【中小学资料】备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题57 直线与圆锥曲线的位置关系之焦点弦、焦点三

中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 专题57 直线与圆锥曲线的位置关系之焦点弦、焦点三角形问题

考纲要求:

1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．

2.了解圆锥曲线的简单应用．

3.理解数形结合的思想．

基础知识回顾:

1．直线与圆锥曲线的位置关系

(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点.

(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.

由 Ax＋By＋C＝0，fx，y＝0，消元．(如消去y)得ax2＋bx＋c＝0.

①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．

②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.

a．当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；

b．当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；

c．当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点．

2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：

|P1P2|＝＋k2x1＋x22－4x1x2]＝1＋k2·|x1－x2|＝ ＋1k2y1＋y22－4y1y2]＝ 1＋1k2|y1－y2|

(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用坐标轴上两点间距离公式)．

应用举例:

类型一 椭圆的焦点三角形

【例1】【2018届福建省福州市闽侯第六中学高三上期中】已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为22e，且椭圆上一点M与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为422. 中小学最新教育资料

中小学最新教育资料

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，设点D为椭圆上任意一点，直线ym和椭圆C交于,AB两点，且直线,DADB与y轴分别交于,PQ两点，求证： 121290PFFQFF.

【答案】(1) 22142xy;(2)详见解析.

中小学最新教育资料

中小学最新教育资料

∴01010101011201tanxyyxxxxyyxPFFccxx

01011201tanxyyxQFFcxx

∴22220101010101011212222010101tantanxyyxxyyxxyyxPFFQFFcxxcxxcxx 中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 222201220101222201012222211122xxxxxxxxxx

∴12PFF与12QFF互余，

∴121290PFFQFF

【例2】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.

(1)求椭圆离心率的范围；

(2)求证△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．

点评：1.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中：

①当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；

②S＝b2tanθ2＝c||y0，当||y0＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.

2.椭圆的焦点三角形是描述椭圆的焦距、焦半径之间的相互制约关系的一个载体．由于其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩．

类型二 椭圆的焦点弦 中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 【例3】【江苏省南京市2017届高三上学情调研】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设PF1→＝λF1Q→．

（1）若点P的坐标为 (1，32)，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；

（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[12，22]，求实数λ的取值范围．

【答案】（1）x24＋y23＝1；（2）[73，5]．

（2）方法一：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．设Q(x1，y1)． x O y

P

F1

F2 Q 中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 因为P在椭圆上，所以c2a2＋y20b2＝1，解得y0＝b2a，即P(c，b2a)． …………………… 7分

方法二：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．

因为P在椭圆上，所以c2a2＋y20b2＝1，解得y0＝b2a，即P(c，b2a)． …………………… 7分

因为F1(－c，0)，故直线PF1的方程为y＝b22ac(x＋c)．

由y＝b22ac(x＋c)，x2a2＋y2b2＝1，得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0．

因为直线PF1与椭圆有一个交点为P(c，b2a)．设Q(x1，y1)，

则x1＋c＝－2b2c4c2＋b2，即－c－x1＝2b2c4c2＋b2． …………………… 11分

因为PF1→＝λF1Q→，

所以λ＝2c－c－x1＝4c2＋b2b2＝3c2＋a2a2－c2＝＝3e2＋11－e2＝41－e2－3． …………………… 14分

因为e∈[12，22]，所以14≤e2≤12，即73≤λ≤5．

所以λ的取值范围为[73，5]． …………………… 16分

【例4】设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 |AF1|＝3|F1B|.

(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；

(2)若cos∠AF2B＝35，求椭圆E的离心率．

点评：(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝1＋1k2[（y1＋y2）2－4y1y2](k为直线斜率)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略对判别式的判断．

7．椭圆中几个常用的结论：

(1)焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝||PF1，r2＝||PF2.

①x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；

②y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；

③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．

(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝2b2a.

(3)AB为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 ①弦长l＝1＋k2||x1－x2＝1＋1k2|y1－y2|；

②直线AB的斜率kAB＝－b2x0a2y0.

类型三 抛物线焦点弦问题

【例5】【2018届河南省安阳市第三十五中学高三上学期开学】设为抛物线的焦点，过且倾斜角为60°的直线交曲线于两点（点在第一象限，点在第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则与的比为（ ）

A. B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【例6】设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：

(1)若点A，B在准线上的射影分别为M，N，则∠MFN＝90°；

(2)取MN的中点R，则∠ARB＝90°；

(3)以MN为直径的圆必与直线AB相切于点F；

(4)若经过点A和抛物线顶点O的直线交准线于点Q，则BQ平行于抛物线的对称轴．

解析：证明：(1)由抛物线的定义知|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|，∴∠AMF＝∠AFM，∠BNF＝∠BFN.

∵AM∥x轴，BN∥x轴，

∴∠AMF＝∠KFM，∠BNF＝∠KFN.

∴∠MFN＝∠KFM＋∠KFN 中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 ＝12(∠KFA＋∠KFB)＝90°.

(3)∵∠MFN＝90°，∴F在以MN为直径的圆上．

∵|AF|＝|AM|，|MR|＝|FR|，

∴∠MFA＝∠AMF，∠MFR＝∠FMR.

∴∠AFR＝∠MFA＋∠MFR＝∠AMF＋∠FMR＝90°，即RF⊥AB，F为垂足．

因此，以MN为直径的圆必与直线AB相切于点F.

(4)易知直线AO的方程为y＝y1x1x，则Q－p2，－py12x1.∵y1y2＝－p2，

∴－py12x1＝－p2·y1y212p＝－p2y1＝y2，

于是Q－p2，y2与点N重合．因此，BQ平行于x轴，即BQ平行于抛物线的对称轴．

点评：1.例1小结了抛物线的焦点弦的有关性质，当抛物线的坐标方程形式发生变化时，性质(3)、(4)不变，性质(1)、(2)略有变化，如对于抛物线x2＝2py，性质(1)应为|AB|＝y1＋y2＋p，性质(2)应为x1x2中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 ＝－p2，y1y2＝p24，其余情况可自行推导．两道例题分别从数与形的角度描述了抛物线的某些性质．

2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，要看到焦点想准线(看到准线想焦点)，优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．

3．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

类型四 双曲线的焦点弦与焦点三角形

【例7】过双曲线C：x24－y29＝1的左焦点作倾斜角为π6的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是( )

A．没有交点

B．只有一个交点

C．有两个交点且都在左支上

D．有两个交点分别在左、右两支上

解析：直线l的方程为y＝33(x＋13)，代入C：x24－y29＝1整理，得23x2－813x－160＝0，Δ＝(－813)2＋4×23×160>0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上．

【例8】设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|＝43|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )