2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第4课时)知识过关检测 理 新人教A版

[例1]
已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
[自主解答]
(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝k－1. f(x)与f′(x)的情况如下： x f′(x) f(x) (－∞，k－1) － k－1 0 －ek－1 (k－1，＋∞) ＋
答案：0
5．圆柱形饮料罐容积为V，当底面半径为________时，才 能使所用材料最省．
V 解析：设底面半径为r，则高h＝ 2，表面积设为S， πr V 2V 2 则S＝2πr ＋2πr· 2＝2πr ＋ r ， πr
2
3 V 2V 又S′＝4πr－ 2 ，令S′＝0，得r＝ ， r 2π
当0<r<
(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的
取值范围． 解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
∵f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)， 若x＝0，则f′(x)＝0； 若x<0，则1－ex>0，所以f′(x)<0；
若x>0，则1－ex<0，所以f′(x)<0.
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增 区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递 增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k； 当0<k－1<1，即1<k<2时， 由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调 递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1； 当k－1≥1时，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递 减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.

课时作业4 函数及其表示一、选择题1．下列四个命题中正确命题的个数是( )．①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －3＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2(x ≥0)，－x 2(x ＜0)的图象是抛物线． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．下列各组函数f (x )与g (x )相同的是( )．A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2C ．f (x )＝x ，g (x )＝e ln xD ．f (x )＝|x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≤0，f (x －3)，x ＞0，则f (5)等于( )．A ．32B ．16C ．12D ．1324．已知函数f (x )满足2f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x 2，则f (x )的最小值是( )． A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．45．水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水速度如下图(1)(2)所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如下图(3)所示(至少打开一个水口)．给出以下三个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．其中一定正确的论断是( )．A ．① B．①② C．①③ D．①②③6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ≥1，x 2－2x －2，x ＜1，若f (x 0)＝1，则x 0等于( )． A ．－1或3 B ．2或3C ．－1或2D ．－1或2或37．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意的x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤1成立，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“亲密函数”，区间[a ，b ]称为“亲密区间”．若f (x )＝x 2＋x ＋2与g (x )＝2x ＋1在[a ，b ]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是( )．A ．[0,2]B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[－1,0]二、填空题8．(2012安徽合肥六中模拟)函数f (x )＝1x －3＋2x －4的定义域是__________． 9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，则使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是__________．10．设函数f 1(x )＝12x ，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2 014)))＝__________.三、解答题11．某市出租车起步价为5元，起步价内最大行驶里程为3 km ，以后3 km 内每1 km 加收1.5元，再超过3 km 后，每1 km 加收2元．(不足1 km 按1 km 计算)(1)写出出租车费用y 关于行驶里程x 的函数关系式；(2)求行程7.5 km 时的出租车费用．12．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥0，2－x ，x ＜0. (1)求f [g (2)]和g [f (2)]的值；(2)求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式．参考答案一、选择题1．A 解析：只有①正确，②函数定义域不能是空集，③图象是分布在一条直线上的一系列的点，④图象不是抛物线． 2．D 解析：A ，C 定义域不同，B 对应关系不同，故选D.3．C 解析：f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝2－1＝12，故选C. 4．B 解析：由2f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x 2，① 令①式中的x 变为1x 可得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＝3x 2.② 由①②可解得f (x )＝2x 2＋x 2，由于x 2＞0，因此由基本不等式可得f (x )＝2x 2＋x 2≥22x 2·x 2＝22，当x ＝142时取等号． 5．A 解析：由4点时水池水量为5可知打开一个进水口，故②不正确；4点到6点水池水量不变，也可能三个水口都打开，故③不正确．故选A.6．C 解析：∵f (x 0)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≥1，2x 0－3＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 02－2x 0－2＝1， 解得x 0＝2或x 0＝－1.7．B二、填空题8．[2,3)∪(3，＋∞) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧2x －4≥0，x －3≠0⇒x ∈[2,3)∪(3，＋∞)． 9．[－4,2] 解析：∵f (x )≥－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， ∴－4≤x ≤0或0＜x ≤2，即－4≤x ≤2. 10．12 014解析：f 1(f 2(f 3(2 014)))＝f 1(f 2(2 0142))＝f 1(2 014－2) ＝122((2 014))-＝12 014. 三、解答题11．解：(1)令[x ]表示不小于x 的最小整数，当0＜x ≤3时，y ＝5；当3＜x ≤6时，y ＝5＋1.5([x ]－3)；当x ＞6时，y ＝9.5＋2([x ]－6)．∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5，0＜x ≤3，1.5[x ]＋0.5，3＜x ≤6，2[x ]－2.5，x ＞6.(2)当x ＝7.5时，y ＝2[7.5]－2.5＝2×8－2.5＝13.5(元)．12．解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3，∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝2.(2)当x ≥0时，g (x )＝x －1，故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x ＜0时，g (x )＝2－x ，故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ≥0，x 2－4x ＋3，x ＜0. 当x ≥1或x ≤－1时，f (x )≥0，故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2；当－1＜x ＜1时，f (x )＜0，故g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2.∴g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≥1或x ≤－1，3－x 2，－1＜x ＜1.。

第二章 第4讲
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[变式探究] 23 [1 0·
杭模 州拟
1 ]若(a＋1)－ 2 < －2a)－ 3 (
1 2，则a的取值范围是________． 2 3 答案：(3，2)
第二章 第4讲
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第二章 第4讲
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例2 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函 数； (3)a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．
第二章 第4讲
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b 想一想：提示：当－ 在定义区间上时是函数的最 2a 值，否则就不是． 填一填：( 1 0 ) ≤a<4 2 ( )
第二章 第4讲
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形如：f(x)＝____________的函数叫做二次函数．
2. 二次函数的图象与性质
函数 图象 定义域 值域 单调性 最值 顶点 对称轴 R R __________ __________ 在__________上递减，在_________上递 在______上递增，在______上递减． 增. b b 当x＝－ 时，函数有最小值________ 当x＝－ 时，函数有最大值________ 2a 2a 2 b 4ac－b (－ ， ) 2a 4a b 函数的图象关于x＝－ 成轴对称 2a y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第2章《基本初等函数、导数及其应用》（第9课时）（新人教A 版）一、选择题1．(2011·高考某某卷)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M ()t ＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2()太贝克/年，则M ()60＝( )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克解析：选D.∵M ′()t ＝－130M 02－t30·ln 2，∴M ′()30＝－130×12M 0ln 2＝－10ln 2，∴M 0＝600. ∴M ()t ＝600×2－t30，∴M ()60＝600×2－2＝150()太贝克.2．国家规定某行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( )A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元解析：选D.设该公司的年收入为a 万元， 则280p %＋(a －280)(p ＋2)%＝a (p ＋0.25)%.解之得a ＝280×22－0.25＝320.3．(2013·某某调研)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处解析：选A.设仓库建在离车站x km 处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，根据已知数据可得k 1＝20，k 2＝0.8，两项费用之和y ＝20x＋0.8x ≥220x×0.8x ＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，故仓库应建在离车站5 km 处．4．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，则汽车离开A 地的距离x (千米)与时间t (小时)之间的函数表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝110tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t 0≤t ≤2.5150－5t t >3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t 0≤t ≤2.5150 2.5<t ≤3.5150－50t －3.53.5<t ≤6.5解析：选D.到达B 地需要15060＝2.5(小时)，所以当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ； 当2.5<t ≤3.5时，x ＝150；当3.5<t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)． 5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如右图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.由题图可知营运总利润y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润y x ＝－x －25x＋12，∵x ∈N *，∴y x≤－2x ·25x＋12＝2，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时取“＝”．∴x ＝5时营运的年平均利润最大． 二、填空题6．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元．解析：设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]，∴当x ＝95时，y 最大． 答案：957．司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车．(精确到1小时)解析：设x 小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/mL ，则有0.3·(34)x≤0.09，即(34)x≤0.3，估算或取对数计算得5小时后，可以开车． 答案：58．某种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价________． 解析：设商品原价为a ，应提价为x ， 则有a (1－10%)(1＋x )＝a ，∴x ＝11－10%－1＝109－1＝19≈11.11%.答案：11.11% 三、解答题 9.(2013·某某质检)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB ＝3米，AD ＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么X 围内？ (2)当DN 的长为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：(1)设DN 的长为x (x ＞0)米， 则AN ＝(x ＋2)米． ∵DN AN ＝DC AM ，∴AM ＝3x ＋2x，∴S AMPN ＝AN ·AM ＝3x ＋22x .由S AMPN ＞32，得3x ＋22x＞32，又x ＞0，得3x 2－20x ＋12＞0，解得：0＜x ＜23或x ＞6，即DN 的长的取值X 围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(6，＋∞)． (2)矩形花坛AMPN 的面积为y ＝3x ＋22x ＝3x 2＋12x ＋12x＝3x ＋12x＋12≥23x ·12x＋12＝24，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24.故DN 的长为2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米． 10．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值． 解：(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)．而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)法一：f ′(x )＝6－24003x ＋52.令f ′(x )＝0，即24003x ＋52＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0≤x <5时，f ′(x )<0； 当5<x ≤10时，f ′(x )>0. 故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．法二：f (x )＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－10≥28003x ＋5·23x ＋5－10＝70， 当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)，即x ＝5时，等号成立．∴当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．一、选择题1．(2013·某某质检)牛奶保鲜时间因储藏时温度不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度是一种指数函数型关系．若牛奶放在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是192 h ，而在22 ℃的厨房中则约是42 h ，则保鲜时间y (h)关于储藏温度x (℃)的函数解析式是( )A ．y ＝192·⎝ ⎛⎭⎪⎫32722xB ．y ＝192·⎝ ⎛⎭⎪⎫327x22C ．y ＝192·⎝ ⎛⎭⎪⎫73222xD ．y ＝192·⎝ ⎛⎭⎪⎫732x22解析：选D.设y ＝a ·b x.则由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧192＝a ·b42＝a ·b22，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝192b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫732122，∴y ＝192·⎝ ⎛⎭⎪⎫732x 22.2．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x 10]B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]解析：选B.由题意，当x ＝17时，A 选项错误，当x ＝16时，[x ＋410]＝2，[x ＋510]＝2，所以C 、D 选项错误，故选B.二、填空题3．某服装商贩同时卖出两套服装，卖出价为168元/套，以成本计算一套盈利20%，而另一套亏损20%，则此商贩________(赚或赔多少钱)．解析：设盈利的那套服装成本价为x ，则x ＋20%x ＝168，x ＝140元，设亏损的那套服装成本价为y ，则y －20%y ＝168，y ＝210元，所以商贩赔(210－168)－(168－140)＝14(元)．答案：赔14元4．(2013·某某调研)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5分钟后甲桶与乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8升，则m ＝________.解析：根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n，故18＝e 15n ，解得t ＝15，故m ＝15－5＝10.答案：10 三、解答题5．(2011·高考某某卷)如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向作匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1)P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；(2)其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值X 围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解：(1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v(3|v －c |＋10)． (2)由(1)知：当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝53c ＋10v－15；当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝510－3c v＋15.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧53c ＋10v－15，0<v ≤c ，510－3cv＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，y min ＝20－3c 2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v 的增函数，故当v ＝c 时，y min ＝50c.。