分别为C 1(－3,0)，C 2(3,0)，由圆P 与两圆相外切可知PC 1＝4＋r ，PC 2＝1＋r ，∴PC 1－PC 2＝3<C 1C 2＝6，∴点P 的轨迹为以C 1，C 2为焦点的双曲线的右支．11．若点P(x ，y)的坐标满足方程x －12＋y －22＝|3x ＋4y ＋12|5，试判断点P 的轨迹是哪种类型的圆锥曲线．【解】x －12＋y －22＝|3x ＋4y ＋12|5， 即x －12＋y －22＝|3x ＋4y ＋12|32＋42， 等式左边表示点P(x ，y)到点(1,2)的距离，右边表示点P(x ，y)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离，即点P(x ，y)到点(1,2)的距离与到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离相等．又∵点(1,2)不在直线3x ＋4y ＋12＝0上，由拋物线的定义知，点P 的轨迹是以(1,2)为焦点，直线3x ＋4y ＋12＝0为准线的拋物线.。

1.已知点A (－1，0)，B (1，0)，动点P 满足P A ＋PB ＝3，则动点P 的轨迹是________． 解析：由P A ＋PB ＝3>AB 结合椭圆的定义有：动点P 的轨迹是以A (－1，0)，B (1，0)为焦点的椭圆．答案：以A (－1，0)，B (1，0)为焦点的椭圆2.已知点A (－2，0)，B (2，0)，动点M 满足|MA －MB |＝4，则动点M 的轨迹为________． 解析：动点M 满足|MA －MB |＝4＝AB ，结合图形思考判断动点M 的轨迹为直线AB (不包括线段AB 内部的点)上的两条射线．答案：直线AB (不包括线段AB 内部的点)上的两条射线3.到两定点F 1(0，－10)，F 2(0，10)的距离之和为20的动点M 的轨迹是________．解析：MF 1＋MF 2＝20＝F 1F 2，故动点M 为线段F 1F 2上任意一点，即动点M 的轨迹是线段F 1F 2.答案：线段F 1F 24.到定点(2，1)和定直线x ＋2y －4＝0的距离相等的点的轨迹是________．解析：点(2，1)在直线x ＋2y －4＝0上，不符合抛物线定义．答案：过点(2，1)且和直线x ＋2y －4＝0垂直的直线5.(2012·马鞍山学业水平测试)已知动点P (x ，y )满足（x ＋2）2＋y 2－（x －2）2＋y 2＝2，则动点P 的轨迹是________．解析： （x ＋2）2＋y 2－（x －2）2＋y 2＝2即动点P (x ，y )到两定点(－2，0)，(2，0)的距离之差等于2，由双曲线定义知动点P 的轨迹是双曲线的一支．答案：双曲线的一支[A 级 基础达标]1.动点M 到定点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B ⎝⎛⎭⎫－12，0的距离之和是2，则动点M 的轨迹是________． 解析：根据椭圆的定义判断，要注意定义中的“常数”是否大于AB .答案：椭圆2.已知F 1(－8，3)，F 2(2，3)，动点P 满足PF 1－PF 2＝10，则点P 的轨迹是________． 解析：由于两点间的距离为10，所以满足条件PF 1－PF 2＝10的点P 的轨迹应是一条射线． 答案：一条射线3.动点P 到直线x ＋2＝0的距离减去它到M (1，0)的距离之差等于1，则动点P 的轨迹是________．解析：将直线x ＋2＝0向右平移1个长度单位得到直线x ＋1＝0，则动点到直线x ＋1＝0的距离等于它到M (1，0)的距离，由抛物线定义知：点P 的轨迹是以点M 为焦点的抛物线．答案：以点M 为焦点的抛物线4.动点P 到定点A (0，－2)的距离比到定直线l ：y ＝10的距离小8，则动点P 的轨迹为________．解析：将直线l ：y ＝10沿y 轴向下平移8个单位，得到直线l ′：y ＝2，则动点P 到A (0，－2)的距离等于到定直线l ′：y ＝2的距离，故点P 的轨迹为抛物线．答案：抛物线5.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q使得PQ＝PF2，则动点Q的轨迹是________．解析：由P是椭圆上的一点，根据椭圆的定义，则PF1＋PF2＝定值，而PQ＝PF2，则QF1＝PF1＋PQ＝PF1＋PF2＝定值，所以点Q的轨迹是以F1为圆心的圆．答案：圆6.设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件PF1＋PF2＝a(a>0)，试求动点P的轨迹．解：当a＝6时，PF1＋PF2＝a＝F1F2，所以点P的轨迹为线段F1F2.当a>6时，PF1＋PF2＝a>F1F2，所以点P的轨迹为椭圆．当0<a<6时，PF1＋PF2＝a<F1F2，所以点P的轨迹不存在．7.若动点P到两个定点F1(－1，0)、F2(1，0)的距离之差的绝对值为定值a(0≤a≤2)，试求动点P的轨迹．解：当a＝0时，|PF1－PF2|＝0，从而PF1＝PF2，所以点P的轨迹为直线：线段F1F2的垂直平分线．当a＝2时，|PF1－PF2|＝2＝F1F2，所以点P的轨迹为两条射线．当0<a<2时，|PF1－PF2|＝a<F1F2，所以点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线．[B级能力提升]8.过已知圆B内一个定点A作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹是________．解析：分A点与B点是否重合两种情况讨论．答案：圆或椭圆9.若点M到定点F和到定直线l的距离相等，则下列说法正确的是________．①点M的轨迹是抛物线；②点M的轨迹是一条与x轴垂直的直线；③点M的轨迹是抛物线或一条直线．解析：当点F不在直线l上时，点M的轨迹是以F为焦点、l为准线的抛物线；而当点F 在直线l上时，点M的轨迹是一条过点F，且与l垂直的直线．答案：③10.求满足下列条件的动圆圆心M的轨迹．(1)与⊙C：(x＋2)2＋y2＝2内切，且过点A(2，0)；(2)与⊙C1：x2＋(y－1)2＝1和⊙C2：x2＋(y＋1)2＝4都外切；(3)与⊙C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与⊙C2：(x－3)2＋y2＝1内切．解：设动圆M的半径为r.(1)∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，∴MC＝r－ 2.∴MA＝r，∴MA－MC＝2，且2<4.∴点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的一支．(2)∵⊙M与⊙C1，⊙C2都外切，∴MC1＝r＋1，MC2＝r＋2.∴MC2－MC1＝1，且1<2.∴点M的轨迹是以C2，C1为焦点的双曲线的一支．(3)∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2内切，∴MC1＝r＋3，MC2＝r－1.∵MC1－MC2＝4，且4<6，∴点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的一支．11.(创新题)已知定直线l及定点A(A不在l上)，n为过点A且垂直于l的直线，设N为l 上任意一点，线段AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证：点P的轨迹为抛物线．证明：如图所示，建立平面直角坐标系，并且连结P A，PN，NB.由题意知PB垂直平分AN，且点B关于AN的对称点为P，∴AN也垂直平分PB.∴四边形P ABN为菱形，∴P A＝PN.∵AB⊥l，∴PN⊥l.故点P符合抛物线上点的条件：到定点A的距离和到定直线l的距离相等，∴点P的轨迹为抛物线．。