最新2019高考数学《导数及其应用》专题完整题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-(2008全国1理)D.由()3212211,','|,2,21121x x y y y a a x x x =+==+=-=--==---- 2．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 A ．4 B ．14-C ．2D ．12- （2009江西卷理） 二、填空题3．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f′(x )恒成立，则b 2a 2+c 2的最大值为 ▲ ．4．奇函数32()f x ax bx cx =++在1x =-处有极值，则3a b c ++的值为 ▲ ． 5．曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为________ 6．函数xe x a xf 32sin )(+=,若7)0('=f , 则a 的值是 ▲7．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和229y ax x =+-都相切，则a = ． 8．函数32()23121f x x x x =--++在区间[,1]m 上的最小值为－17，则m = 9．曲线()ln f x x x =在点1x =处的切线方程为 ▲ .10．若函数()2xf x e x k =--在R 上有两个零点，则实数k 的取值范围为_____________11．y=x 3+ax +1的一条切线方程为y =2x +1，则a = ．12．与直线2-=x y 平行且与曲线x x y ln 2-=相切的直线方程为 ▲ ．三、解答题13．已知函数()1ln ()f x x a x a R =--∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a 的值； （2）求证：0)(≥x f 恒成立的充要条件是1a =；（3）若0a <，且对任意(]1,0,21∈x x ，都有121211|()()|4||f x f x x x -≤-，求实数a 的取值范围.另14．如图：设工地有一个吊臂长15DF m =的吊车，吊车底座FG 高1.5m ，现准备把一个底半径为3m 高2m 的圆柱形工件吊起平放到6m 高的桥墩上，问能否将工件吊到桥墩上？0.58,0.81≈≈）15．设函数321()(1)4243f x x a x ax a =--++，其中常数a>1(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围。

解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。

16．设函数2()f x x =，()ln (0)g x a x bx a =+>．（Ⅰ）若(1)(1),'(1)'(1)f g f g ==，求()()()F x f x g x =-的极小值；F（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实常数k 和m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+？若存在，求出k 和m 的值．若不存在，说明理由．（Ⅲ）设()()2()G x f x g x =+-有两个零点12,x x ，且102,,x x x 成等差数列，试探究0'()G x 值的符号．17．设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02x π<<，求函数()f x 的单调区间与极值。

【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.【解题指导】（1）对函数()sin cos 1f x x x x =-++求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.,,,()1().43()0()422()x x x x x x x x πππππ=++=+===解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2,知f 令f ，从面sin ，或，当变化时，f ，f(x)变化情况如下表：3223332222πππππππππ+因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，）与（，），单调递增区间是（，），极小值为f()=，极大值为f()=【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.18．设函数2()(1)f x x x =-，0x >． ⑴求()f x 的极值；⑵设0a <≤1，记()f x 在(]0,a 上的最大值为()F a ，求函数()()F a G a a=的最小值； ⑶设函数2()ln 24g x x x x t =-++（t 为常数），若使()g x ≤x m +≤()f x 在(0,)+∞上恒成立的实数m 有且只有一个，求实数m 和t 的值．19．已知定义在R 上的函数)3()(2-=ax x x f ，其中a 为常数. （1）若1=x 是函数)(x f 的一个极值点，求a 的值；（2）若函数)(x f 在区间（－1，0）上是增函数，求a 的取值范围；（3）若函数]2,0[),()()(∈'+=x x f x f x g ，在0=x 处取得最大值，求正数．．a 的取值范围.20．已知函数.32)(2x x e x f x -+=(I ）求曲线))1(,1()(f x f y 在点=处的切线方程；(Ⅱ）求证函数)(x f 在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x 的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e ≈2.7，e ≈1.6，e 0.3≈1.3）(III ）当,1)3(25)(,212恒成立的不等式若关于时+-+≥≥x a x x f x x 试求实数a 的取值范围。

高21．设函数y=f(x)对任意实数x ，都有f(x)=2f(x+1)，当x ∈ [0,1]时，f(x)=274x 2(1-x). (Ⅰ)已知n ∈N +，当x ∈[n,n+1]时，求y=f(x)的解析式； (Ⅱ)求证：对于任意的n ∈N +，当x ∈[n,n+1]时，都有|f(x)|≤n 12； (Ⅲ)对于函数y=f(x)(x ∈[0,+∞)，若在它的图象上存在点P ，使经过点P 的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由.22．已知函数2()()e x f x x a =-在2x =时取得极小值． （1）求实数a 的值；（2）是否存在区间[],m n ，使得()f x 在该区间上的值域为44[e ,e ]m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．23．已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+. （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若x R ∀∈，21()2f x x ax b ≥++恒成立，求(1)a b +的最大值.24．设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈.(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间;(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ,()'2321f x x kx =-+（2013年高考广东卷（文））25．已知函数2l ()n f x x x =. (Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）） 26．设()ln .()()()f x x g x f x f x '==+. （1）求()g x 的单调区间和最小值；（2）讨论()g x 与1()g x 的大小关系；（3）求使得1()()g a g x a-<对任意0x >恒成立的实数a 的取值范围.27．已知函数R x t x t tx x x f ∈-+-+=，213232)(223，其中t ∈R ． ()1当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；()2当0t ≠时，求()f x 的单调区间；()3证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点。

（本题16分）28．若函数()(ln )f x x x a =-（a 为实常数）. （1）当0a =时，求函数)(x f 在1x =处的切线方程； （2）设()|()|g x f x =. ①求函数()g x 的单调区间；②若函数1()()h x g x =的定义域为2[1,]e ，求函数()h x 的最小值()m a .（本小题满分16分）试题解析：（1）当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，()11k f '∴==， …………………2分又当1x =时，0y =，∴函数)(x f 在1x =处的切线方程1y x =-； ………………………4分()22a e -，所以()h x 在区间2[1,]e 上的最小值为()21()2m a a e =-.综上所述，()()2121,0,21(),23,1,3.2a a a e m a a e a a e -⎧<⎪-⎪⎪=<<⎨⎪⎪≥⎪-⎩………………………16分29． （本题满分16分）设函数x ae x x f +=41121)(（其中a 是非零常数，e 是自然对数的底），记1()()n n f x f x -'=（2≥n ，n ∈N*）（1）求使满足对任意实数x ，都有)()(1x f x f n n -=的最小整数n 的值（2≥n ，n ∈N*）；（2）设函数)()()()(54x f x f x f x g n n +⋯++=，若对5≥∀n ，n ∈N*，)(x g y n =都存在极值点n t x =，求证：点))(,(n n n n t g t A （5≥n ，n ∈N*）在一定直线上，并求出该直线方程；（注：若函数)(x f y =在0x x =处取得极值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点.） （3）是否存在正整数()4k k ≥和实数0x ，使0)()(010==-x f x f k k 且对于n ∀∈N*，)(x f n 至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的k 和0x ，若不存在，说明理由．30．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。