函数与方程思想

数学中的五大主要解题思路数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

今天小编给大家讲讲数学中的五大主要解题思路，希望可以帮助到大家。

函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。

利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。

数形结合思想中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。

它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此我们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。

特殊与一般的思想用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，我们可以直接确定选择题中的正确选项。

不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样精彩。

(某些选择题的最佳方法) 极限思想解题步骤极限思想解决问题的一般步骤为：(1)对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量;(2)确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;(3)构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。

分类讨论思想我们常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。

引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。

在分类讨论解题时，要做到标准统一，不重不漏。

函数和方程的思想方法总结函数和方程是数学中两个非常重要的概念，它们在不同的数学领域和学科中具有广泛的应用。

在解决实际问题、研究数学定理和推导数学公式时，函数和方程的思想方法非常有用。

下面我将总结函数和方程的思想方法，并举例说明它们的应用。

一、函数的思想方法：1. 函数是一种映射关系，将自变量映射为因变量。

在研究函数时，我们常常关注函数的定义域、值域、图像和性质等特征。

例如，对于一个电商平台的销售额函数，我们可以通过输入商品价格来计算销售额。

我们可以研究函数的增减性、最大值和最小值等，以优化销售策略。

2. 函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性和可导性等。

这些性质可以帮助我们进一步研究函数的特点和行为。

例如，对于一个正弦函数，它是一个周期函数，周期为2π。

我们可以利用这个性质来分析正弦函数的周期性变化和极值点。

3. 函数的组合和复合是函数思想方法的重要工具。

通过将多个函数进行组合或复合，我们可以得到新的函数，从而解决更加复杂的问题。

例如，对于一个物体在空中自由落体运动的高度函数和速度函数，我们可以通过将这两个函数进行复合，得到物体的位置函数和加速度函数，进一步分析物体的运动规律。

二、方程的思想方法：1. 方程是含有未知数的等式，通过求解方程，我们可以确定未知数的值。

解方程是数学中的一个重要问题，有很多不同的解法和技巧。

例如，对于一个一元一次方程，我们可以通过移项、消元和代入等方法求解。

对于一个一元二次方程，我们可以通过配方法、因式分解和求根公式等方法求解。

2. 方程的应用非常广泛，它可以用来描述和解决各种实际问题。

在解决实际问题时，我们常常将问题抽象成一个方程，然后通过求解方程来得到问题的解。

例如，对于一个汽车行驶的问题，我们可以根据汽车的速度、时间和距离的关系建立一个方程，然后求解这个方程来得到汽车行驶的时间或速度。

3. 方程的解有可能是多个，也有可能是无解。

我们在解方程时，需要考虑方程的解集和解的存在性等问题。

函数与方程思想在数学解题中的应用函数与方程思想在数学解题中的应用函数与方程的思想是中学数学的基本思想，是高中数学的一条主线，也是历年高考的重点•函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，函数思想使常量数学进入了变量数学，即用函数的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去解决问题；方程思想就是分析数学中变量间的等量关系，建立方程或方程组，运用方程的性质去解决问题•对于函数y二f (x),可转化到二元一次方程y-f (x)二0•如解方程f (x)二0求函数y二f (x)的零点•因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法去解决；反之，许多有关丙数的问题也可用方程的方法去解决.函数与方程思想在解题中应用广泛：如函数与方程两者之间的相互转化，在集合、导数与不等式中，在数列、三角函数与平面向量中，在解析几何、立体几何中都可以充分体现，本文就它在数学解题中的应用举例分析，供同学们参考一、函数与方程两者之间的相互转化例1若方程2a - 9sinx+4a • 3sinx+a-8二0有解，则a的取值范围是____________ .解析令t=3sinx,则te［, 3］,方程可转化为: 2at2+4at+a_8=0 ①(方法一)记f (t) =2at2+4at+a-8,则原问题转化为f (x) =0 在［,3］内有解(即有一解或两解)，留意到f (t)的对称轴t=-l［, 3］, ・・・f (t)二0在［,3］内不可能有两根,・・・f (t)二0在［,3］有一根只须f () - f (3) W0,即(++a~8) • (18a+12a+a_8) WO,・•・(-8) • (31a-8) WO, ・・・WaW・(方法二)由①转化为a二二.Vte[, 3],・・・2 (t+1) 2-1 e [, 31],/.ae [,]・点评本题先通过换元转化到熟悉的一元二次方程，接下來再转化到二次函数的零点问题，并结合二次函数图像性质，再用两种方法计算出答案，前者方程思想，后者函数思想，明显看出利用分离常数求函数值域更为简单，这更加体现函数思想在解题中的实效性.二、函数与方程思想在集合中的应用例2 设 A二{x | x2+4x二0}, B={x | x2+2 (a+1) x+a2-l=0},若 BA, 求实数a的取值范围.解析由 A二{x | x2+4x=0} = {x | x=0 或 x=-4} = {0, -4}・VBA, ・・・B二或 B二{0}或 B二{-4}或 B二{0, -4}・当 B二时，即 x2+2 (a+1) x+a2T二0 无实根，由△〈()，即 4 (a+1) 2-4 (a2-l) <0,解得 a<-l；当 B={0}时,由根与系数的关系：0+0=-2(a+l), 0X0=a2-la=-l；当B= {-4}时，由根与系数的关系:-4-4二-2 (a+1), (-4) X (-4) 二a2-la G；当B={0, -4}时,由根与系数的关系:0-4二-2 (a+1), 0X (-4) 二a2Ta 二 1；综上所得a二1或aW-l・点评对于稍复杂的某些集合题目，一定要全面考虑并仔细审题, 防止解的取值扩大或缩小•木题考查了方程思想、分类讨论思想•首先要确定对集合B多种情况的讨论，千万不能遗忘B二这一特殊情形；再分别利用方程求根公式及韦达定理求解，最后答案必须进行检验, 否则解的取值可能扩大.三、函数与方程思想在不等式中的应用例3已知二次函数f (x)二ax2+bx+c・(1)若a>b>c,且f (1)二0,证明f (x)的图像与x轴有2个交占.八、、9(2)在(1)的条件下，是否存在mR,使当f (m)二-a成立吋，f 5+3)为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；(3)若 xl, x2ER,且 xl<x2, f (xl) Hf (x2),方程 f (x) 二[f (xl) +f (x2)]有2个不等实根属于(xl, x2)・解析(1)T f (1)二a+b+c二0 且a>b>c, /.a>0 且c〈0, AA=b2-4ac>0, Af (x)的图像与x轴有两个交点.(2)•・• f (1)二0,・・・1为f (x)二0的一个根，由韦达定理知另一根为•又TaX)且c<0, A<O<1・乂 a>b>c, b=-a-ca>0, a>-a-c-2〈〈0,则 a. (m-) (m-1)二一a〈0, A<m<l・・・・ni+3>+3>-2+3 二 1.•・・f (x)在(1, +8)单调递增,・・・f (m+3) >f (1) =0.即存在这样的ni使f (m+3) >0.(3)令 g (x)二f (x) -[f (xl) +f (x2)],则 g (x)是二次函数.Vg(xl) • g(x2) = [f (xl)-] [f (x2)-]二-[f (xl)-f (x2)]2W0, 乂Tf (xl) Hf (x2), g (xl)・g (x2) <0, /.g (x)二0 的根必有—个属于(xl, x2).点评本题是典型的函数、方程、不等式交汇的综合题•考查考生的读题，审题，计算，推理，阅读理解的数学能力•此题虽然解题思路较为清晰，但涉及到的变量较多，难度偏大；侧重考查考牛能够充分利用二次函数与一元二次方程相互转化，观察二次函数图像性质, 函数零点存在定理，同吋考查不等式基本性质的灵活应用和数形结合思想.四、函数与方程思想在函数与导数中的应用例4已知函数f (x)二x+b的图像与函数g (x)二x2+3x+2的图像相切，记F (x)二f (x) g (x)・(I )求实数b的值及函数F (x)的极值；<!—endprint--><!--startprint--> ( II )若关于x的方程F (x)二k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围.解析(1)依题意得，方法一：令f‘ (x) =g f(x),得1二2x+3, 故x 二一 L・•・函数f (x)的图像与函数g (x)的图像的切点为(-1, 0),将切点坐标代入函数f(X)二x+b可得b二1・方法二：依题意得方程f (x)二g (x),即x2+2x+2-b=0有唯一实数解，故厶=22-4 (2-b) =0,即b二1,.•.F(x)二(x+1 )(x2+3x+2)二x3+4x2+5x+2,故F‘(x)二3x2+8x2+5二3 (x+1) (x+),令F‘ (x)二0,解得 x二-1,或 x二-.•••当x变化时,N (x), F (x)的变化如下表:从上表可知F (x)在x二-处取得极大值，在x二-1处取得极小值 0.(II)由(I )可知函数y二F (x)大致图像如下图所示•作函数 y二k 的图像，当y二F (x)的图像与函数y二k的图像有三个交点吋，关于x 的方程F (x)二k恰有三个不等的实数根.结合图形可知：kG (0,)・点评本题综合了函数、导数，单调性、极值、方程的解等知识. 此题发现” f(X)二x+b是g (x)二X2+3X+2的切线”是解题的关键. 后利用导数的儿何意义求出b,再由导数与单调性，极值的关系作出函数y二F (x)与y二k的图像，将方程的根转化到两个函数图像的交点个数，利用数形结合的思想求解.五、函数与方程思想在三角函数中的应用例 5 已知函数 f (x) =x2- (m+1) x+m (m^R),(1)若tanA, tanB是方程f (x) +4二0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角，求证：m^5；(2)对任意实数，恒有f (2+cos) W0,证明m^3；(3)在(2)的条件下，若函数f (sin)的故大值为8,求m的值.解析 (1)证明：f (x) +4=0,即 x2- (m+1) x+m+4二0.依题意有△二(m+1) 2~4 (m+4) 20, tanA+tanB=m+1 >0, tan A• tanB=m+4>0, tanC=-tan (A+B)二-()二〉0,得 m2-2mT5$0, m>-l, m〈-3 或 m>T, 得证!(2) Vf (x) =x2- (m+1) x+m二(xT) (x-m), 乂 2+cosaE [1, 3],・・・1W X W3吋，f (x) WO.而 f (x) WO (x-1) (x-m) WO,.•.lWxWm 或 mWxWl (舍去).故有[1, 3][1, m],Am^3,得证！(3) Vf (sin)二sin2-(m+1) sina+m二(sin-) 2+m-,•・・±2, sine [-1, 1],・••当 sin二一 1 吋,fmax (sin)二2m+2二8・.•.m二3为所求.点评本题将函数、方程、三角、不等式知识交汇考查，涉及到简单的三角公式(两角和、内角和)，三角函数图像性质(有界性). 第(1)小题中△$()与tan (A+B)〈0易遗漏；充分体现了方程、函数、三角与不等式Z间的和互联系与转化.六、函数与方程思想在数列中的应用例6某厂2012年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同, 但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，口每月增加投入的白分率相同，到 12月投入建设资金乂恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润M 与全年总投入N的大小关系是()A. M>NB. M<NC. M二ND.无法确定解析设笫n个月的利润与投入资金分别为an, bn,则anpl + (n-l) d 是关于n的一次函数，bn二a • qn-l是关于n的指数函数复合形,易知al二bl, al2=bl2,作出示意图如下:显然有ai>bi, i二2, 3, 4,…，11故有M〉N,选答案A例7设｛an｝为等差数列,Sn为数列｛an｝的前n项,已知S7=7, S15=75, Tn为数列｛｝的前n项，求：(1) Tn的通项；(2) Tn的最值.解析(1)设等差数列｛an｝的公差为d,则Sn二nal+n (n~l )二n2+ (al-) n, n^N.又VS7=7, SI5=75,・・・7al+21d二7, 15al+105d二75,即 al+3d二 1, al+7d=5・解得：al二一2, d二 1.・••二al+ (n~l) d二-2+ (nT)・• • _• 一二,即数列｛｝是等差数列，其首项为-2,公差为.•I Tn=n2-n.(2) VTn=n2-n= (n2~9n) = (n-) 2-，VneN,当・・・n二4或5时,Tn取最小值为T5二-5.点评数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，等差、等比是…种特殊的一次函数、指数函数•因此可利用函数思想來分析或用函数方法來解决数列问题•也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化.由次可见，利用函数与方程的思想来解决数列问题，思路既清晰、又简单明了.七、函数与方程思想在平面向量中的应用例8如图所示，在AABC中，点M是AB的中点，且二，BN与CM 相交于点E,设二，二，试用基底，表示向量.解析易得二二二,二二，由N, E, B三点共线知，存在实数，满足二+二+二+ (1-) ①〈！一endprint--> <!--startprint--> 同理由 M, E, C三点共线知，存在实数，满足二+二+二+ (1-)……②由①②，可得：二+ (1-)二+ (1~),所以(1 一)二，二(1-) (1-)二，二(1-)二，二，所以二+・点评本题求解充分利用了方程思想，待定系数法•首先利用三角形法则将向量用向量，，两种方法表示，大胆引入参数，利用向量共线定理，建立方程组，然后解关于向量，的系数的方程组，方程思想在利用平面向量基木定理求参数经常用到.八、函数与方程思想在解析几何中的应用例9若抛物线y二ax2T上总存在关于直线x+y二0的两个对称点，则实数a的取值范围是()A. (, +°°)B. (, +°°)C. (0,)D.(,)解析方法一：y=ax2-l关于x+y二0的对称曲线为-x=ay2-l,由 y=ax2-l ... ①，x=-ay2+l .... ②，得 x+y二a (x2-y2).易知 x+yHO, A a (x+y) =1.把①代入得 Q (x-ax2+l)二1,即 a2x2-ax-a+l=0.由于△〉()，得 a2+4a2 (a-1) >0a2 - (4a-3) >0,A a>,选答案B.方法二：设P1P2所在直线：y二x+b与y二3x2-1联合消去y得：ax2-x~b-1二0.由△>(),得 l+4a (b+1) >0……①设 P1P2 中点 M (xO, yO), ・・・x0二二，y0二xO+b二+b・乂点M在直线x+y二0上，.・・xO+yO二0.即++b二0,・・.b二一.代入①，得l+4a (-+1) >0,即a〉・例10已知两定点F1 (-, 0), F2 (, 0)满足条件-二2的点P的轨迹是曲线E,宜线y二kx-l与曲线E交于A, B两点•如果AB二6,且曲线E 上存在点C,使+二求ni的值和AABC的面积S.解析由双曲线的定义可知，曲线E是以F1 (-，0), F2 (, 0) 为焦点的双曲线的左支，且c二，a二1,易知b二1,故曲线E的方程为 x2-y2二1 (x<0).设 A(xl, yl), B(x2, y2),由题意建立方程组 y二kxT, x2-y2二 1, 消去 y，得(l-k2) x2+2kx-2二0.乂已知直线与双曲线左支交于两点A, B,即方程 x2+2kx-2二0有两个相异的负实根l-k2H0, △二(2k) 2+8 (l~k2) >0, xl+x2=<0, xlx2二>0,解得-<k<-l.乂AB= • xl-x2= •二• =2=6.整理化简可得：28k4-55k2+25二0,k2二或 k2=,但-<k<-l, :.k二-.故直线AB的方程为x+y+1二0.设 C (xc, yc),由已知 + 二m,得(xl, yl) + (x2, y2)二(mxc, myc), /. (xc, yc)二(,)(mH0)・又・.・xl+x2=-4, yl+y2=k (xl+x2) -2二-2二二8,・••点 C (,).将点C的坐标代入曲线E的方程，得-二1.得m二±4,但当m二-4吋，所得的点在双曲线的右支上，不合题/冒、•/.m=4, C点的坐标为(-，2),•••点C到AB的距离为二,•••△ABC 的面积 S二X6X二.点评(1)对于已知方程形式的圆锥曲线，可以利用待定系数法来求圆锥曲线的方程；(2)解决有关直线与圆锥曲线位置关系问题, 用到的多是函数与方程的思想，通过列方程组，由判别式和根与系数的关系求解斜率、弦长等；(3)求参数的取值范围问题，往往要与目标函数联系起来，利用冃标函数的定义域、值域、单调性等知识来解决.九、函数与方程思想在立体儿何中的应用例11如图1, ZACB二45。

第26页
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （理）
C(0， 3)．设 E(0，y)(0≤y≤ 3)，则A→E＝(－1，y)，B→E＝－32，y－ 23，∴A→E·B→E ＝32＋y2－ 23y＝y－ 432＋2116，∴当 y＝ 43时，A→E·B→E有最小值2116.故选 A.
(2)设 f(x)＝ex－x－1，x>0，则 f′(x)＝ex－1， ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(0)＝0，f(x)>0，∴ex－1>x，即 ea－1>a.又 y＝ ax(0<a<1)在 R 上是减函数，得 a>ae，从而 ea－1>a>ae.故选 B.
也是最小值为 f(1)＝1，而 f1e＝－1＋e，f(e)＝1＋1e，又－1＋e>1＋1e，所以，函数的最
大值为 e－1.所以关于 x 的方程 xlnx－kx＋1＝0 在区间1e，e上有两个不等实根，则实
数 k 的取值范围是1，1＋1e.故选 B.
第19页
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （理）
第27页
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （理）
在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类 比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方 法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．特别要注意的是，构造时， 要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移．
第21页
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （理）
2．(2020·广东广州一模)若 a，b 是正数，且满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围 为___9_，__＋__∞__ _．