专题05函数的基本性质知识点

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1word版本可编辑.欢迎下载支持. 考点05 函数的基本性质

一、函数的单调性

1．函数单调性的定义

增函数 减函数

定义 一般地，设函数fx的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值1x，2x

当12xx时，都有12fxfx，那么就说函数fx在区间D上是增函数 当12xx时，都有12fxfx，那么就说函数fx在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看，图象是上升的

自左向右看，图象是下降的

设12,[,]xxab，12xx.若有1212()0[]xxfxfx或1212()()0fxfxxx，则()fx在闭区间[],ab上是增函数；若有1212()0[]xxfxfx或1212()()0fxfxxx，则()fx在闭区间[],ab上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.

2．单调区间的定义

若函数yfx在区间D上是增函数或减函数，则称函数yfx在这一区间上具有（严格的）单调性，文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

2word版本可编辑.欢迎下载支持. 区间D叫做函数fx的单调区间．

注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．

（3）“函数的单调区间是A”与“函数在区间B上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然BA.

（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数1yx分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．

3．函数单调性的常用结论

（1）若,fxgx均为区间A上的增(减)函数，则fxgx也是区间A上的增(减)函数；

（2）若0k，则kfx与fx的单调性相同；若0k，则kfx与fx的单调性相反；

（3）函数0yfxfx在公共定义域内与yfx，1()yfx的单调性相反；

（4）函数0yfxfx在公共定义域内与()yfx的单调性相同；

（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；

（6）一些重要函数的单调性：①1yxx的单调性：在,1和1,上单调递增，在1,0和0,1上单调递减；②byaxx（0a，0b）的单调性：在,ba和,ba上单调递增，在,0ba和0,ba上单调递减．

4．函数的最值

前提 设函数yfx的定义域为I，如果存在实数M满足

条件 （1）对于任意的xI，都有fxM；

（2）存在0xI，使得0fxM （3）对于任意的xI，都有fxM；

（4）存在0xI，使得0fxM 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

3word版本可编辑.欢迎下载支持. 结论 M为最大值 M为最小值

注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；

（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.

二、函数的奇偶性

1．函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性 定义 图象特点

偶函数 如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有fxfx，那么函数fx是偶函数 图象关于y轴对称

奇函数 如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有fxfx，那么函数fx是奇函数 图象关于原点对称

判断()fx与fx的关系时，也可以使用如下结论：如果0()fxfx或()1(()0)()fxfxfx，则函数fx为偶函数；如果0()fxfx或()1(()0)()fxfxfx，则函数fx为奇函数．

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，x也在定义域内（即定义域关于原点对称）．

2．函数奇偶性的几个重要结论

（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

（2）()fx，()gx在它们的公共定义域上有下面的结论：

()fx ()gx ()()fxgx ()()fxgx ()()fxgx (())fgx

偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数

偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

4word版本可编辑.欢迎下载支持. 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数

奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数

（3）若奇函数的定义域包括0，则00f．

（4）若函数fx是偶函数，则fxfxfx．

（5）定义在,上的任意函数fx都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．

（6）若函数yfx的定义域关于原点对称，则fxfx为偶函数，fxfx为奇函数，fxfx为偶函数．

（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：

①函数xxfxaa为偶函数，函数xxfxaa为奇函数．

②函数2211xxxxxxaaafxaaa（0a且1a）为奇函数．

③函数1log1axfxx（0a且1a）为奇函数．

④函数2log1afxxx（0a且1a）为奇函数．

三、函数的周期性

1．周期函数

对于函数yfx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有fxTfx，那么就称函数yfx为周期函数，称T为这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做fx的最小正周期（若不特别说明，T一般都是指最小正周期）.

注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.

3．函数周期性的常用结论

设函数yfx，0xaR，.

①若()()fxafxa，则函数的周期为2a； 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

5word版本可编辑.欢迎下载支持. ②若()fxafx，则函数的周期为2a；

③若1()()axfxf，则函数的周期为2a；

④若1()()faxxf，则函数的周期为2a；

⑤函数fx关于直线xa与xb对称，那么函数fx的周期为2||ba ；

⑥若函数fx关于点,0a对称，又关于点,0b对称，则函数fx的周期是2||ba；

⑦若函数fx关于直线xa对称，又关于点,0b对称，则函数fx的周期是4||ba；

⑧若函数fx是偶函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为2a；

⑨若函数fx是奇函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为4a.

1．（2017浙江）若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M –

m

A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关

2．（2017新课标全国Ⅰ理科）函数()fx在(,)单调递减，且为奇函数．若(11)f，则满足21()1xf的x的取值范围是

A．[2,2] B．[1,1]

C．[0,4] D．[1,3]

3．（2017北京理科）已知函数1()3()3xxfx，则()fx

A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数

4．（2017天津理科）已知奇函数()fx在R上是增函数，()()gxxfx．若2(log5.1)ag，0.8(2)bg，(3)cg，则a，b，c的大小关系为

A．abc B．cba

C．bac D．bca

5．（2016山东理科）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，3()1fxx；当11x时，()()fxfx；文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

6word版本可编辑.欢迎下载支持. 当12x时，11()()22fxfx.则f(6)=

A．−2 B．−1

C．0 D．2