直线和圆锥曲线相交弦长问题

=
二.双曲线：
设直线与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K,则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
=
三.抛物线：
(1)核心弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的核心弦,则
同理 的核心弦长为
的核心弦长为 ,所以抛物线的核心弦长为
由以上三种情形可知应用直线竖直角求过核心的弦长,异常简略明白,应予以控制.
圆锥曲线的弦长公式
一.椭圆：
设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K,则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
则 ,由余弦定理可得 , ,
整顿可得,
是以核心在x轴的核心弦长为
同理可得核心在y轴上的核心弦长公式
个中a为实半轴,b为虚半轴,c为半焦距, 为AB的竖直角.
三. 抛物线的核心弦长
若抛物线 与过核心 的直线 订交于两点 ,若 的竖直角为 ,求弦长|AB|.（图4）
解：过A.B两点分离向x轴作垂线AA1.BB1,A1.B1为垂足, ,则点A的横坐标为 ,点B横坐标为 ,由抛物线定
设双曲线 个中两核心坐标为 ,过F1的直线 的竖直角为 ,交双曲线于两点 求弦长|AB|.
解：（1）当 时,（如图2）
直线 与双曲线的两个交点A.B在统一支上,连 ,设 ,由双曲线界说可得 ,由余弦定理可得
整顿可得 , ,则可求得弦长
（2） ,如图3,
直线 与双曲线交点 在两支上,连F2A,F2B,设
|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin² ）{ 为弦AB的竖直角}

由直线 l 与双曲线交于不同的两点得
1-3 2 ≠ 0,
= (-6 2k)2 + 36(1-3 2 ) = 36(1- 2 ) > 0,
1
3
故 k2≠ 且 k 2<1.①
6 2k
-9
1-3
1-32
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=
2,x1x2=
.
由·>2 得 x1x2+y1y2>2.
直线与圆锥曲线的位置关系
目录
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1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法
(1)代数法,把圆锥曲线方程与直线方程联立消去 y,整理得出关于 x 的
方程 Ax2+Bx+C=0,若圆锥曲线是双曲线或是抛物线,当 A=0 时,表示直线与
双曲线的渐近线或抛物线的轴平行;当 A≠0 时,记该一元二次方程根的判
别式为 Δ.(ⅰ)若 Δ>0 时,直线与圆锥曲线相交;(ⅱ)若 Δ=0 时,直线与圆锥曲
截的线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲
线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点差
法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直
平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式 Δ 是否
为正数.
4.圆锥曲线的定值、最值、存在性问题很大一部分是利用等价转化思
B. -∞,-
2
2
∪
2
,+
2
∞
C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞)
D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞)
)
【答案】D
4

得 y1 - y2 = k(x1 - x2 ） 或 x1 - x2 = (y1 - y2 ） /k
分别代入两点间的距离公式：
|AB| = √[(x1- x2 ） ^2; + (y1 - y2 ） ^2; ]
图像为双曲线。
、 b、 c 不都是零 .
2. b^2 - 4ac > 0.
^2+b^2=c^2
在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于
x， y 轴对称的情形。这时双曲线的
方程退化为： x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.
上述的四个定义是等价的，并且根据建好的前后位置判断图像关于
公式三
d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2- 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| =
√ (1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]
关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线
y=kx+b 代入 曲线方程 ，化为关于
x(或关于 y)的 一元二次方程 ，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式
在知道圆和直线方程求弦长时， 可利用方法二， 将直线方程代入圆方程， 消去一未知数，
得到一个一元二次方程，其中 △ 为一元二次方程中的 b^2 ： -4ac ， a 为二次项系数。
补遗：公式 2 符合椭圆等圆锥曲线 不光是圆。公式 /|a| 是在整个平方根运算后再进行
的 ……（先开平方了然后再除）
2 式可以由 1 推出，很简单，由韦达定理， x1+x2=-b/a x1x2=c/a 带入再通分即可 …… 在知道圆和直线方程求弦长时也可以用勾股定理（点到直线距离、半径、半弦）。

−
，两式相减得

+ −

+
−
+
=
+
−

=

− ，故

=

−

=
知识梳理·基础回归
知识点3：点差法

（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线

, ，则 =
= 1，①
= 1②
①-②得
1 +2 1 −2
16
+
1 +2 1 −2
12
= 0，
−
3
1
2
∵ 1 + 2 = 4，1 + 2 = 2，∴ = − = − 2，
1
∴此弦所在的直线方程为 − 1 =
【方法技巧】
点差法
3
− (
2
2
− 2)，即3 + 2 − 8 = 0．
2

2
2
【解析】当 ≥ 0时，曲线 −
= 1，即 − =
9
4
9
4
3
一条渐近线方程为： = 2 ，直线与渐近线平行；
当 <
2
0时，曲线
9

−
4
=
2
1，即
9
2
+
4
画出曲线和直线的图像，如图所示：
根据图像知有2个公共点．
故选：B
1，双曲线右半部分；
= 1，椭圆的左半部分；
）．
题型突破·考法探究
16
弦所在的直线方程为
2
+
12