高考数学复习 专题一 第一讲 函数与方程思想

数学思想方法专题一 函数与方程思想1． (2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范 围是( )A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30] 2． (2012·浙江)设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( )A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a >bB ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a <bC ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a >bD ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a <b 3． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．题型一 利用函数与方程思想求解最值、范围问题例1 设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22变式训练1 若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x2a2－y 2＝1 (a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为 ( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞ D ．⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 题型二 利用函数与方程思想研究方程根的问题例2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值范围．变式训练2 已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，求实数k 的取值范围． 题型三 利用函数与方程思想求解不等式问题例3 已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．变式训练3 设不等式2x －1>m (x －1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫34，＋∞ D ．(－∞，2)题型四 利用函数与方程思想解决数列问题例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－4n ＋4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：14≤T n<1.典例 (14分)(2012·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程． (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 规范解答解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.[4分](2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.[5分]设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.[8分]所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.[10分]又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.[12分]由|k |4＋6k 21＋2k2＝103，解得k ＝±1.∴k 的值为1或－1.[14分] 评分细则 (1)不列方程没有a 2＝b 2＋c 2，扣1分；(2)求|MN |时直接使用弦长公式没有中间变形，扣1分；(3)最后结论不写不扣分．阅卷老师提醒(1)本题易错点：不会整合题目条件，没有列出方程求b 、c ；运算能力较差，用弦长表示面积出现计算错误；(2)阅卷中发现考生的快捷解法：直线y ＝k (x －1)过定点T (1,0)，则S △AMN＝12·|AT |·|y 1－y 2|， 大大简化运算过程．1． 在正实数集上定义一种运算“*”：当a ≥b 时，a *b ＝b 3；当a <b 时，a *b ＝b 2，则满足3*x =27的x 的值为( )A ．3B ．1或9C ．1或 2D ．3或3 32． (2012·课标全国)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 ( )A.12B.23C.34D.453． 方程x 2－32x －m ＝0在x ∈[－1,1]上有实根，则m 的取值范围是 ( )A ．m ≤－916B ．－916<m <52C ．m ≥52D ．－916≤m ≤524． 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则a n 的最小值为 ( )A ．－1B ．1 C.23 D ．－235． 对于满足0≤p ≤4的实数p ，使x 2＋px >4x ＋p －3恒成立的x 的取值范围是__________．专题限时规范训练一、选择题1． 函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)2． 若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有 ( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)3． 设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数4． 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( )A ．7B ．8C ．15D ．165． (2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－126． 若a >1，则双曲线x 2a 2－y2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5)7． 设函数f (x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 8． 若不等式ax －1x ＋b >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式bx ＋1ax ＋1<0的解集是 ( )A ．{x |12<x <1}B ．{x |x <12或x >2}C ．{x |－12<x <1}D ．{x |x <－1或x >2}.二、填空题9． 若关于x 的方程(2－2－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．10．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是____________．11．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________． 12．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________． 三、解答题13．椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →.(1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．。

第一讲函数与方程思想要点一函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用[解析](1)设f(x)＝e x－x－1，x>0，则f′(x)＝e x－1>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(0)＝0，f(x)>0，∴e x－1>x，即e a－1>a.又y＝a x(0<a<1)在R上是减函数，得a>a e，从而e a－1>a>a e，故选B.(2)∵f(x)＝－f′(0)e x＋2x，∴f′(x)＝－f′(0)e x＋2，则f′(0)＝－f′(0)e0＋2，解得f′(0)＝1，则f(x)＝－e x＋2x，f(0)＝－e0＋0＝－1，则切线l：y ＝x－1，对y＝e x求导得y′＝e x，当过Q的切线与直线l平行时，|PQ|最小．由e x＝1，可得x＝0，即切点Q(0,1)，Q到直线l的距离为|0－1－1| 12＋(－1)2＝22＝2，故|PQ|的最小值为 2. [答案](1)B (2) 2函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用技巧 (1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得．(2)求参数的取值范围一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．(3)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．[对点训练]1．(2017·河南平顶山一模)若对于任意的x >0，不等式x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15[解析] 由x >0，得xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立．则a ≥15，故选A.[答案] A2．(2018·豫南九校联考)若关于x的方程2－2－|x＋2|＝2＋a有实根，则实数a的取值范围是________．[解析]令f(x)＝2－2－|x＋2|，要使方程f(x)＝2＋a有实根，只需2＋a是f(x)值域内的值，又可知f(x)的值域为[1,2)，∴1≤2＋a<2，解得－1≤a<0.[答案][－1,0)要点二函数与方程思想在数列中的应用[解](1)因为a1＝2，a23＝a2·(a4＋1)，又因为{a n}是正项等差数列，故d≥0，所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，解得d＝2或d＝－1(舍去)，所以数列{a n}的通项公式a n＝2n.(2)由①可求得S n＝n(n＋1)，b n＝1S n＋1＋1S n＋2＋…＋1S2n＝1(n＋1)(n＋2)＋1(n＋2)(n＋3)＋…＋12n(2n＋1)＝1n＋1－1n＋2＋1n＋2－1n＋3＋…＋12n－12n＋1＝1n＋1－12n＋1＝n2n2＋3n＋1＝12n ＋1n＋3， 令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3， 即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.函数与方程思想在数列中的应用技巧(1)数列的通项与前n 项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决．(2)本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(2)问求出b n 的表达式，说明要求b n ≤k 恒成立时k 的最小值，只需求b n 的最大值，从而构造函数f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，利用函数求解．[对点训练]3．已知等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A.12 B.14 C.18D ．1[解析] 由等比数列前n 项和公式可得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴1<S n ≤S 1＝32；当n 为偶数时，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴34＝S 2≤S n <1.令f (t )＝t －1t ，则函数f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32上单调递增，∴当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32时，－712≤f (t )≤56，故所求最大值与最小值之和为－712＋56＝14，故选B.[答案] B4．(2018·长春二模)已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn的最小值为________．[解析] ∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝2(n －1)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －2)＋(2n －4)＋…＋2＋33＝n 2－n ＋33(n ≥2)．又a 1＝33＝1－1＋33，故a 1满足上式，∴a n ＝n 2－n ＋33(n ∈N *)，∴a n n ＝n ＋33n－1，令f (x )＝x ＋33x －1(x >0)，则f ′(x )＝1－33x2.令f ′(x )＝0，得x ＝33，易知当x ∈(0，33)时，f ′(x )<0，当x ∈(33，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在区间(0，33)上递减，在区间(33，＋∞)上递增， 又5<33<6，且f (5)＝5＋335－1＝535，f (6)＝6＋336－1＝212，f (5)>f (6)，∴当n ＝6时，a n n 有最小值212.[答案] 212要点三 函数与方程思想在解析几何中的应用[解] (1)证明：设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2.因为PA ，PB 的中点在抛物线上， 所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02 即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根． 所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22(y 20－4x 0).因此，△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]．因此，△PAB 面积的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤62，15104.函数与方程思想在解析几何中的应用技巧(1)求圆锥曲线的方程、离心率，通常利用方程的思想建立a ，b ，c 的关系式求解．(2)在解析几何中，求某个量(直线斜率，直线在x 、y 轴上的截距，弦长，三角形或四边形面积等)的取值范围或最值问题的关键是利用条件把所求量表示成关于某个变量(通常是直线斜率，动点的横、纵坐标等)的函数，并求出这个变量的取值范围(即函数的定义域)，将问题转化为求函数的值域或最值．[对点训练]5．(2018·郑州质检)已知圆M ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)与直线l 1：x －3y ＋4＝0相切，设点A 为圆上一动点，AB ⊥x 轴于B ，且动点N 满足AB →＝2NB →，设动点N 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)直线l 与直线l 1垂直且与曲线C 交于P ，Q 两点，求△OPQ (O 为坐标原点)面积的最大值．[解] (1)设动点N (x ，y )，A (x 0，y 0)，因为AB ⊥x 轴于B ，所以B (x 0,0)，由题意得，r ＝|4|1＋3＝2， 所以圆M 的方程为M ：x 2＋y 2＝4.因为AB →＝2NB →，所以(0，－y 0)＝2(x 0－x ，－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y ，将A (x,2y )代入圆M ：x 2＋y 2＝4中，得动点N 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意，设直线l ：3x ＋y ＋m ＝0，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立直线l 与椭圆C的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，得13x 2＋83mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝192m 2－4×13(4m 2－4)＝16(－m 2＋13)>0，解得m 2<13，x 1＋x 2＝－83m 13，x 1·x 2＝4(m 2－1)13.又点O 到直线l 的距离d ＝|m |2，|PQ |＝2|x 1－x 2|＝813－m 213，所以S △OPQ ＝12·|m |2·813－m 213＝2m 2(13－m 2)13≤1，当且仅当m 2＝13－m 2，即m ＝±262时，等号成立．故△OPQ 面积的最大值为1.1.函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f (x )＝0，就是求函数y ＝f (x )的零点，再如方程f (x )＝g (x )的解的问题可以转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点问题，也可以转化为函数y ＝f (x )－g (x )与x 轴的交点问题，方程f (x )＝a 有解，当且仅当a属于函数f (x )的值域．2.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想． 3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．专题跟踪训练(一)一、选择题1．若x >y >1,0<a <b <1，则下列各式中一定正确的是( ) A ．a x <b y B ．a x >b y C.ln x b <ln yaD.ln x b >ln y a[解析] 因为函数y ＝a x (0<a <1)在R 上单调递减，且x >y >1,0<a <b <1，所以a x <a y .根据幂函数y ＝x α(α>0)在(0，＋∞)上单调递增，可得a y <b y ，所以a x <b y ，故选A.[答案] A2．已知倾斜角为π6的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，抛物线C 上存在点P 与点Q (5,0)关于直线l 对称，则p ＝( )A.12 B ．1 C ．2D ．4[解析] 由题意，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P (x 0，y 0)，直线PQ 的方程为y ＝－3(x －5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝2px 0y 0＝－3(x 0－5)，∴3(x 0－5)2＝2px 0.又x 0＋p2＝5－p2，∴x 0＝3，p ＝2，故选C. [答案] C3．(2018·银川模拟)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94D ．－94[解析] ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0， 即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B. [答案] B4．(2018·沈阳模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 解法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项a 1＝13可推知数列{a n }递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大，故选C.解法二：设{a n }的公差为d ，由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大，故选C.解法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值，故选C.[答案] C5．(2018·济南一模)方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 的最大值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2[解析] 由原式得m ＝x －1－x ，设1－x ＝t (t ≥0)， 则m ＝1－t 2－t ＝54－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122，∵m ＝54－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122在[0，＋∞)上是减函数．∴t ＝0时，m 的最大值为1，故选A. [答案] A6．(2018·江西七校联考)直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( )A ．3B ．2C.324D.32[解析] 当y ＝a 时，2(x ＋1)＝a ，所以x ＝a2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t ，则t ＋ln t ＝a ，则|AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －t ＋ln t 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－ln t 2＋1.设g (t )＝t 2－ln t2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t ，令g ′(t )＝0，得t ＝1，当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32，故选D.[答案] D 二、填空题7．(2018·厦门一中月考)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于________．[解析] y ′＝(x －1)－(x ＋1)(x －1)2＝－2(x －1)2，将x ＝3代入，得曲线y＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率k ＝－12，故与切线垂直的直线的斜率为2，即－a ＝2，得a ＝－2.[答案] －28．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________．[解析] 双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则F (c,0)到这条渐近线的距离为|bc |b 2＋(－a )2＝32c ，∴b ＝32c ，∴b 2＝34c 2，又b2＝c 2－a 2，∴c 2＝4a 2，∴e ＝ca＝2.[答案] 29．在各项都为正数的等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2n ＋2＋4a 2n ＝4a 2n ＋1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.[解析] 因为a 2n ＋2＋4a 2n ＝4a 2n ＋1，所以(a n q 2)2＋4a 2n ＝4(a n q )2，所以q 4－4q 2＋4＝0⇒q ＝2，则a n ＝2×2n －12＝2n ＋12.[答案] 2n ＋12三、解答题10．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .[解] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，结合sin 2B ＝1－cos 2B ，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，解得cos B＝1(舍去)，cos B＝15 17 .(2)由cos B＝1517得sin B＝817，故S△ABC＝12ac sin B＝417ac.又S△ABC＝2，则ac＝17 2.由余弦定理及a＋c＝6，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2×172×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b＝2.11．(2018·深圳调研)已知等差数列{a n}的公差d≠0，a1＋a4＝14，且a1，a2，a7成等比数列．(1)求{a n}的通项公式a n与前n项和公式S n；(2)令b n＝S nn＋k ，若{b n}是等差数列，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n＋1的前n项和T n的最小值．[解](1)a1＋a4＝2a1＋3d＝14，由a1，a2，a7成等比数列得a1(a1＋6d)＝(a1＋d)2，整理得d2＝4a1d，∵d≠0，∴d＝4a1，由d＝4a1与2a1＋3d＝14联立，解得a1＝1，d＝4，∴a n＝a1＋(n－1)d＝4n－3，S n＝n(1＋4n－3)2＝2n2－n.(2)由(1)知b n＝2n2－nn＋k，∵{b n}为等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，代入可解得k ＝－12或k ＝0，当k ＝－12时，b n ＝2n ，则1b n b n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n 4(n ＋1)，又y ＝x 4(x ＋1)＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 在(0，＋∞)上是增函数，∴当n ＝1时，T n 有最小值18.当k ＝0时，b n ＝2n －1，则1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝n2n ＋1， 又y ＝x 2x ＋1＝12＋1x在(0，＋∞)上是增函数，∴当n ＝1时，T n 取到最小值13.综上，当k ＝－12时，T n 的最小值为18；当k ＝0时，T n 的最小值为13.12．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．[解] (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.① 由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2； 由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)，h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2). 又|AB |＝22＋12＝5， 所以四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝12·5·4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k 2 ＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋41k＋4k≤22， 当且仅当4k 2＝1(k >0)，即当k ＝12时，上式取等号．所以S 的最大值为2 2.即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.。