高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程1．能依据圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数，写出它们的参数方程． 2．能利用圆锥曲线的参数方程来解决简单的实际问题．1．圆的参数方程(1)圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程是______________，参数α的几何意义是________________(O 为坐标原点，P 为圆上任意一点)．(2)圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程是__________________．参数α的几何意义是OP 与x 轴正方向的夹角(P 为圆上任意一点，O 为圆心)．(3)圆的圆心在原点，半径为r ，它与x 轴负半轴的交点为A (－r,0)，点P (x ，y )是圆周上任意不同于A 的一点，此时，圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－k 2r 1＋k2，y ＝2kr1＋k2(k 为参数)．参数k 的几何意义是直线AP 的斜率．选取不同的参数，可以得到不同形式的圆的参数方程．其中(1)(2)两种形式可结合推导过程记忆，(3)了解就行．【做一做1－1】已知圆的方程为x 2＋y 2＝4x ，则它的参数方程是__________．【做一做1－2】直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )．A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 2．椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程是________________．参数φ的几何意义是以原点为圆心，a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正半轴的夹角．(2)中心在点C (x 0，y 0)，长轴平行于x 轴的椭圆的参数方程是__________________．参数φ的几何意义是以C 为圆心，以a 为半径所作圆上一点P 和椭圆中心C 的连线CP 与x轴正半轴的夹角．【做一做2－1】椭圆x 24＋y 29＝1的参数方程为__________．【做一做2－2】椭圆⎩⎨⎧x ＝32cos φ，y ＝23sin φ(φ为参数)的焦距是__________．3．双曲线的参数方程双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程是________________．【做一做3】已知某条曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (a 为参数)，则该曲线是( )．A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分1．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义剖析：从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ax ，y ′＝1b y ，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1可以变成圆x ′2＋y ′2＝1.利用圆x ′2＋y ′2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos φ，y ′＝sin φ(φ是参数)可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)．因此，参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为离心角)，而不是OM 的旋转角，如图．2．圆锥曲线的参数方程不是唯一的剖析：同一条圆锥曲线的参数方程形式是不唯一的．例如，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程可以是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ的形式，也可以是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin φ，y ＝b cos φ的形式，二者只是形式上不同而已，但实质上都是表示同一个椭圆．同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示，只是选取的参数不同，参数的几何意义也就不同．答案：1．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数) OP 与x 轴正方向的夹角(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数)【做一做1－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π) x 2＋y 2＝4x 可化为(x－2)2＋y 2＝4，∴圆心为(2,0)，半径r ＝2.∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．【做一做1－2】D 将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋y 2＝4，所以圆心到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|－9|32＋42＝95＜2，∴直线与圆相交． 点(0,0)不在直线3x －4y －9＝0上，故直线与圆相交但不过圆心．2．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a cos φ，y ＝y 0＋b sin φ(φ为参数) 【做一做2－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数) 根据题意，a ＝2，b ＝3，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．【做一做2－2】26 根据参数方程，可知a ＝32，b ＝23.∴c ＝322－232＝18－12＝6， ∴焦距为2c ＝2 6.3．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数)【做一做3】C题型一 圆的参数方程的应用【例1】已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，求x 2＋2xy ＋3y 2的最大值和最小值． 分析：利用参数方程，转化成三角函数的问题来解决．反思：利用参数方程求最值问题是其常见的应用，求解时注意三角公式的应用． 题型二 椭圆的参数方程的应用【例2】在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上一个动点，求x ＋y的最大值．分析：将普通方程化为参数方程，利用三角函数的相关知识求最值．反思：利用圆锥曲线的参数方程求最值问题，实质是利用三角函数求最值问题． 题型三 双曲线的参数方程的应用【例3】如图，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是两个焦点，证明|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.分析：设P ⎝⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ，证明等式两边等于同一个式子即可．反思：利用圆锥曲线的参数方程证明恒等式，方法简单、明确，有利于掌握应用．答案：【例1】解：圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α(α为参数)．∴x 2＋2xy ＋3y 2＝cos 2α＋2cos αsin α＋3sin 2α ＝1＋cos 2α2＋sin 2α＋3×1－cos 2α2＝2＋sin 2α－cos 2α＝2＋2sin(2α－π4)．则当α＝k π＋3π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取最大值为2＋2，当α＝k π－π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取最小值为2－ 2.【例2】解：椭圆方程x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．设椭圆上任一点P (3cos θ，sin θ)，则x ＋y ＝3cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3. ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[－1,1]， ∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1时，x ＋y 取最大值2. 【例3】证明：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∴|PF 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ＋22＋tan 2φ ＝2cos 2φ＋22cos φ＋1， |PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－22＋tan 2φ ＝2cos 2φ－22cos φ＋1. ∴|PF 1|·|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2φ＋12－8cos 2φ＝2cos 2φ－1. ∵|OP |2＝1cos 2φ＋tan 2φ＝2cos 2φ－1，∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.1如图，已知椭圆24x ＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x 轴于P ，Q 两点，则|OP |·|OQ |的值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．42点M 0(0,2)到双曲线x 2－y 2＝1的最小距离(即双曲线上任一点M 与点M 0的距离的最小值)是( )．A ．1B ．2C ．3D ．3 3参数方程=4sin ,=5cos x y θθ⎧⎨⎩(θ为参数)表示的曲线为__________．4已知抛物线y 2＝2Px ，过顶点的两条弦OA ⊥OB ，求以OA ，OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹．答案：1．D 设M (2cos φ，sin φ)，B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程为y ＋1＝sin φ＋12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ.MB 2的方程为y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ.∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4.2．C ∵双曲线方程为x 2－y 2＝1，∴a ＝b ＝1. ∴双曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ.设双曲线上一动点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1cos θ，tan θ，则 |M 0M |2＝1cos 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4)＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1时，|M 0M |2取最小值3， 此时有|M 0M |＝ 3.3．椭圆 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sin θ，y ＝5cos θ(θ为参数)可化为⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝x4，cos θ＝y5(θ为参数)①②①2＋②2，得x 216＋y 225＝1，所以曲线为椭圆．4．分析：用参数方程形式设出A ，B 的坐标，求出以OA ，OB 为直径的圆的方程，再求交点．解：设A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)，设Q (x ，y )，则以OA 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 21x －2pt 1y ＝0，以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 22x －2pt 2y ＝0，即t 1，t 2为关于t 的方程2pxt 2＋2pyt －x 2－y 2＝0的两根．∴t 1t 2＝－x 2＋y22px.又OA ⊥OB ，∴t 1t 2＝－1，x 2＋y 2－2px ＝0(x ≠0)．∴另一交点Q 的轨迹是以(p,0)为圆心，p 为半径的圆(除去原点(0,0))．。
