天津市静海县第四中学高中数学 3.1.2二倍角的正弦、余弦和正切(一)学案 新人教A版必修4

1 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

学习目标：1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．

2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运

学习重点：会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式

学习难点：能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换

一．知识导学：

(1)S2α：sin 2α＝__________，sin α

2cos α

2________________ ；

(2)C2α：cos 2α＝ _____________ ＝______________ ＝ ______________ ；

(3)T2α：tan 2α＝ __________________ .

二．探究与发现

【探究点一】二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导

问题1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前

面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式

吗？试一试？

问题2 根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos

2α？

【探究点二】余弦的二倍角公式的变形形式及应用

二倍角的余弦公式cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α变形较多，应用灵活．其

中sin2α＝1－cos 2α

2，cos2α＝1＋cos 2α

2称作降幂公式，1－cos α

2＝sin2α

2，1＋cos α

2＝

cos2α

2称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用．

练习1：函数f(x)＝3sin xcos x＋cos2x－1

2的最小正周期是________．

2 【探究点三】三倍角公式的推导

因为3α＝2α＋α，可以借助二倍角公式推导出三倍角公式．请完成三倍角公式的证明：

(1)sin 3α＝3sin α－4sin3α；(2)cos 3α＝4cos3α－3cos α.

§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式

（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，

sinsincoscossin；

coscoscossinsin；

tantantan1tantan．

我们由此能否得到sin2,cos2,tan2的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），

（二）公式推导：

sin2sinsincoscossin2sincos；

22cos2coscoscossinsincossin；

思考：把上述关于cos2的式子能否变成只含有sin或cos形式的式子呢？22222cos2cossin1sinsin12sin；

22222cos2cossincos(1cos)2cos1．

2tantan2tantan2tan1tantan1tan．

注意： 2,22kkkz

（三）例题讲解

例1、已知5sin2,,1342求sin4,cos4,tan4的值．

解：由,42得22．

又因为5sin2,1322512cos21sin211313． 于是512120sin42sin2cos221313169；

225119cos412sin21213169；120sin4120169tan4119cos4119169．

例２、已知1tan2,3求tan的值．

解：22tan1tan21tan3，由此得2tan6tan10

解得tan25或tan25．

第三章 3.1.3 二倍角的正弦余弦正切公式

【学习目标】

1、以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；

2、二倍角的理解及其灵活运用.

【学习重点】

1、二倍角的理解及其灵活运用.

【基础知识】

（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，

sinsincoscossin；

coscoscossinsin；

tantantan1tantan．

我们由此能否得到sin2,cos2,tan2的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），

（二）公式推导：

sin2sinsincoscossin2sincos；

22cos2coscoscossinsincossin；

思考：把上述关于cos2的式子能否变成只含有sin或cos形式的式子呢？22222cos2cossin1sinsin12sin；

22222cos2cossincos(1cos)2cos1．

2tantan2tantan2tan1tantan1tan．

注意：2,22kk kz

【例题讲解】

例1 已知5sin2,,1342求sin4,cos4,tan4的值．

例２ 已知1tan2,3求tan的值．

点评．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形：

（1）21sin(sincos)22；

（2）角的变换()；

（3）22sincossin()abab.

2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：

§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式

一、教学目标

以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推

导过程，掌握其应用.

二、教学重、难点

教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；

教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.

三、学法与教学用具

学法：研讨式教学

四、教学设想：

（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，



sinsincoscossin



；



coscoscossinsin



；

tantan

tan

1tantan







．

我们由此能否得到sin2,cos2,tan2

的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中



看成

即可），

（二）公式推导：



sin2sinsincoscossin2sincos



；



22

cos2coscoscossinsincossin



；

思考：把上述关于cos2

的式子能否变成只含有sin

或cos

形式的式子呢？

22222

cos2cossin1sinsin12sin



；

22222

cos2cossincos(1cos)2cos1



．



2tantan2tan

tan2tan

1tantan1tan







．注意：

2,

22kk





kz

（三）例题讲解

例1、已知5

sin2,,

1342





求sin4,cos4,tan4

的值．解：由,

42



得2

2





．又因为5

sin2,

132

2512

cos21sin21

1313





．于是512120

sin42sin2cos22

1313169





；

2

25119

cos412sin212

13169