安徽省2020年高考数学第二轮复习 专题一 常以客观题形式考查的几个问题第2讲 平面向量、复数、框图及合情推

限时规范训练五 不等式及线性规划限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A.7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3， 即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2.而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。

"2020届高三数学二轮复习热点专题一高考中选择题、填空题解题能力突破25 考查空间点、线、面的位置关系理 "【例57】► (2020·四川)下列命题正确的是( )．A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行解析对于A，位于某一个平面内的两条相交直线与该平面所成的角均为零，因此选项A不正确；对于B，当平面α⊥平面β，α∩β＝l时，在平面α内作直线m⊥l，n⊥l，垂足分别为A、B，分别在直线m、n上取AD＝AE＝BF，显然此时点D，E，F到平面β的距离相等，但此时α∩β＝l，因此选项B不正确；对于C，由定理“如果一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于这两个平面的交线”得知，选项C正确；对于D，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，但此时平面ABB1A1与平面BCC1B1相交，因此选D不正确．综上所述，选C.答案 C【例58】► (2020·浙江)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝ 2.将△ABD沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )．A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析对于AB⊥CD，因为BC⊥CD，可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB＝1，BC ＝2，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某个位置，使得AB⊥CD.答案 B命题研究：以选择题的形式来考查线线、线面平行与垂直关系的命题的真假.[押题48] 如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O 的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC 的距离等于线段BC的长．其中正确的是( )．A．①② B．①②③ C．① D．②③答案： B [对于①，∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，∴BC ⊥PC ；对于②，∵点M 为线段PB 的中点，∴OM ∥PA ，∵PA ⊂平面PAC ，∴OM ∥平面PAC ；对于③，由①知BC ⊥平面PAC ，∴线段BC 的长即是点B 到平面PAC 的距离，故①②③都正确．][押题49] 已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，则m 平行于α内的无数条直线；②若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；④若α∥β，m ⊂α，则m ∥β.其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．解析 由线面平行的定义及性质知①正确；对于②，若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 、n 可能平行，也可能异面，故②错；对于③，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，m ∥n ，可知n ⊥α，又n ⊥β，所以α∥β，故③正确；由面面平行的性质知④正确．答案 ①③④。

专题六 解析几何第1讲 直线与圆真题试做1．(2020·安徽高考，文9)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)2．(2020·山东高考，文9)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )．A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离3．(2020·福建高考，文7)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )．A ．2 5B ．2 3 C. 3 D ．14．(2020·北京高考，文9)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为__________． 5．(2020·天津高考，文12)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为__________．6．(2020·江苏高考，12)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．考向分析直线与方程是解析几何的基础，高考中主要考查基本概念和求在不同条件下的直线方程；直线平行与垂直的关系的判定；两条直线的交点和距离问题等，一般以选择题、填空题的形式考查．对于圆的考查，主要是结合直线的方程用几何法或待定系数法确定圆的标准方程及一般方程；利用圆的性质求动点的轨迹方程；直线与圆，圆与圆的位置关系等问题，其中含参数问题为命题热点．一般以选择题、填空题的形式考查，难度不大，从能力要求看，主要考查函数与方程的思想，数形结合思想以及分析问题与解决问题的能力．热点例析热点一 直线方程与两条直线的位置关系【例1】经过点P (2，－3)作圆(x ＋1)2＋y 2＝25的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为( )．A ．x －y －5＝0B ．x －y ＋5＝0C ．x ＋y ＋5＝0D ．x ＋y －5＝0 规律方法 (1)求直线方程的方法①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由题目中另一条件求出待定系数．(2)两条直线平行与垂直的判定 ①若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1； ②两条不重合的直线a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0和a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行的充要条件为a 1b 2－a 2b 1＝0且a 1c 2≠a 2c 1或b 1c 2≠b 2c 1；③两条直线a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0和a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0垂直的充要条件为a 1a 2＋b 1b 2＝0.判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况．(3)忽视对直线方程中的字母分类讨论而丢解或增解直线方程的截距式x a ＋y b＝1中，有ab ≠0的限制，而截距可以取正数、负数和零，所以需要对a ，b 分类讨论，否则容易造成丢解．如过点P (2，－1)，在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b 的直线易漏掉过原点的情形．变式训练1 (1)“a ＝3”是“直线ax －2y －1＝0与直线6x －4y ＋c ＝0平行”的( )条件．A ．充要B ．充分而不必要C ．必要而不充分D ．既不充分也不必要(2)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为__________．热点二 圆的方程【例2】已知圆C 经过点A (1,3)，B (2,2)，并且直线m ：3x －2y ＝0平分圆的面积，则圆C 的方程为__________．规律方法 圆的方程的求法求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程一般采用待定系数法．特别提醒：圆心到切线的距离等于半径，该结论在解题过程中经常用到，需牢记． 变式训练2 我们把圆心在一条直线上且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”．在如图所示的“串圆”中，圆C 1和圆C 3的方程分别为x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝1，则圆C 2的方程为__________．热点三 直线与圆的位置关系【例3】如图所示，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程；(3)BQ BP u u u r u u u r是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．规律方法 (1)研究直线与圆的位置关系最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题．(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．变式训练3 已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：(x －3)2＋(y ＋6)2＝25. (1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交；(2)求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度以及此时直线l 的方程． 思想渗透1．数形结合思想解答与圆有关的范围问题时，经常以形助数，巧妙破解．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )．A ．[－1,1＋22]B ．[1－22，1＋22]C ．[1－22，3]D ．[1－2，3]解析：方程y ＝x ＋b 表示斜率为1的平行直线系，曲线方程可化为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)表示圆心为(2,3)，半径为2的下半圆．如图所示，当直线y =x +b 与半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线x －y ＋b ＝0的距离等于2，即|1×2－1×3＋b |2＝2，解得b ＝1－22或b ＝1＋22(舍)．当直线y ＝x ＋b 过点(0,3)时，可得b ＝3，由图可知满足题意的b 的取值范围为1－22≤b ≤3.答案：C2．分类讨论思想遇到字母时往往要对其进行讨论．试判断方程x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋8＝0表示的曲线类型．解：将x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋8＝0配方，得(x ＋2)2＋(y ＋m )2＝m 2－4.(1)当m 2－4＞0，即m ＜－2或m ＞2时，原方程表示以(－2，－m )为圆心，m 2－4为半径的圆；(2)当m 2－4＝0，即m ＝±2时，原方程表示点(－2，－2)或(－2,2)；(3)当m 2－4＜0，即－2＜m ＜2时，原方程不表示任何曲线．1．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )．A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝23．(2020·安徽安庆二模，5)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，直线l ：2x ＋y ＝0，则圆C 上的点到直线l 的距离最大值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．44．(2020·山东潍坊二模，14)若a ，b ，c 是Rt△ABC 的三边的长(c 为斜边长)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为__________．5．(2020·安徽省级示范高中高三联考，文14)若圆(x －2)2＋(y －6)2＝3与直线y ＝3x ＋b 有交点，则b 的最大值为__________．6．(2020·湖北武昌5月模拟，13)在圆x 2＋y 2＝4上的点，与直线l ：4x ＋3y －12＝0的距离的最小值是__________．7．已知直线l 过点P (0,2)，斜率为k ，圆Q ：x 2＋y 2－12x ＋32＝0. (1)若直线l 和圆相切，求直线l 的方程；(2)若直线l 和圆交于A ，B 两个不同的点，问是否存在常数k ，使得OA u u u r ＋OB uuu r 与PQ uuu r共线？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．C 解析：由题意可得，圆的圆心为(a ,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋－12≤2，即|a ＋1|≤2， 解得－3≤a ≤1.2．B 解析：圆O 1：(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心为(－2,0)，半径r 1＝2，圆O 2：(x －2)2＋(y －1)2＝9的圆心为(2,1)，半径r 2＝3，|O 1O 2|＝42＋12＝17， 因为r 2－r 1＜|O 1O 2|＜r 1＋r 2， 所以两圆相交．3．B 解析：由题意作出图象如下图，由图可知圆心到直线AB 的距离d ＝|－2|1＋3＝1，故|AB|＝2|BC|＝222－12＝2 3.4．2 2 解析：由题意得，圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x－y ＝0的距离d ＝22＝ 2.设截得的弦长为l ，则由⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋(2)2＝22，得l ＝2 2.5．3 解析：∵l 与圆相交所得弦的长为2，∴1m 2＋n2＝4－1，∴m 2＋n 2＝13≥2|m n |，∴|m n |≤16.l 与x 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，与y 轴的交点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ， ∴S△AOB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＝12·1|mn|≥12×6＝3.6.43解析：圆C 的方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，直线y ＝kx －2是过定点(0，－2)的动直线．圆心C 到直线y ＝kx －2的距离d ＝|4k －2|k 2＋1，要使其满足已知条件，则需d ≤1＋1，即|4k －2|k 2＋1≤1＋1，解得0≤k ≤43. 故k 的最大值为43.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】 A 解析：设圆心为C ，则AB 垂直于CP.k CP ＝－3－02－－1＝－1，故直线AB 的方程为y ＋3＝x －2，即x －y －5＝0，故选A.【变式训练1】 (1)C 解析：两条直线平行的充要条件是：a 6＝－2－4≠－1c，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c≠－2，故“a ＝3”是“直线ax －2y －1＝0与直线6x －4y ＋c ＝0平行”的必要而不充分条件．(2)x ＋y －3＝0 解析：设圆心坐标为(x 0,0)(x 0＞0)．由于圆过点(1,0)，则半径r ＝|x 0－1|，圆心到直线l 的距离d ＝|x 0－1|2.由弦长为22可知⎝⎛⎭⎪⎫|x 0－1|22＝(x 0－1)2－2，整理得(x 0－1)2＝4.∴x 0－1＝±2，∴x 0＝3或x 0＝－1(舍去)． 因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y ＝x －1垂直的直线方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.【例2】 (x －2)2＋(y －3)2＝1 解析：由已知得，线段AB 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，k AB ＝3－21－2＝－1，故线段AB 的中垂线方程为y －52＝x －32，即x －y ＋1＝0.因为圆C 经过A ，B 两点，故圆心在线段AB 的中垂线上．又因为直线m ：3x －2y ＝0平分圆的面积，所以直线m 经过圆心．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即圆心C(2,3)．而圆的半径r ＝|CB|＝2－22＋2－32＝1， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.【变式训练2】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝94 解析：易求出C 1(0,0)，半径r 1＝1，圆心C 3(3,4)，半径r 3＝1.设圆C 2的圆心坐标为C 2(a ，b )，半径为r 2，据题意得⎩⎪⎨⎪⎧kC 1C 2＝kC 2C 3，|C 1C 2|＝|C 2C 3|，r 1＋2r 2＋r 3＝5，即可解出⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝2，r 2＝32，故圆C 2的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝94.【例3】 解：(1)设圆A 的半径为R.∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0. 连接AQ ，则AQ ⊥MN.∵|MN|＝219，∴|AQ|＝20－19＝1.由|AQ|＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0，∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.(3)∵AQ⊥BP ，∴AQ →·BP →＝0， ∴BQ →·BP →＝(BA →＋AQ →)·BP → ＝BA →·BP →＋AQ →·BP →＝BA →·BP →.当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－52， 则BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－52.又BA →＝(1,2)，∴BQ →·BP →＝BA →·BP →＝－5.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k ，∴BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k ，∴BQ →·BP →＝BA →·BP →＝－51＋2k －10k 1＋2k＝－5.综上所述，BQ →·BP →是定值，且BQ →·BP →＝－5.【变式训练3】 (方法一)(1)证明：设圆心C 到直线l 的距离为d ，则有d ＝|6m ＋6－8m －3|4m 2＋1， 整理可得4(d 2－1)m 2＋12m ＋d 2－9＝0，① 为使上面关于m 的方程有实数解，则Δ＝122－16(d 2－1)(d 2－9)≥0，解得0≤d ≤10. 可得d ＜5，故不论m 为何实数，直线l 与圆C 总相交． (2)解：由(1)可知0≤d ≤10，即d 的最大值为10.根据平面几何知识可知：当圆心到直线l 的距离最大时，直线l 被圆C 截得的线段长度最短．∴当d ＝10时，线段(即弦)的最短长度为252－102＝215.将d ＝10代入①可得m ＝－16，代入直线l 的方程得直线被圆C 截得最短线段时l 的方程为x ＋3y ＋5＝0.(方法二)(1)证明：将直线l 的方程变形有：m(2x －8)－y －3＝0， 解⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －8＝0，－y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，知直线l 过定点A(4，－3)． 又∵(4－3)2＋(－3＋6)2＜25，∴A 点在圆C 内部， 因此直线l 与圆C 总相交． (2)解同方法一． 创新模拟·预测演练1．A 解析：直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切⇔圆心(a ，b )到直线y ＝x ＋2的距离d ＝r ，即|a －b ＋2|2＝2，|a －b ＋2|＝2.解得a －b ＝0或a －b ＝－4，故选A.2．B 解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上，不妨设为C(a ，－a )，∴r ＝|a －－a |2＝|a －－a －4|2，解得a ＝1，r ＝2，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.3．C 解析：可利用数形结合法进行分析解决． 4．2 35．6 解析：圆心(2,6)到直线3x －y ＋b ＝0的距离d ＝|23－6＋b|2≤3，即－23≤23－6＋b ≤23，6－43≤b ≤6，故b 的最大值为6.6.25 解析：圆的半径是2，圆心(0,0)到l ：4x ＋3y －12＝0的距离d ＝|12|42＋32＝125，所以圆x 2＋y 2＝4上的点与直线l ：4x ＋3y －12＝0的距离的最小值是125－2＝25.7．解：(1)将圆的方程化简，得(x －6)2＋y 2＝4. 圆心Q(6,0)，半径r ＝2. 直线l 的方程为：y ＝kx ＋2，故圆心到直线l 的距离d ＝|6k －0＋2|1＋k 2＝|6k ＋2|1＋k2， 因为直线l 和圆相切，故d ＝r ，即|6k ＋2|1＋k2＝2， 解得k ＝0或k ＝－34，所以，直线l 的方程为y ＝2或3x ＋4y －8＝0.(2)将直线l 的方程和圆的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x －62＋y 2＝4， 消去y 得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0，因为直线l 和圆相交，故Δ＝[4(k －3)]2－4×36×(1＋k 2)＞0，解得－34＜k ＜0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4k －31＋k2，x 1x 2＝361＋k 2，而y 1＋y 2＝kx 1＋2＋kx 2＋2＝k (x 1＋x 2)＋4，OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，PQ →＝(6，－2)．因为OA →＋OB →与PQ →共线，所以－2×(x 1＋x 2)＝6×(y 1＋y 2)， 即(1＋3k )(x 1＋x 2)＋12＝0，代入得(1＋3k )⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4k －31＋k 2＋12＝0，解得k ＝－34.又因为－34＜k ＜0，所以没有符合条件的常数k .。

2、饭可以一日不吃，觉可以一日不睡， 书不可以一日不读。——毛泽东
3、世上无难事，只要肯攀登。——毛泽东
名人名言
1、伟大的成绩和辛勤劳动是成正比例的， 有一分劳动就有一分收获，日积月累，从少 到多，奇迹就可以创造出来。——鲁迅
2、天才与凡人只有一步之隔，这一步就 是勤奋。——佚名
3、成功是百分之一的聪明加百分之九十九 的勤奋
专题一 思想方法突破
角度一 角度二 角度三
二 数形结合思想
以形助数(数题形解)
以数辅形(形题数解)
借助于数的精确性和规范性及 借助形的生动性和直观性来阐
严密性来阐明形的某些属性， 述数形之间的联系，即以形作
为手段，数作为目的.
即以数作为手段，形作为目的．
数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单 化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把 握数学问题的本质.
答案：(3，＋∞)
1．讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问 题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注 意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．
2．正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结 合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合．
[自我挑战] 已知函数 f(x)＝2－x－x2－1，2xx，＞x0≤，0， 若函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是________．
• 意外折翅 杨彬无意中走到变压器边，好奇心地用小 手去触摸变压器，被高压电瞬间击中，双 臂严重烧伤。 杨彬再也不能像其他小朋友一样快乐地游 戏和玩耍，甚至连吃饭、穿衣、洗脸、上 厕所这些简单的事都无法完成。
我有一双隐形的翅膀——记巴东无 臂少年杨彬的