一、选择题1．直线y kx b =+与曲线()y f x =相切也与曲线()y g x =相切，则称直线y kx b =+为曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线，已知()x f x e =，()ln 2g x x =+，直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则直线l 的方程为（ ） A ．1y x e=或1y x =- B ．y ex =-或1y x =-- C ．y ex =或1y x =+D ．1y x e=-或1y x =-+ 2．函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A ．'(3)'(4)(4)(3)f f f f <<-B ．'(4)(4)(3)'(3)f f f f <-<C ．'(4)'(3)(4)(3)f f f f <<-D ．(4)(3)'(4)'(3)f f f f -<<3．曲线()33ln y x x x =-⋅在点(1,0)处的切线方程为（ ）A ．220x y +-=B ．210x y +-=C ．10x y +-=D ．440x y +-=4．已知曲线()2ln f x a x x=-在1x =处的切线与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为256，则正数a 的值为（ ） A ．1B 2C ．2D ．45．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ） A ．2B ．－1C ．1D ．－26．设函数()()431f x x a x a =+-+．若()f x 为偶函数，则()f x 在1x =处的切线方程为（ ） A ．54y x =-B ．53y x =-C ．42y x =-D ．43y x =-7．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ） A ．20162017B ．20172018C ．20182019D ．201920208．已知函数32(),3x f x x x m m R =+-+∈，2()45g x x x =-+，若直线2y x a =+与两函数的图象均相切，则m =（ ）A ．233-或13- B ．3-或7- C ．73-或7- D ．73-或13- 9．设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ） A ．-4B ．14-C ．14D ．410．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（ ）. A ．1B ．2C ．2D ．2211．设函数sin cos y x x x =+的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，记()0k g x =，则函数()k g x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．设21sin x y x-=，则'y =A ．()222sin 1cos sin x x x xx--- B ．()222sin 1cos sin x x x xx-+-C ．()22sin 1sin x x x x-+-D ．()22sin 1sin x x x x---二、填空题13．不等式()()2222ln 1b a b a m m --+--≥-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对任意0,b a >∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是_________.14．若函数()ln f x x =与函数()()2g 2ln 0x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是________.15．若存在两条直线()1212,y ax b y ax b b b =+=+≠都是曲线()1ln 0y a x a x=+≠的切线则实数a 的取值范围是（_____） 16．已知1()2(1)f x xf x=+'，则(2)f '=______． 17．已知曲线313y x =上一点82,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 的曲线的切线方程为________. 18．已知函数y=f （x ）的图象在点M （2，f （2））处的切线方程是y=x+4，则f （2）+f′（2）=__．19．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '+的值为__________．20．已知2()2(1)f x x xf =+'，则'(1)f _______三、解答题21．已知函数()24ln 23f x x x ax =-+.（1）当1a =时，求()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()()3g x f x ax m =-+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围.22．（Ⅰ）求下列各函数的导数：（1）y x x =（2）2sin x y x=；（Ⅱ）过原点O 作函数f （x ）＝lnx 的切线，求该切线方程．23．已知函数24(),(1)2,'(1)13f x ax ax b f f =-+==； (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．24．定义在R 上的函数()()313,3f x x cx f x =++在0x =处的切线与直线2y x =+垂直. （1）求函数()y f x =的解析式； （2）设()()4ln g x x f x =-'，（其中f x 是函数()f x 的导函数），求()g x 的极值.25．已知函数()x f x xe =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1x =处的切线方程. 26．已知函数3()f x x x=-． （1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】首先设出切点坐标，根据导数的几何意义列出等量关系，解出切点坐标，从而得到切点方程. 【详解】设()f x ，()g x 的切点分别为11(,)xx e ，22(,ln 2)x x +，()x f x e '=，1()g x x'=. 所以121x x k e ==，即1221ln ln x x x ==-. 又因为122221221ln 2ln 2ln x x x e x k x x x x +-+-==-+，所以222221ln 21ln x x x x x +-=+. 整理得22(1)(ln 1)0x x -+=，解得：21x =或21x e=.所以()g x 的切点为(1,2)或1(,1)e ，1k =或e .切线为21y x -=-或11()y e x e-=-， 即：1y x =+或y ex =. 故选：C 【点睛】本题主要考查导数的切线问题，利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系进行转化为解题的关键，属于中档题.2．B解析：B 【分析】根据导数的几何意义结合图象即可判断. 【详解】解：由函数图象可知，函数单调递增，但函数的增长速度越来越缓慢，由导数的几何意义可知，()3f '表示函数在3x =处的切线l 的斜率；()4f '表示函数在4x =处的切线m 的斜率；()()()()434343f f f f --=-表示函数图象上()()3,3f 与()()4,4f 两点连线n 的斜率，由图可知l n m k k k >>，故(4)(4)(3)(3)f f f f ''<-< 故选：B【点睛】本题考查了学生的作图能力及对导数的几何意义的理解，属于基础题．3．A解析：A【分析】求导得到()()23133ln 3y x x x x x'=-⋅+⋅-，代入数据计算斜率得到答案. 【详解】()()23133ln 3y x x x x x'=-⋅+⋅-，故切线斜率12x k y ='==- 故所求切线方程为2(1)y x =--，即220x y +-= 故选：A . 【点睛】本题考查了曲线的切线方程，意在考查学生的计算能力.4．A解析：A 【分析】根据导数的几何意义，求出曲线在在x ＝1处的切线方程，进而可知点A ，B 的坐标，因此由△OAB 的面积为256，列出方程，即可解出a ． 【详解】 因为()'fx 22a x x=+，所以k ＝()'1f ＝a +2，而f （1）＝﹣2， 故切线方程为：y +2＝（a +2）（x ﹣1），由此可得点A （42a a ++，0），B （0，﹣4﹣a ）．由于a ＞0， S △OAB 12=⨯|﹣4﹣a |×|42a a ++|256=，化简得，3a 2﹣a ﹣2＝0，解得a ＝1． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，求出切线方程即可表示出△OAB 的面积．5．A解析：A 【解析】 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案． 【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)， 则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =，又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+，所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x x b =-+， 把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =， 所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．C解析：C 【分析】由奇偶性求得1a =，可得函数()f x 的解析式，求出()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程. 【详解】因为函数()()431f x x a x a =+-+为偶函数，所以()()f x f x -=，可得()3210a x -=，可得1a =，所以函数()41f x x =+，可得()34f x x '=，()12f =；曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为()'14f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程为：()241y x -=-．即42y x =-． 故选C ． 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.7．D解析：D 【分析】根据切线斜率可求得b ；进而可得到()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的通项公式，采用裂项相消法求得数列的前2019项的和.【详解】由题意得：()2f x x b '=+ ()123f b '∴=+=，解得：1b =()2f n n n ∴=+ ()()21111111f n n n n n n n ∴===-+++ 2019111111112019112233420192019120202020S ∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+本题正确选项：D 【点睛】本题考查裂项相消法求数列前n 项和的问题，关键是能够利用导数的几何意义求得数列的通项公式.8．D解析：D 【分析】先根据直线和()245g x x x =-+的图像相切，求出a=-4,再根据直线和()323x f x x x m =+-+相切求出切点P (1,2)-或(3,10)--.把点P (1,2)-和(3,10)--代入曲线方程即得m 的值. 【详解】联立2y x a =+与2()45g x x x =-+得2650,x x a -+-=364(5)0,a 4a ∴∆=--=∴=-,所以直线方程为y=2x-4,由题得2()21,f x x x '=+-设切点P 坐标为00,)x y （， 所以20000()21=21f x x x x '=+-∴=，或-3,所以切点P (1,2)-或(3,10)--.把点P (1,2)-和(3,10)--代入()323xf x x x m =+-+得m=73-或13-.故选D 【点睛】本题主要考查直线和曲线相切，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．D解析：D 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值． 【详解】解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=，∴2'|4x y ==-，又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，∴4a -=-，即4a =． 故选D ． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．10．C解析：C 【分析】设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案． 【详解】设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方． 对函数ln y x =求导得1y x'=，令1y '=，得1x =， 所以，曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10，， 该点到直线l的距离为 因此，()()22a c b d -+-的最小值为22＝． 故选C ．【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．11．A解析：A 【详解】因为sin cos ,sin cos sin cos y x x x y x x x x x x '=+=+-=， 则()cos g x x x =，该函数为奇函数，排除B 、C ， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0>g x ，排除D. 故选:A12．A解析：A【分析】利用导数的四则运算法则，结合初等基本函数的求导公式可得出其导函数，从而可得结果. 【详解】()()2221sin 1(sin )()sin x x x x fx x'''---⋅=()222sin 1cos sin x x x xx---=,故选A.【点睛】本题主要考查导数的运算法则与求导公式，考查了计算能力，解题关键在于掌握导数的四则运算法则，属于基础题.二、填空题13．【分析】设可得又分别在曲线及直线：上计算可得在点处的切线与直线平行求出点到直线的距离即最小值为进而解不等式即可【详解】由题意设则即又分别在曲线及直线：上且令解得且所以在点处的切线与直线平行又点到直线 解析：[]1,2-【分析】设(),ln P b b ，()2,1Q a a --，可得22PQ m m ≥-，又P ，Q 分别在曲线()ln f x x=及直线l ：1y x =+上，计算可得()f x 在点1,0P 处的切线与直线l 平行，求出点P 到直线l 的距离d ，即PQ 最小值为d ，进而解不等式22m m -≤即可. 【详解】由题意，设(),ln P b b ，()2,1Q a a --，则()()2222ln 1PQ b a b a =--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即22PQ m m ≥-，又P ，Q 分别在曲线()ln f x x =及直线l ：1y x =+上，且()1f x x'=， 令11x=，解得1x =，且()10f =，所以()f x 在点1,0P 处的切线与直线l 平行，又点P 到直线l 的距离为d ==，所以PQ所以22m m -≤，解得12m -≤≤. 故答案为：[]1,2-. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.14．【解析】【分析】分别求出导数设出各自曲线上的切点得到切线的斜率结合切点满足曲线方程再设出两条切线方程变形为斜截式从而根据切线相同则系数相等可得切点坐标的关系式整理得到关于一个坐标变量的方程借助于函数 解析：1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】 【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，结合切点满足曲线方程，再设出两条切线方程，变形为斜截式，从而根据切线相同则系数相等，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a 的范围． 【详解】1(),()22f x g x x x''==+，设切点分别是()()211222,ln ,,2ln x x x x x a ++， 所以切线方程分别为：()()()()211222211ln ,2ln 22y x x x y x x a x x x x -=--++=+-， 化简为()()212211ln 1,22ln y x x y x x x a x =+-=+-+， 所以21212122ln 1ln x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩消1x ，得()222ln ln 221a x x =-+-， 令2()ln(22)1,(10)f x x x x =-+--<<，1()201f x x x '=-<+， 所以f (x )在(1,0)-单调递减，(0)ln 21,(1)f f =---→+∞，ln 21y >--，故ln ln 21a >--，解得12a e>. 所以本题答案为1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】可导函数y =f (x )在0x x =处的导数就是曲线y =f (x )在0x x =处的切线斜率，这就是导数的几何意义，在利用导数的几何意义求曲线切线方程时，要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，已知y =f (x )在0x x =处的切线是()()()000y f x f x x x '-=-，若求曲线y =f (x )过点(m ，n )的切线，应先设出切点()()00,x f x ，把(m ，n )代入()()()000y f x f x x x '-=-，求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再根据两直线方程系数成比例得到一个关于坐标变量的方程组即可.15．【解析】【分析】先令由题意将问题转化为至少有两个不等式的正实根根据二次函数的性质结合函数的单调性即可得出结果【详解】令由存在两条直线都是曲线的切线可得至少有两个不等式的正实根即有两个不等式的正实根且解析：()4,+∞【解析】 【分析】 先令()1()ln 0f x a x a x =+≠，由题意，将问题转化为21()a f x a x x'=-=至少有两个不等式的正实根，根据二次函数的性质结合函数的单调性，即可得出结果. 【详解】 令()1()ln 0f x a x a x=+≠， 由存在两条直线()1212,y ax b y ax b b b =+=+≠都是曲线()1ln 0y a x a x=+≠的切线，可得21()a f x a x x'=-=至少有两个不等式的正实根，即210ax ax -+=有两个不等式的正实根，且两根记作12,x x ，所以有212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >， 又当4a >时，曲线()1()ln 0f x a x a x=+≠在点11(,())x f x ，22(,())x f x 处的切线分别为11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-，令()()(0)F x f x ax x =->，由()()0F x f x a ''=-=得12,x x x x ==（不妨设12x x <），且当12x x x <<时，()0F x '>，即函数()F x 在[]12,x x 上是单调函数，所以12()()F x F x ≠，所以直线11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-是曲线()1()ln 0f x a x a x=+≠的两条不同的切线，所以实数a 的取值范围是(4,)+∞. 故答案为(4,)+∞ 【点睛】本题主要考查由曲线的切线方程求参数的问题，熟记导数的几何意义、灵活掌握用导数研究函数单调性的方法即可，属于常考题型.16．【解析】【分析】先求导再求和【详解】由题得所以故答案为：【点睛】（1）本题主要考查导数的求法意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力(2)解答本题的关键是求在求导时知道它是一个常数就可以了解析：74【解析】 【分析】先求导，再求()1f '和()2f '. 【详解】 由题得222111()2(1),(1)2(1),(1)1,()21f x f f f f f x x x =-+∴=-+∴=∴=-'''''+'，所以()2f '=17244-+=. 故答案为：74【点睛】（1）本题主要考查导数的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)解答本题的关键是求(1)f '，在求导时，知道它是一个常数就可以了.17．和【解析】【分析】设过点的切线与曲线相切于点然后根据曲线在点处切线的斜率列出切线方程根据切线过点求出切点坐标从而可求出切线方程【详解】设过点的切线与曲线相切于点曲线在点处切线斜率为可得切线的方程为代解析：123160x y --=和3320x y -+= 【解析】 【分析】设过点P 的切线与曲线()y f x =相切于点R ，然后根据曲线()y f x =在点R 处切线的斜率列出切线方程，根据切线过点82,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出切点坐标，从而可求出切线方程． 【详解】()2f x x '=，设过点P 的切线与曲线()y f x =相切于点313R m m ⎛⎫⎪⎝⎭，，曲线()y f x =在点R 处切线斜率为2m ， 可得切线的方程为()3213y m m x m -=-，代入点P ， 可得()321 3238m m m -=-，解得，2m =或1m =-，故切点R 分别为82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭和11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点P 的切线方程为()8423y x -=-或311y x +=+，所以过点P 的切线方程有两条：123160x y --=和3320x y -+=． 故答案为123160x y --=和3320x y -+= 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了计算能力和转化的思想，解曲线的切线问题要特别注意是“在”还是“过”点，属于中档题．18．7【解析】分析：运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率可得再由切点在切线上可得进而得到所求值详解：的图象在点处的切线方程是可得则所以答案是点睛：该题考查的是有关导数的几何解析：7 【解析】分析：运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得'(2)1f =，再由切点在切线上，可得(2)6f =，进而得到所求值.详解：()y f x =的图象在点(2,(2))M f 处的切线方程是4y x =+，可得(2)246f =+=，'(2)1f =，则(2)'(2)617f f +=+=，所以答案是7.点睛：该题考查的是有关导数的几何意义，利用函数在某点处的导数等于该点处切线的斜率，再者就是切点在切线上，从而求得结果.19．【解析】分析：利用导数的几何意义求出再利用切点在切线上求出详解：由题意得则点睛：1解决本题时要注意切点既在曲线上又在切线上学生往往忽视点在切线上；2利用导数的几何意义求曲线的切线时要注意区分曲线在某 解析：1-【解析】分析：利用导数的几何意义求出()4f '，再利用切点在切线上求出()4f ． 详解：由题意，得(4)2f '=-，(4)2491f =-⨯+=，则(4)(4)1f f '+=-．点睛：1.解决本题时，要注意切点既在曲线上，又在切线上，学生往往忽视“点在切线上”；2.利用导数的几何意义求曲线的切线时，要注意区分“曲线在某点处的切线”和 “曲线过某点的切线”的不同．20．【解析】求导得：把代入得：解得故答案为 解析：2-【解析】求导得：()()221f x x f '=+'，把1x =代入得：()()1221f f '=+'，解得()12f '=-，故答案为2-.三、解答题21．（1）32y x =-；（2）222,4e m ⎛⎤∈+ ⎥⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）根据切线的几何意义得到()'13f =，()11f =，根据点斜式可得到方程；（2）根据题意研究函数()g x 的单调性，从而得到函数的图像的变化趋势，寻求和x 轴的交点个数即可。
