高中数学竞赛专题一函数与方程思想

高中数学函数与方程的思想方法高中数学函数与方程的思想方法在高中数学的学习中，函数与方程是非常重要的概念和内容。

掌握了函数与方程的思想方法，不仅可以帮助我们解决实际问题，还能培养我们的逻辑思维和分析能力。

本文将从函数与方程的定义、解题思路和实际应用等方面探讨高中数学函数与方程的思想方法。

一、函数与方程的定义函数是数学中的基本概念，我们可以将函数理解为两个集合之间的一种特殊关系。

简单来说，函数就是将自变量映射到因变量的规则。

函数通常用符号表示，如f(x)、g(x)等。

在方程中，通常出现的是一元函数，如y=f(x)。

方程是关于未知数的等式，它通常由等号连接的表达式组成，其中包含未知数和已知数。

方程的解是使得方程成立的未知数的值。

在数学中，函数与方程是密切相关的概念，通过函数可以建立方程，通过求解方程可以得到函数的零点或特殊点。

二、解题思路1. 函数图象与函数性质分析：对于给定的函数，我们可以通过观察其图象来推测函数的性质。

例如，对于一个二次函数，当a>0时，函数的图象开口向上；当a<0时，函数的图象开口向下。

通过观察函数图象，我们可以推测函数的最值、零点等重要信息。

2. 函数与方程的转化：有时候题目给出的是函数，要求解的是方程；有时候题目给出的是方程，要求分析函数的性质。

在这种情况下，我们需要运用函数与方程之间的转化关系进行思考。

例如，已知函数的表达式，要求函数的零点，就需要解方程f(x)=0。

反之亦然，已知方程，可以通过构造函数直观地分析方程的性质。

3. 实际问题的建模与解析：高中数学中的函数与方程往往是为了解决实际问题而引入的。

因此，在解题过程中，我们需要将问题进行数学建模，将实际问题转化为数学问题，然后通过函数与方程的知识进行分析和求解。

例如，求解优化问题时，我们可以通过函数的极值来确定最优解。

三、实际应用函数与方程在实际生活中有着广泛的应用。

下面以几个例子来说明：1. 经济学中的需求函数：在经济学中，需求函数描述了商品需求与价格之间的关系。

江苏省金湖县实验中学高中数学奥赛辅导：简单的函数方程（一） 函数方程的概念：1.函数方程的定义 含有未知函数的等式叫做函数方程。

如f(x ＋1)=x 、f(－x)=f(x)、f(－x)= －f(x)、f(x ＋2)=f(x)等。

其中f(x)是未知函数2.函数方程的解 能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。

如f(x)=x －1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解3.解函数方程 求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程4.定理（柯西函数方程的解）若f(x)是单调（或连续）函数且满足f(x ＋y)=f(x)＋f(y) (x,y ∈R)、则f(x)=xf(1) 证明：由题设不难得f(x 1＋x 2＋…＋x n )=f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n )取x 1=x 2=…=x n =x ，得f(nx)=nf(x) (n ∈N +)令x=0，则f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 --------- （1）x=1，则f(n)=nf(1)x=n m ，则f(m)=nf(n m ) ，解得f(n m )=n 1f(m)= nm f(1) --------- (2) x=－n m ，且令y=－x ＞0，则f(x)＋f(y)=f(x ＋y)=f(0)=0 ∴f(x)=－f(y)=－yf(1)=xf(1) (m,n ∈N+,且(m,n)= 1) ---------(3)由上述（1），（2），（3）知：对任意有理数x 均有f(x)=xf(1)另一方面，对于任意的无理数x ，因f(x)连续，取以x 为极限的有理数序列{x n }，则有 ：f(x)=∞→n lim f(x n )=∞→n lim x n f(1)=xf(1) 综上所述，对于任意实数x ，有f(x)=xf(1)函数方程的解法：1.代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数例1 （1）已知f(2x －1)=x 2＋x ，那麽f(x)=______________。

高中数学思想方法之“函数与方程思想”（2012.8.6）一、知识整合：一、知识整合：函数与方程都是中学数学中最为重要的内容．而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点．1．函数的思想．函数的思想函数的思想，函数的思想，是用运动和变化的观点，是用运动和变化的观点，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，分析和研究数学中的数量关系，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．分析和解决问题．分析和解决问题．经常经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．2．方程的思想．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．研究运动中的等量关系．3．函数思想与方程思想的联系．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f (x )＝0，就是求函数y ＝f (x )的零点，解不等式f (x )＞0(或f (x )＜0)，就是求函数y ＝f (x )的正负区间，再如方程f (x )＝g (x )的解的问题可以转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点问题，也可以转化为函数y ＝f (x )－g (x )与x 轴的交点问题，方程f (x )＝a 有解，当且仅当a 属于函数f (x )的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．4．函数与方程思想解决的相关问题．函数与方程思想解决的相关问题(1)函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的．性质，达到化难为易，化繁为简的目的．(2)方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：①解方程或解不等式；①解方程或解不等式；②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；间根、区间上恒成立等知识应用；③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；④构造方程或不等式求解问题．④构造方程或不等式求解问题．此外，运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，最典型的例子上三个“二次”之前的关系。

高一数学《函数与方程》竞赛试题第I 卷（选择题）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y ＝f (x )图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y ＝f (x )的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）已知函数2229,0()4,041232,4x x f x x x x x x x +<⎧⎪=-+≤≤⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对”有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对2．（2021·黑龙江·鸡西实验中学高一竞赛）已知函数()lg ,010=11,10x x f x x x ⎧<≤⎨-+>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（）A ．()1，10B ．()111，C ．()1011，D ．()10+∞，3．（2022安徽·高一竞赛）已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)4．（2022浙江温州·高一竞赛）已知函数32log ,0()41,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足：1234x x x x <<<，则1234x x x x +的值是（）.A ．-4B ．-3C ．-2D ．-15．（2022广东潮州·高一竞赛）已知()()20f x ax bx c a =++>，分析该函数图像的特征，若方程()0f x =一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是（）A ．232ba<-<B ．240ac b -≤C ．()20f <D ．()30f <6．（2022湖南·衡阳市八中高一竞赛）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A．1,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．4⎛ ⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（2022陕西渭南·高二竞赛）已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]222,1,0()2,0,1x x f x x x ⎧--∈-⎪=⎨-∈⎪⎩且(2)()f x f x +=，52()2xg x x -=-，则方程()()f x g x =在区间[]37-,上的所有实根之和为（）A ．14B ．12C ．11D ．78．（2022河南·高三竞赛（理））已知函数lg ,0,()2,0,x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若关于x 的方程2()()10f x af x -+=有且只有3个不同的根，则实数a 的值为A ．2-B ．1C ．2D ．3二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f （x ＋2）＝－f (x )＋f (1)，且在区间[0，2]上是增函数，下列命题中正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 在[6,5)--上单调递增，在[5,4)--上单调递减D ．方程()0f x =在[0，2021]内有1010个根10．（2022·湖南衡阳·高二竞赛）已知函数()22,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则（）A ．()f x 的单调递减区间为()0,1B ．a 的取值范围是()0,2C ．123x x x 的取值范围是(]2,0-D ．函数()()()g x f f x =有4个零点11．（2022·山东德州·高二竞赛）对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，则下列命题中的真命题是（）A ．[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B ．x ∀∈R ，[]1x x <+C ．函数[]y x x =-的值域为［0，1）D ．方程22022[]20230x x --=有两个实数根12．（2022·辽宁高二竞赛）已知函数()221,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()()222g x f x mf x =-+，下列说法正确的是（）A ．()y f x =只有一个零点()1,0B ．若()y f x a =-有两个零点，则2a >C ．若()y f x a =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，则121=x x D ．若()g x 有四个零点，则32m >第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数()11||f x x x x +=-++，则方程()()21f x f x -=所有根的和是___________．14．（2022浙江高三竞赛）已知()f x 是偶函数，0x ≤时，()[]f x x x =-(符号[]x 表示不超过x 的最大整数)，若关于x 的方程()() 0f x kx k k =+>恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围为__________．15．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-≤≤=⎨+>⎩，，，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是_________.16．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数22log (2),20()21,0x x f x x x x +-<≤⎧=⎨-+>⎩，若函数[]2()(())(1)(())()g x f f x a f f x R a a =-++∈恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是____________．四、解答题:本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2022湖南·高三竞赛）已知二次函数2()163f x x x p =-++.（1）若函数在区间[1,1]-上存在零点，求实数p 的取值范围；（2）问是否存在常数(0)q q ≥，使得当[,10]x q ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12q -.（注：区间[,]a b ()a b <的长度为b a -）.18．（2022浙江高二竞赛）已知函数()2,,f x x ax b a b =++∈R ，(1)0f =．(1)若函数()y f x =在[0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)设()()()21212x xF x f a =-+--，若函数()F x 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围；19．（2022四川高一竞赛））已知函数()21log f x x =+，()2xg x =.(1)若()()()()()F x f g x g f x =⋅，求函数()F x 在[]1,4x ∈的值域；(2)若()H x 求证()()11H x H x +-=.求12320212022202220222022H H H H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；(3)令()()1h x f x =-，则()()()()24G x h x k f x =+-，已知函数()G x 在区间[]1,4有零点，求实数k 的取值范围.20．（2022广东高一竞赛）已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎣⎦．(1)当2k =时，求函数()f x 在[0,)+∞的值域；(2)已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ，当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围．21．（2022·山西运城高二竞赛）已知函数()()44log 41log 2x x f x =+-，()142log 23x g x a a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.(1)若1x ∀∈R ，对[]21,1x ∃∈-，使得()221420x xf x m +≥-成立，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.22．（2022江苏盐城高一竞赛）若定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足()0a f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则称()f x 为“a 型”弱对称函数.(1)若函数sin ()ln 1x mf x x x +=-+为“1型”弱对称函数，求m 的值；(2)已知函数()f x 为“2型”弱对称函数，且函数()f x 恰有101个零点(1,2,...,101)i x i =，若1011i i x =∑>λ对任意满足条件函数()f x 的恒成立，求λ的最大值.高一数学《函数与方程》竞赛试题答案一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。

2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。

3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。

试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。

2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。

3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。

试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。

2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。

3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。

试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。

2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。

3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。

试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。

2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。

高中数学竞赛试题解析引言高中数学竞赛是培养学生数学思维和解决问题能力的重要途径之一。

在这个竞赛中，学生们需要面对各种复杂的数学题目，并提供准确的解答。

本文将对高中数学竞赛经典试题进行详细解析，帮助读者更好地理解问题并掌握解题技巧。

试题一：函数与方程题目描述给定一个二次函数f(x)=ax2+bx+c，已知该函数通过点(1,3)和(2,7)。

求出a、b、c的值。

解析我们可以利用已知的两个点来建立方程组，进而求解a、b、c。

首先，由于f(1)=3和f(2)=7，我们得到以下两个方程：a+b+c=3 (1)4a+2b+c=7 (2)然后，我们可以通过联立方程组来解得a=1,b=1,c=1。

因此，二次函数为f(x)=x2+x+1。

试题二：概率与统计题目描述有一个袋子里面有10个球，其中有3个红色球和7个蓝色球。

现从袋中随机取1个球，然后将其放回，再继续取另一个球。

求：两次都取到红色球的概率是多少？解析设事件A为第一次取到红色球，事件B为第二次也取到红色球。

根据概率的性质和独立性，我们可以使用条件概率公式计算这一概率：P(A∩B)=P(B∣A)⋅P(A)首先，因为每个球被放回袋中后重新混合，所以第二次取到红色球的概率与第一次没有关系。

故P(B∣A)=P(B)。

其次，第一次取到红色球的概率是310。

因此，两次都取到红色球的概率为：P(A∩B)=P(B∣A)⋅P(A)=P(B)⋅P(A)=(310)2=0.09结论本文对高中数学竞赛中涉及函数与方程、概率与统计等题目进行了详细解析。

通过理解问题背景和运用相应的数学知识和技巧，读者可以更好地应对这类试题，并在竞赛中取得好成绩。

希望本文对您的学习有所帮助！。

高中数学竞赛中的函数方程问题研究一、本文概述《高中数学竞赛中的函数方程问题研究》是一篇深入探讨高中数学竞赛中函数方程问题的重要文章。

本文将全面概述函数方程问题的基本概念、类型、解题策略以及在实际竞赛中的应用。

通过对函数方程问题的深入研究，旨在帮助读者更好地理解并掌握解决这类问题的关键技巧，提高数学竞赛的应对能力。

在本文中，我们将首先介绍函数方程问题的基本概念和分类，以便读者对这类问题有一个清晰的认识。

接着，我们将重点分析函数方程问题的解题策略和方法，通过实例讲解让读者更加直观地理解并掌握这些技巧。

本文还将对函数方程问题在数学竞赛中的应用进行探讨，帮助读者了解如何将这些策略应用到实际竞赛中。

我们将对全文进行总结，强调函数方程问题在高中数学竞赛中的重要性，并鼓励读者通过不断练习和实践，提高自己的数学竞赛水平。

通过本文的阅读和学习，相信读者将能够更好地应对高中数学竞赛中的函数方程问题，取得优异的成绩。

二、函数方程的基本概念与性质函数方程是数学竞赛中经常遇到的一类问题，它涉及函数与方程两个核心数学概念的结合。

在深入研究函数方程问题之前，我们首先需要明确函数方程的基本概念与性质。

函数方程是指既含有未知数，又含有未知函数的方程。

其中，未知函数是方程中待确定的函数关系，而未知数则是方程中待确定的常数或变量。

例如，方程f(x) + x = 0就是一个简单的函数方程，其中f(x)是未知函数，x是未知数。

函数值的存在性：对于函数方程，其解必须满足函数的定义域要求，即解集内的每一点都必须是函数的定义域内的点。

函数的唯一性：在函数方程的解集中，每一个自变量只对应一个函数值。

这意味着在求解函数方程时，我们必须确保得到的解满足函数的这一基本性质。

方程的等价性：如果两个函数方程在相同的定义域内，对于所有的自变量都有相同的函数值，则这两个方程是等价的。

这一性质在函数方程的化简和求解过程中尤为重要。

解的多样性：函数方程的解可能不唯一，即可能存在多个满足方程的函数。