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已知两点坐标求方位角

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计算坐标与坐标方位角的基本公式
控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐标，控制点的坐标是根据边长及
方位角计算出来的。下面介绍计算坐标与坐标方位角的基本公式，这些公式是矿山测量工中
最基本最常用的公式。

一、坐标正算和坐标反算公式

1．坐标正算
根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、边长计算待定点的坐标，这种计算
在测量中称为坐标正算。

如图5—5所示，已知A点的坐标为Ax、Ay，A到B的边长和坐标方位角分别为ABS和
AB

，则待定点B的坐标为

ABABABAByyyxxx ｝ （5—1）

式中 ABx 、ABy——坐标增量。
由图5—5可知

ABABABABABABSySxsincos ｝ （5—2）
式中 ABS——水平边长；
AB

——坐标方位角。

将式（5-2）代入式（5-1），则有

ABABABABABABSyySxxsincos ｝ （5—3）
当A点的坐标Ax、Ay和边长ABS及其坐标方位角AB为已知时，就可以用上述公式计
算出待定点B的坐标。式（5—2）是计算坐标增量的基本公式，式（5—3）是计算坐标的基
本公式，称为坐标正算公式。
从图5—5可以看出ABx是边长ABS在x轴上的投影长度，ABy是边长ABS在y轴上
的投影长度，边长是有向线段，是在实地由A量到B得到的正值。而公式中的坐标方位角可
以从0°到360°变化，根据三角函数定义，坐标方位角的正弦值和余弦值就有正负两种
情况，其正负符号取决于坐标方位角所在的象限，如图5—6所示。从式（5—2）知，由于
三角函数值的正负决定了坐标增量的正负，其符号归纳成表5—3。

图5—5 坐标计算 图5—6 坐标增量符号
表5—3 坐标增量符号表
坐标方位角 （°） 所在象限 坐标增量的正负号
⊿x ⊿y
0～90 90～180 180～270 270～360 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ ＋ － － ＋ ＋
＋
－
－

例1 已知A点坐标Ax=100.00m，Ay=300.10m；边长ABs=100m，方位角AB=330°。
求B点的坐标Bx、By。
解：根据公式（5—3）有

msyymsxxABABABABABAB6.249330sin1001.300sin1.186330cos100100cos
2、坐标反算
由两个已知点的坐标计算出这两个点连线的坐标方位角和边长，这种计算称为坐标反
算。

由式（5—1）有
ABABABAByyyxxx ｝ （5—4）
该式说明坐标增量就是两点的坐标之差。在图5—5中ABx 表示由A点到达B点的纵
坐标之差称纵坐标增量； ABy表示由A点到B点的横坐标之差称横坐标增量。坐标增量
也有正负两种情况，它们决定于起点和终点坐标值的大小。
在图5—5中如果A点到B点的坐标已知，需要计算AB边的坐标方位角AB和边长时

AB
S
，

则有

ABABAB
AB
AB
xyxxyy


tan
ABABAB
AB
AB

yxSsincos

｝ (5—5)

或 22ABABAByxS
公式（5—5）称为坐标反算公式。应当指出，使用公式（5—5）中第一式计算的角是象
限角R，应根据⊿x、⊿y的正负号，确定所在象限，再将象限角换算为方位角。因此公式（5-
—5）中的第一式还可表示为：

ABABABABABxyxxyyRarctanarctan
例2．已知Ax=300m, Ay=500m,Bx=500m,By=300m,求A、B二点连线的坐标方位角
AB

和边长ABS。
解：由公式（5-5）有

)1arctan(300500500300arctanarctanABABABxxyyR
因为ABx为正 、ABy为负，直线AB位于第四象限。所以45NWRAB
根据第四象限的坐标方位角与象限角的关系得：
31545360
AB

AB边长为：
myyxxSABABAB8.282)500300()300500()()(2222
坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最基本的公式，应用十分广泛。
在测量计算时，由于公式中各元素的数字较多，测量规范对数字取位及计算成果作了规
定。例如图根控制点要求边长计算取至毫米；角度计算取至秒；坐标计算取至厘米。
二、坐标方位角的推算公式
由公式（5-2）知，计算坐标增量需要边长和该边的坐标方位角两个要素，其中边长是
在野外直接测量或通过三角学的公式计算得到的，坐标方位角则是根据已知坐标方位角和水
平角推算出来的。下面介绍坐标方位角的推算公式。
如图5-7所示，箭头所指的方向为“前进”方向，位于前进方向左侧的观测角称为左观
测角，简称左角；位于前进方向右侧的角称为右观测角，简称右角。
1.观测左角时的坐标方位角计算公式
在图5—7与5—8中，已知AB边的方位角为AB，左为左观测角，需要求得BC边的
方位角BC。左是外业观测得到的水平角，从图上可以看出已知方位角AB与左观测角

左

之和有两种情况：即大于180°或小于180°。图5—7中为大于180°的情况，图5—8

中为小于180°的情况。

图5—7坐标方位角推算 图5—8坐标方位角推算
从图5—7可知，BC边的坐标方位角为

180

左


ABBC

从图5—8可知，BC边的坐标方位角为

180

左


ABBC

综上所述两式则有

180左后前 （5—6）
式（5-6）是按照边的前进方向，根据后一条边的已知方位角计算前一条边方位角的基
本公式。公式说明：导线前一条边的坐标方位角等于后一条边的坐标方位角加上左观测角，
其和大于180°时应减去180°，小于180°时应加上180°。
2.观测右角时的坐标方位角计算公式
从图5-7 或图5-8可以看出
右左360
将该式代入式(5- 6),得
360)180(右后前
当方位角大于360°时，应减去360°，方向不变。所以上式变为

180

右后
前


（5—7）

上式说明：导线中，前一条边的坐标方位角等于后一条边的坐标方位角减去右观测角，
其差大于180°时应减去180°，小于180°时应加上180°。
使用式（5-6）与(5-7)时，还应注意相应两条边的前进方向必须一致，计算结果大于
360°时，则应减去360°，方向不变。
例3 图5-9 为一条支导线，已知A点的坐标方位角BA =101°28´,导线A点的左观
测角左 =108°32´，M点的右观测角 右 =75°。试推算坐标方位角 AM、MN。

图5—9 支导线
解 ：由式（5-6）得

180左BAAM
则有 30180'32108'28101AM
由式（5-7）得

180

右


AMMN

则有 1351807530MN

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坐标正反算

坐标正反算

一、坐标正算与坐标反算 1、坐标正算 已知 点的坐标、 边的方位角、 两点间的水平距离，计算待 定点 的坐标，称为坐标正算。

如图 6-6 所示，点的坐标可由下式计 算：式中 、 为两导线点坐标之差，称为坐标增量，即：【例题 6-1】已知点 A 坐标， =1000 、 =1000 、方位角 =35°17＇36.5"， 两点水平距离 =200.416 ，计算 点的坐标？35o17＇36.5"=1163.580 35o17＇36.5"=1115.793 2、坐标反算 已知 两点的坐标，计算 两点的水平距离与坐标方位角， 称为坐标反算。

如图 6-6 可知，由下式计算水平距离与坐标方位角。

（6-3） （6-4） 式中反正切函数的值域是-90°～+90°，而坐标方位角为 0°～ 360°，因此坐标方位角的值，可根据 、 的正负号所在象限，将反 正切角值换算为坐标方位角。

【例题 6-2】 =3712232.528 、 =523620.436 、 =3712227.860 、 =523611.598 ，计算坐标方位角计算坐标方位角、水平距离 。

=62°09＇29.4"+180°=242°09＇29.4"注意：一直线有两个方向，存在两个方位角，式中：、的计算是过 A 点坐标纵轴至直线 的坐标方位角，若所求坐标方位角为，则应是 A 点坐标减 点坐标。

坐标正算与反算，可以利用普通科学电子计算器的极坐标和直角坐标相互转换功能计算，普通科学电子计算器的类型比较多，操作方法不相同，下面介绍一种方法。

【例题 6-3】坐标反算，已知 =2365.16 、 =1181.77 、=1771.03 、 =1719.24 ，试计算坐标方位角 、水平距离 。

键入 1771.03-2365.16 按等号键［=］等于纵坐标增量，按储存键［ ］，键入 1719.24-1181.77 按等号键［=］等于横坐标增量，按［ ］键输入，按［ ］显示横坐标增量，按［ ］键输入，按第二功能键［2ndF］，再按［ ］键，屏显为距离，再按［ ］键，屏显为方位角。

经纬度计算距离和方位角

经纬度计算距离和方位角

经纬度计算距离和方位角方位角（azimuthangle）：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角。

（一）方位角的种类由于每点都有真北、磁北和坐标纵线北三种不同的指北方向线，因此，从某点到某一目标，就有三种不同方位角。

（1）真方位角。

某点指向北极的方向线叫真北方向线，而经线，也叫真子午线。

由真子午线方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的真方位角，一般用A表示。

通常在精密测量中使用。

（2）磁方位角。

地球是一个大磁体，地球的磁极位置是不断变化的，某点指向磁北极的方向线叫磁北方向线，也叫磁子午线。

在地形图南、北图廓上的磁南、磁北两点间的直线，为该图的磁子午线。

由磁子午线方向的北端起，顺时针量至直线间的夹角，称为该直线的磁方位角，用Aｍ表示。

（3）坐标方位角。

由坐标纵轴方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的坐标方位角，常简称方位角，用a表示。

方位角在测绘、地质与地球物理勘探、航空、航海、炮兵射击及部队行进时等，都广泛使用。

不同的方位角可以相互换算。

军事应用：为了计算方便精确，方位角的单位不用度，用密位作单位。

换算作：360度=6000密位。

（二）三种方位角之间的关系因标准方向选择的不同，使得一条直线有不同的方位角。

同一直线的三种方位角之间的关系为：Ａ＝Ａｍ＋δＡ＝a＋γa＝Ａｍ＋δ－γ（三）坐标方位角的推算1．正、反坐标方位角每条直线段都有两个端点，若直线段从起点1到终点2为直线的前进方向，则在起点1处的坐标方位角a12称为直线12的正方位角，在终点2处的坐标方位角a21称为直线12的反方位角。

a反=a正±180°式中，当a正＜180°时，上式用加180°；当a正＞180°时，上式用减180°。

2．坐标方位角的推算实际工作中并不需要测定每条直线的坐标方位角，而是通过与已知坐标方位角的直线连测后，推算出各直线的坐标方位角。

角度计算和坐标计算

角度计算和坐标计算

基本计算1直线定向和坐标推算一、直线定向1、正、反方位角换算对直线AB而言，过始点A的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的夹角a AB是AB的正方位角，而过端点B的坐标纵轴平行线指北端顺时针至自线的夹角a BA的反方位角，同一条直线的正、反方位角相派180° .,即同一自线的下反方位角a AB=a BA+180上式右端，若a BA< 180°,用“ +”号，若a BA>180°,用“一”m 1-M树一直建的正反方位角2、象限角与方位角的换算一条直线的方向有时一也可用象限角表示，所谓象限角是揣从坐标纵轴的指北端或指南端起始，至直线的锐角，用R表示，取值范围为0° ~90°。

为了说明肖线所在的象限，在R前应加注直线所在象限的名称。

四个象限的名称分别为北东〔NE?南东(5E ),南酉(sw)、北西(NW)。

象限角和坐标方位角之间的换算公式列于表1-4。

Ji I 象电脂口力说俯*杲“藝址地尺。

方位阳比抉算合式■-.NE}JR第二第限0 Jgo•—左羽二象限（SW）a ,160*十尺■li ■NW^J =36O' _R3、坐标方位角的推算测量工作中一般不直接测定每条边的方向, 而是进行连测，推算出各边的坐标方位角设地而有相邻的A B C三点，连成折线（图1-17），已知AB边的方位角a AB,又测定了AB和BC之间的水平角B,求BC边的方位角气aBC即是相邻边坐标方位角的推算。

水平角B又有左、右之分,a BC=X AB+B 左+180°（1 一14）设三点相关位置如图1-17沪）所不，应有a BC=X AB+B 左+180°=a AB+B -180 °（1 一15）若按折线前进方向将AB视为后边，BC边视为前边，综合上二式即得相邻边坐标方位角推算的通式：a前=口后+B左士180°（ 1 —一16）显然，如果测定的是AB和BC方向之间的前进方向右侧水平角B 右，因为有B左=360° - B右。

坐标反算公式

坐标反算公式

坐标反算公式坐标反算是一种通过已知测点坐标和观测方位角、距离等数据，推算出未知测点坐标的数学计算方法。

坐标反算公式是根据测量原理和几何关系得出的数学表达式，它们可以用于测量工程、地理信息系统和导航定位等领域。

在坐标反算中，最常用的公式是三角形反算公式和方位角反算公式。

三角形反算公式是基于三角形相似原理推导出来的，它适用于通过已知测点坐标和观测距离、方位角来计算未知测点坐标的情况。

三角形反算公式可以分为正算和反算两种情况。

正算是已知测点坐标和测量数据，推算出未知测点坐标的过程。

其中，已知点坐标和测量数据通过正算公式进行计算，从而得到未知点的坐标。

反算是已知部分测点坐标和测量数据，推算出其他未知测点坐标的过程。

反算公式是用来求解未知测点坐标的公式，通过已知部分点的坐标和测量数据，通过反算公式推算出未知点的坐标。

三角形反算公式中常用的有正弦定理、余弦定理等。

这些公式通过三角函数的计算，可以根据已知测点和测距、方位角等数据，计算出未知点的坐标。

方位角反算公式是用来计算已知两点坐标时，求解两点之间的方位角的公式。

方位角是指从某一点指向另一点的水平方向与真北方向的夹角。

方位角反算公式可以通过正切函数的计算，根据已知点的坐标和两点之间的坐标差值，得到两点之间的方位角。

除了三角形反算公式和方位角反算公式，还有其他坐标反算公式，例如高程反算公式、大地坐标反算公式等，它们适用于不同的测量场景和问题。

坐标反算公式是测量学和地理学等领域中的基础知识和常用工具，它们方便了测量和定位的准确性和效率。

通过运用合适的坐标反算公式，人们可以更加准确地进行测距、定位、导航等工作，提升测量和定位技术的应用能力。