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概率论与数理统计 要点汇总 04183 自考

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1 概率论与数理统计 要点汇总（经管类）04183 （2018年版教材） 前置学习类容 0.1 古典概型 见教材（P56） 0.1.1两个基本原理 加法原理 m+n（有k种方法均能完成某事）：

设某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理m×n（需要k个步骤完成这某事）： 设某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。

0.1.2组合 )!(!!nmnmCnm ，

1mm0mCC，

n-mmn

mCC

1!0 从m个不同元素中任取n个元素组成一组，组合不考虑元素顺序，取出不放回。 0.1.3排列 !n-m!mnm）（A

从m个不同元素中任取n个元素排成一列，排列考虑元素排列顺序，取出不放回。 0.2积分 从教材第二章开始涉及高数（一）中导数、原函数和不定积分、二重积分的知识，需前置学习。（基本公式见最后附表）

0.3指数函数和对数函数 指数和对数函数的运算规则（基本公式见最后附表） 0.4三角函数 三角函数图像和简单性质

第一章 随机事件与概率 1.1随机事件的概念 文字概念较多，详见P32-33 1.2随机事件的关系和运算，p33-35

包含关系 事件A发生必然导致B发生 BA

相等关系 ABBA且 BA

和事件 事件A或B至少有一个发生 BABA或

积事件 事件A与B同时发生 ABBA或

差事件 事件A发生而B不发生 BA P35 ABAABABABA, 2

互不相容 事件A、B不能同时发生 AB 对立事件 “A不发生”这一事件称为A的逆事件 A

运算关系 交换律：ABBAABBA, 结合律：CBACBA)()(,CBACBA)()( 分配律：)()()(CABACBA,)()()(CABACBA 对偶律：BABA,BAAB 减法：ABAABABABA, 1.3知识点延伸，P36 例4/5/6需要理解记忆

1.4古典概型 p41 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条

件：1° 0≤P(A)≤1 2° P() =1

3° 对于两两互不相容的事件，，…有 4° P40,例9、10/11/12要理解,其中10/12考虑顺序，分母不同。

1.5概率性质p41 性质1：0)(,1)(0PAP

性质2：对于任意A,B有 )()()()(ABPBPAPBAP 如果A,B互不相容，则有)()()(BPAPBAP 注意，互不相容与相互独立是有区别的，对比p49例30. 可推广，对任意A,B,C有 )()()()()()()()(ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP 性质3：)()()()(BAPABPAPBAP 当AB时，)()()(BPAPBAP 性质4：)(1)(APAP 1.6条件概率p43 定义：事件A已发生的条件下，事件B发生的概率，称为B的条件概率，记为P(B|A)

则,0)(AP )()()(ABPAPABP )()()(APABP

ABP

则,0)(BP )()()(BAPBPABP )()()(BPABP

BAP

1A2A

11)(iiiiAPAP 3

则,0)(ABP )()()()(ABCPABPAPABCP )()(ABCPABP

P44,例18 因为BABAB所以, 例20、21、22，属于m*n型。 1.7全概率公式 求果p（B）, p45 定义3，要注意理解 全概率公式：)()(...)()()()()(nn2211ABPAPABPAPABPAPBP

)()()()(ABPAPABPAP① )()(BAPABP② 简单的理解：全概率公式就是在众多原因...,,321AAA可能下发生事件B，求B的概率。可以配合例24、25理解。 1.8贝叶斯公式 求因)(iBAP,p46 )()()()(iiiBP

ABPAPBAP=)()(BPABP

理解：贝叶斯公式就是特定iA原因下发生事件B，求B的概率。配合例28/29理解。 可以显见全概率公式和贝叶斯公式都是建立在条件概率的基础上，只要记住推导过程就很方便记忆和运用。把哪个事件当做A或B建立在你对公式的理解上。

1.9事件的独立性 p49 定义4：若)()()(BPAPABP,则称A与B相互独立。

性质5：,0)(AP则称A与B相互独立的充分必要条件是)()(ABPBP。,0)(BP同理。（贝叶斯公式变形） 性质6：)()()(BPAPBAP

定义5：若，P(A)P(B)=P(AB)；P(B)P(C)=P(BC)；P(C)P(A)=P(CA)，且C)P(A)P(B)P(=P(ABC).则A、B、C相互独立。

定义6：P(A)P(B)=P(AB)，P(B)P(C)=P(BC)，P(C)P(A)=P(CA)称A、B、C两两独立，A、B、C相互独立必有两两独立，反之不必然。 定义7：对于n个情况可推，p50

例33：)(1)(CBAPCBAP,运算更简单。P50 1.10伯努利概型 1.每次试验只有两种可能结果，发生或不发生； 2.次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样； 3.每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。

用P表示每次试验A发生的概率，则A不发生的概率为1-P，在n次独立重复试验中， 4

事件A正好发生k次的概率为： n,...2,1kp-1pkk-nkknn，，）（）（CP

第二章 随机变量及概率分布 2.1 定义 离散型随机变量，p59 若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型

随机变量。对于X的分布函数F(x)，则有xxkkpxF)(。 连续性随机变量，p69 若对于随机变量X的分布函数F(x)，若存在非负函数f(x)，使得对任意实数x，有x)()x(dttfF， 则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。

2.3分布函数，p65 定义：设X为一个随机变量，x是任意实数，函数(){}FxPXx称为随机变量

X的概率分布函数，简称分布函数。 充分理解例11，p66。

)x(F的性质：

（1）0()1Fx （2）F(x)是一个不减函数，1221 0()()()PxXxFxFx （3）0)(lim)(xFFx， 1)(lim)(xFFx； （4）)(xF是右连续的，即)()0(xFxF。运用见例12，p67 )x(F的运算：

（1）)a(aFXP （2）)a()b(baFFXP

（3）bdxxf)b(-1bFXP，P71，例16* 5

2.2离散型随机变量 1. 分布律定义，p59 2. 分布律性质：（1）...2,1k0pk，，; （2）1p1kk 3.分类 0-1分布p62 是二项分布的特例，X只取0或1，P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布，p62

），pn(~BX knkknnqpCkPkXP)()(

当n=1时，即为(0-1)分布。 理解p62例7

泊松定理 lim(1)!kkknknnnneCppk，实际计算中，当n20，p0.05时，可用上述公式（约等于），例8，p63

泊松分布，p63 )(~PX 

ekkXPk!)(

，0，2,1,0k，

2.4.1连续性随机变量 

x)()x(dttfF

，f（x）也是f（t），即概率密度的性质：

1) ()0fx +2) ()1fxdx

badx)x(fbabababa)3XPXPXPXP

)x(f)x()4F 根据教材p70，图2-2，设S为f（x）与x轴之间的面积，则S=1。阴影部分面积S1总是小于1，S1值=概率值。实际中（或题意）x或存在区域限制，比如p70例14，p72图2-3，但是S总是等于1.

求f（x） 知道F(X) )x(f)x()4F P71例16 不知道F(X) +2) ()1fxdx P70例14 求F(X) 利用(){}FxPXx和x)()x(dttfF p71,例15

应用题 P71，例17

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高等教育自学考试 概率论与数理统计期末自学 复习重要知识点

高等教育自学考试 概率论与数理统计期末自学 复习重要知识点

概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。

2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。

两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。

记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。

5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。

自考概率论与数理统计复习资料要点总结

自考概率论与数理统计复习资料要点总结

《概率论与数理统计》复习提要第一章 随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃ 3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk k nk k A P A P 11)()( （n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2）乘法公式：)|()()(B A P B P AB P =若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式： ∑==ni i i B A P B P A P 1)|()()(（4）Bayes 公式： ∑==ni iik k kB A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用） 第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑ii p =1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b Xa P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P3． 几个常用随机变量名称与记号 分布列或密度数学期望方差两点分布),1(p B p X P ==)1(，p q X P -===1)0(ppq二项式分布),(p n Bn k q p C k X P k n k kn ,2,1,0,)(===-，np npqPoisson 分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλλ λ几何分布)(p G ,2,1 ,)(1===-k p q k X P kp 12p q 均匀分布),(b a Ub x a a b x f ≤≤-= ,1)(，2ba + 12)(2a b - 指数分布)(λE 0 ,)(≥=-x e x f x λλλ1 21λ正态分布),(2σμN222)(21)(σμσπ--=x ex fμ2σ4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b Xa P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>；（5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii p x F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u XP Φ-==>6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加； （2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

自考-04183概率论与数理统计

自考-04183概率论与数理统计

04183概率论与数理统计（经管类） 一、单项选择题1．若E(XY)=E(X))(Y E ⋅,则必有( B )。

A ．X 与Y 不相互独立B ．D(X+Y)=D(X)+D(Y)C ．X 与Y 相互独立D ．D(XY)=D(X)D(Y2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 A 。

A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.43．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是 D 。

A ．1)(=+∞F B ．0)(=-∞F C ．1)(0≤≤x FD ．)(x F 连续4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)= ( B )。

A ．n k k m q p CB ．kn k k n q p C -C ．kn pq-D ．kn k qp -5．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立，则(23)D X Y ++= CA ．8B ．16C ．20D ．246．设n X X X 21独立同分布，且1EX μ=及2DX σ=都存在，则当n 充分大时，用中心极限定理得()1n i i P X a a =⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∑为常数的近似值为 B 。

A ．1a n n μσ-⎛⎫-Φ⎪⎝⎭B．1-Φ C ．a n n μσ-⎛⎫Φ ⎪⎝⎭ D．Φ7．设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其联合分布律为则(0,1)F = C 。

A ．0.2 B ．0.4C ．0.6D ．0.88．设k X X X ,,,21 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量22221k X X X ++服从（ D ）分布A ．正态分布B ．t 分布C ．F 分布D ．2χ分布9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则 B 。

(完整版)自考概率论与数理统计复习资料要点总结

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i《概率论与数理统计》复习提要(1) 0 P(A) 1 ( 2)P( ) 1(1) 定义：若 P(B) 0,则 P(A| B)P(AB)P(B)(2)乘法公式：P(AB) P(B)P(A| B)若B 1, B 2, B n 为完备事件组，P(B i )0，则有n(3)全概率公式： P(A) P(B i )P(A| B i )i 1(4)Bayes 公式： P(B k | A)P(Bk)P(A|B k)P(B i )P(A|BJi 17.事件的独立性：A, B 独立 P( AB) P(A)P(B)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1 •离散随机变量：取有限或可列个值，P(X x i ) p i 满足(1) p i 0 , (2) p i =11.事件的关系 AB A B AB A B AAB2.运算规则(1)A B BA ABBA(2) (AB) CA (BC)(AB)C A(BC)(3) (AB)C (AC) (BC) (AB) C (A C)(B(4) AB ABABAB第一章随机事件与概率3•概率P(A)满足的三条公理及性质: C)(4) P() 0 (5) P(A) 1 P(A)(6) P(A B) P(A) P(AB) ，若 A B , 则P(BA) P(B) P(A) ,P(A) P(B)(7) P(A B) P(A) P(B) P(AB)(8) P(ABC) P(A) P(B) P(C)P(AB)P(AC) P(BC)P(ABC)n(3)对互不相容的事件 A l , A 2, , A n ，有P( A k )k 1k 1(n 可以取)4. 古典概型：基本事件有限且等可能5. 几何概率6. 条件概率P(A k )(3)对任意D R, P(X D) p:X i D2.连续随机变量：具有概率密度函数f (x)，满足(1) f (x) 0, f(x)dx 1 ；b(2) P(a X b) f (x)dx ； ( 3)对任意a R，P(X a) 0a4.分布函数F(x) P(X x)，具有以下性质(1)F( ) 0, F( ) 1 ; (2)单调非降；(3)右连续；(4)P(a X b) F(b) F(a)，特别P(X a) 1 F(a)；(5)对离散随机变量，F(x) P i ；i:为x(6)对连续随机变量，F(x) x'f(t)dt为连续函数，且在f (x)连续点上，F (x) f (x)5.正态分布的概率计算以(x)记标准正态分布N (0,1)的分布函数，则有(1)(0) 0.5 ; (2)(2 x x) 1 (x) ； (3)若X ~ N(,)，则F(x) ((4)以u记标准正态分布N(0,1)的上侧分位数，则P(X u ) 1 (u )6.随机变量的函数Y g(X)(1)离散时，求Y的值，将相同的概率相加；(2)X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则f Y(y) f x(g 1(y)) |(g 1(y))' |单调，先求分布函数，再求导。