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数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.函数与方程思想、数形结合思想一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解. 1.若0<x 1<x 2<1，则( ) A.21e e x x->ln x 2－ln x 1 B.21e e x x-<ln x 2－ln x 1 C.1221e >e xxx x D.1221e <e xxx x[答案] C[解析] 设f (x )＝e x －ln x (0<x <1)， 则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y 1＝e x 与y 2＝1x 的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x 0∈(0，1)，因此函数f (x )在(0，1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确； 设g (x )＝e xx (0<x <1)，则g ′(x )＝e x(x －1)x 2.又0<x <1，∴g ′(x )<0， ∴函数g (x )在(0，1)上是减函数. 又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)， ∴1221e >e xxx x ，故选C.2.已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g (x )e x >1的解集为________.[答案] (－∞，0)[解析] ∵函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴g (0)＝g (4)＝1. 设f (x )＝g (x )ex ，则f ′(x )＝g ′(x )e x －g (x )e x (e x )2＝g ′(x )－g (x )e x .又g ′(x )－g (x )<0，∴f ′(x )<0， ∴f (x )在R 上单调递减.又f (0)＝g (0)e0＝1，∴f (x )>f (0)，∴x <0.3.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围是__________________. [答案] (－∞，－1)∪(2，＋∞)[解析] ∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3. 问题转化为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立， 当x ＝2时，不等式不成立，∴x ≠2. 令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎡⎦⎤12，3. 问题转化为g (m )在⎣⎡⎦⎤12，3上恒大于0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫12>0，g (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12(x －2)＋(x －2)2>0，3(x －2)＋(x －2)2>0， 解得x >2或x <－1.4.若x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______. [答案] [－6，－2][解析] 当－2≤x <0时，不等式转化为a ≤x 2－4x －3x 3.令f (x )＝x 2－4x －3x 3(－2≤x <0)，则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4，故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增， 此时有a ≤f (x )min ＝f (－1)＝1＋4－3－1＝－2. 当x ＝0时，不等式恒成立. 当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，则f (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥f (x )max ＝f (1)＝1－4－31＝－6.综上，实数a 的取值范围是[－6，－2]. 二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.5. 已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 等于( ) A.－23 B.－13 C.13 D.23[答案] D[解析] 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×92d ＝70，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10，2a 1＋9d ＝14， 解得d ＝23.6.已知在数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋23a n ，则a na n －1的最大值为( )A.－3B.－1C.3D.1 [答案] C[解析] 当n ≥2时，S n ＝n ＋23a n ，S n －1＝n ＋13a n －1，两式作差可得a n ＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，即a n a n －1＝n ＋1n －1＝1＋2n －1. 由函数y ＝1＋2x －1在(1，＋∞)上是减函数，可得a n a n －1在n ＝2时取得最大值3.7.在等差数列{a n }中，若a 1<0，S n 为其前n 项和，且S 7＝S 17，则S n 取最小值时n 的值为____. [答案] 12[解析] 由已知得， 等差数列{a n }的公差d >0， 设S n ＝f (n )，则f (n )为二次函数，又由f (7)＝f (17)知，f (n )的图象开口向上，关于直线n ＝12对称， 故S n 取最小值时n 的值为12.8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 6＝3，则nS n 的最小值为________. [答案] －9[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝－2，6a 1＋15d ＝3解得a 1＝－2，d ＝1，所以S n ＝n 2－5n 2 ，故nS n ＝n 3－5n 22.令f (x )＝x 3－5x 22，则f ′(x )＝32x 2－5x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝103， ∴ f (x )在⎝⎛⎭⎫0，103上单调递减，在⎝⎛⎭⎫103，＋∞上单调递增. 又∵n 是正整数，故当n ＝3时，nS n 取得最小值－9. 三、函数与方程思想在[解析]几何中的应用[解析]几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答. 9.(2016·全国Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 [答案] B[解析] 不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆的方程设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5，点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，①点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，② 点D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝⎛⎭⎫p22＝r 2，③ 联立①②③，解得p ＝4(负值舍去)，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.10.如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，若∠P AQ ＝60°，且OQ →＝3OP →，则双曲线C 的离心率为( )A.233B.72C.396D. 3[答案] B[解析] 因为∠P AQ ＝60°，|AP |＝|AQ |， 所以|AP |＝|AQ |＝|PQ |，设|AQ |＝2R ， 又OQ →＝3OP →，则|OP |＝12|PQ |＝R .双曲线C 的渐近线方程是y ＝ba x ，A (a ，0)，所以点A 到直线y ＝bax 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪b a ·a －0⎝⎛⎭⎫b a 2＋(－1)2＝aba 2＋b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ab a 2＋b 22＝(2R )2－R 2＝3R 2，即a 2b 2＝3R 2(a 2＋b 2)， 在△OQA 中，由余弦定理得，|OA |2＝|OQ |2＋|QA |2－2|OQ ||QA |cos 60°＝(3R )2＋(2R )2－2×3R ×2R ×12＝7R 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2b 2＝3R 2(a 2＋b 2)，a 2＝7R 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝7R 2，b 2＝214R 2，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝1＋214R 27R 2＝72.11.设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点.若ED →＝6DF →，则k 的值为________. [答案] 23或38[解析] 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.由ED →＝6DF →知，x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由点D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k. 所以21＋2k ＝1071＋4k2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.12.已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于不同的两点A ，B ，且以AB 为直径的圆过抛物线C 的焦点F ，则k ＝________. [答案]22或－22[解析] 点F 的坐标为(1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1＋1)，y 2＝k (x 2＋1)，当k ＝0时，l 与C 只有一个交点，不合题意，因此k ≠0. 将y ＝k (x ＋1)代入y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0，① 依题意知，x 1，x 2是①的不相等的两个实根，则⎩⎨⎧Δ＝4(k 2－2)2－4k 4>0， ②x 1＋x 2＝2(2－k 2)k2，x 1x 2＝1.由以AB 为直径的圆过F ，得AF ⊥BF ， 即k AF ·k BF ＝－1，所以y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，所以x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)－(x 1＋x 2)＋1＝0， 所以(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0，③把x 1＋x 2＝2(2－k 2)k 2，x 1x 2＝1代入③得2k 2－1＝0，解得k ＝±22， 经检验k ＝±22适合②式.综上所述，k ＝±22.一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数. 1.(2018·咸阳模拟)函数f (x )＝2x －1x 的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3 [答案] B[解析] 在同一平面直角坐标系下，作出函数y 1＝2x 和y 2＝1x的图象，如图所示.函数f (x )＝2x －1x 的零点个数等价于2x ＝1x 的根的个数，等价于函数y 1＝2x 和y 2＝1x图象的交点个数.由图可知只有一个交点，所以有一个零点.故选B.2.若关于x 的方程||x x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________.[答案] ⎝⎛⎭⎫14，＋∞[解析] x ＝0是方程的一个实数解；当x ≠0时，方程||x x ＋4＝kx 2可化为1k ＝(x ＋4)|x |，x ≠－4，k ≠0，设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0)，y ＝1k ，则两函数图象有三个非零交点.f (x )＝(x ＋4)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x >0，－x 2－4x ，x <0，x ≠－4的大致图象如图所示，由图可得0<1k <4， 解得k >14.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解之和为________. [答案] －7[解析] 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2.又当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y 1＝f (x )与y 2＝|cos πx |的图象如图所示.由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的实数解有7个. 不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7. 4.(2018·石嘴山模拟)已知函数f (x )⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋1，x ≤1，ln x ，x >1，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是________. [答案] ⎣⎡⎭⎫14，1e[解析] 画出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，要使直线y ＝ax 与函数f (x )有两个交点，当y ＝ax 与y ＝x 4＋1平行时，显然有两个交点，此时a ＝14.当a >14时，只需求出当直线y ＝ax和曲线y ＝ln x 相切时的斜率即可.由于相切时交点只有1个，故结合图象知，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，1e .二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018·全国Ⅰ )设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)[答案] D[解析] 方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1. 因此不等式的解集为(－∞，－1].②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解.③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x ，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1，0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0). 故选D.方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图象如图所示.由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x . 此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x ). 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0).故选D.6.设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________. [答案] [2－1，＋∞)[解析] 集合A 是圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是[2－1，＋∞).7.若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.[答案] ⎝⎛⎦⎤－∞，12 [解析] 作出y 1＝|x －2a |和y 2＝12x ＋a －1的简图，如图所示.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤2－2a ，a －1<0，故a ≤12.8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2ax ，x ≥1，2ax －1，x <1，若存在两个不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围为________. [答案] [0，＋∞)[解析] 根据题意知f (x )是一个分段函数，当x ≥1时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为x＝a；当x<1时，是一个一次函数.当a>1时，如图(1)所示，符合题意；当0≤a≤1时，如图(2)所示，符合题意；当a<0时，如图(3)所示，此时函数在R上单调递减，不满足题意.综上所述，可得a≥0.三、数形结合思想在[解析]几何中的应用在[解析]几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建[解析]几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围；常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.9.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4[答案] B[解析]根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，可知|OP|＝12|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.10.设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为()A. 2B.3C.2D. 5[答案] D[解析]如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQ⊥PF2.又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|＝2|OQ|＝2a.又|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4a.在Rt△F1PF2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得4a2＋16a2＝20a2＝4c2，即e＝ca＝ 5.11.已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P 的坐标为________. [答案] ⎝⎛⎭⎫－2，12 [解析] 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部， 如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ， 由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PQ |＋|P A |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |. 因为A (－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)， 代入x 2＝8y ，得y 0＝12.故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12. 12.已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________. [答案] 2 2[解析] 连接PC ，由题意知圆的圆心C (1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt △P AC 的面积S △P AC ＝12|PA ||AC |＝12|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形P ACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形P ACB有唯一的最小值，此时|PC|＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|P A|＝|PC|2－|AC|2＝22，所以(S四边形P ACB)min＝2×12×|P A|×|AC|＝2 2.1.(2018·咸阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋f′(x)>1，设a＝f(2)－1，b＝e[f(3)－1]，则a，b的大小关系为()A.a<bB.a>bC.a＝bD.无法确定[答案] A[解析]令g(x)＝e x f(x)－e x，则g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]>0， 即g (x )在R 上为增函数. 所以g (3)>g (2)， 即e 3f (3)－e 3>e 2f (2)－e 2，整理得e[f (3)－1]>f (2)－1，即a <b .2.(2018·宣城调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有( )A.f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫14B.f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32 C.f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14 D.f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14 [答案] C[解析] 因为f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又T ＝4，作图，由图知f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14.3.在三棱锥A －BCD 中，△ABC 为等边三角形，AB ＝23，∠BDC ＝90°，二面角A －BC －D 的大小为150°，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为( ) A.7π B.12π C.16π D.28π [答案] D[解析] 满足题意的三棱锥A －BCD 如图所示，设三棱锥A －BCD 的外接球的球心为O ，半径为R ，△BCD ，△ABC 的外接圆的圆心分别为O 1，O 2，可知O ，O 1，O 2在同一平面内，由二面角A －BC －D 的大小为150°，得∠OO 1O 2＝150°－90°＝60°.依题意，可得△BCD ，△ABC 的外接圆的半径分别为 r 1＝BC 2＝232＝3，r 2＝23×sin 60°×23＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝OO 21＋r 21，R 2＝OO 22＋r 22，sin ∠OO 1O 2＝OO2OO1，即⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝OO 21＋3，R 2＝OO 22＋4，OO 2＝32OO 1，解得R ＝7，所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为4πR 2＝28π.4.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作直线y ＝－ba x 的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若FB →＝2F A →，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B.2 C. 5 D.7 [答案] C[解析] 设F (c ，0)，则直线AB 的方程为y ＝a b (x －c )，代入双曲线渐近线方程y ＝－ba x ，得A ⎝⎛⎭⎫a 2c ，－ab c .由FB →＝2F A →，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2－c 2c ，－2ab c ，把B 点坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2c2＝1，∴c 2＝5a 2， ∴离心率e ＝ca＝ 5.5.记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 [答案] C[解析] 在同一坐标系中作出三个函数y 1＝x 2＋1，y 2＝x ＋3，y 3＝13－x 的图象如图.由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y 2＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC 与直线y 3＝13－x 在点C 下方的部分的组合体.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋3，y 3＝13－x ，得点C (5，8).所以f (x )max ＝8.6.已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若1＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围为( ) A.(3＋22，＋∞) B.[3＋22，＋∞) C.(6，＋∞) D.[6，＋∞)[答案] C[解析] 由图象可知b ＞2，1＜a ＜2，∴－lg(a －1)＝lg(b －1)， 则a ＝b b －1， 则a ＋2b ＝b b －1＋2b ＝2b 2－b b －1＝2(b －1)2＋3(b －1)＋1b －1＝2(b －1)＋1b －1＋3，由对勾函数的性质知，当b ∈⎝⎛⎭⎫22＋1，＋∞时，f (b )＝2(b －1)＋1b －1＋3单调递增， ∵b ＞2，∴a ＋2b ＝bb －1＋2b ＞6.7.(2018·东莞模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥1，x 2－3x ＋2，x <1，若不等式f (x )≥mx 恒成立，则实数m的取值范围为( ) A.[－3－22，－3＋22] B.[－3＋22，0] C.[－3－22，0]D.(－∞，－3－22]∪[－3＋22，＋∞) [答案] C[解析] 函数f (x )及y ＝mx 的图象如图所示，由图象可知，当m >0时，不等式f (x )≥mx 不恒成立，设过原点的直线与函数f (x )＝x 2－3x ＋2(x <1)相切于点A (x 0，x 20－3x 0＋2)，因为f ′(x 0)＝2x 0－3，所以该切线方程为y －(x 20－3x 0＋2)＝(2x 0－3)(x －x 0)，因为该切线过原点，所以－(x 20－3x 0＋2)＝－x 0(2x 0－3)，解得x 0＝－2，即该切线的斜率k ＝－22－3.由图象得－22－3 ≤m ≤0.故选C.8.(2018·德阳诊断)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1＋x ＋sin x ，若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( ) A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－∞，－1)[答案] A[解析] 由题意知函数f (x )＝3x －13x ＋1＋x ＋sin x 的定义域为R ，f (－x )＝3－x －13－x ＋1＋(－x )＋sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x ＋1＋x ＋sin x ＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，且f ′(x )＝2ln 3·3x(3x ＋1)2＋1＋cos x >0在R 上恒成立，即函数f (x )在R 上单调递增.若∃x 0∈[－2，1]，使得f (x 20＋x 0)＋f (x 0－k )<0成立， 即f (x 20＋x 0)<－f (x 0－k )，所以f (x 20＋x 0)<f (k －x 0)，即x 20＋x 0<k －x 0，则问题转化为∃x 0∈[－2，1]，k >x 20＋2x 0，令g (x )＝x 2＋2x ，x ∈[－2，1].则k >g (x )min ＝g (－1)＝－1故实数k 的取值范围是(－1，＋∞).9.已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.[答案] 2 3[解析] 如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h .则其侧棱长为l ＝⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2. 令f (h )＝16h ＋h 2，则f ′(h )＝－16h 2＋2h ＝2h 3－16h 2，令f ′(h )＝0，解得h ＝2.当h ∈(0，2)时，f ′(h )<0，f (h )单调递减；当h ∈(2，＋∞)时，f ′(h )>0，f (h )单调递增， 所以当h ＝2时，f (h )取得最小值f (2)＝162＋22＝12，故l min ＝12＝2 3.10.若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. [答案] (0，2)[解析] 由f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点， 可得|2x －2|＝b 有两个不等的实根，从而可得函数y 1＝|2x －2|的图象与函数y 2＝b 的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0<b <2.11.已知椭圆C 1：x 29＋y 24＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋1)2＝r 2 (r >0)，若两条曲线没有公共点，则r 的取值范围是______________. [答案] (0，1)∪⎝⎛⎭⎫3305，＋∞ [解析] 方法一 联立C 1和C 2的方程，消去x ， 得到关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0，①方程①可变形为r 2＝－54y 2＋2y ＋10，把r 2＝－54y 2＋2y ＋10看作关于y 的函数.由椭圆C 1可知，－2≤y ≤2，因此，求使圆C 2与椭圆C 1有公共点的r 的集合，等价于在定义域为y ∈[－2，2]的情况下，求函数r 2＝f (y )＝－54y 2＋2y ＋10的值域.由f (－2)＝1，f (2)＝9，f ⎝⎛⎭⎫45＝545，可得f (y )的值域为⎣⎡⎦⎤1，545，即r ∈⎣⎡⎦⎤1，3305， 它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合，因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎫3305，＋∞.方法二 联立C 1和C 2的方程消去x ，得到关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0.①两条曲线没有公共点，等价于方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0要么没有实数根，要么有两个根y 1，y 2∉[－2，2].若没有实数根，则Δ＝4－4×⎝⎛⎭⎫－54×(10－r 2)<0， 解得r >3305或r <－3305⎝⎛⎭⎫由于r >0，则r <－3305舍去. 若两个根y 1，y 2∉[－2，2]，设φ(y )＝－54y 2＋2y ＋10－r 2，其图象的对称轴方程为y ＝45∈[－2，2].则⎩⎪⎨⎪⎧φ(2)＝9－r 2>0，φ(－2)＝1－r 2>0，又r >0，解得0<r <1.因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎫3305，＋∞.12.若关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝⎛⎭⎫a －94x ≥0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恰成立，则实数a 的取值集合为________. [答案] {2e}[解析] 关于x 的不等式e x －x22－1－⎝⎛⎭⎫a －94x ≥0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恰成立⇔函数g (x )＝e x－x 22－1x在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的值域为⎣⎡⎭⎫a －94，＋∞. 因为g ′(x )＝e x(x －1)－x 22＋1x2， 令φ(x )＝e x(x －1)－x 22＋1，x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞， 则φ′(x )＝x (e x －1). 因为x ≥12，所以φ′(x )>0，故φ(x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，所以φ(x )≥φ⎝⎛⎭⎫12＝78－e2>0. 因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增， 则g (x )≥g ⎝⎛⎭⎫12＝12e －18－112＝2e －94，所以a －94＝2e －94，解得a ＝2e ，所以a 的取值集合为{2e}.。
2008高考数学二轮专题辅导 函数与方程思想一．知识探究：函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f (x)＝0的解就是函数y ＝f (x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y ＝f (x)也可以看作二元方程f (x )－y ＝0通过方程进行研究。
就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题；2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y ＝f(x)，当y ＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y ＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。
函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y ＝f(x)的零点；（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y ＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；（3）数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；（4）函数f(x)＝nb ax )( （n ∈N *）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
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专题对点练2 函数与方程思想、数形结合思想一、选择题1.设a>1,若对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈［a,a2］满足方程log a x+log a y=3,这时a的取值的集合为（）A。
{a｜1<a≤2} B.｛a｜a≥2}C.{a｜2≤a≤3｝D.｛2，3}2。
若椭圆+y2=1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其一交点为P,则｜PF2｜=()A。
B。
C。
D.43.（2018甘肃兰州一模)若关于x的方程2sin=m在上有两个不等实根,则m的取值范围是（）A。
(1,) B。
［0，2]C。
[1,2）D。
［1,]4.函数f(x)是定义在区间（0,+∞）上的可导函数，其导函数为f'（x）,且满足xf’(x)+2f（x)>0，则不等式的解集为(）A.｛x｜x>—2 011}B.｛x｜x<-2 011｝C.｛x｜-2 016〈x〈—2 011}D。
{x|-2 011〈x<0｝5.对任意a∈［—1,1]，函数f（x)=x2+（a-4）x+4—2a的值总大于零,则x的取值范围是（）A。
{x|1<x<3｝ B.{x|x〈1或x〉3｝C.{x|1〈x<2}D.｛x｜x〈1或x>2｝6.抛物线y2=2px（p〉0)的焦点为圆x2+y2-6x=0的圆心，过圆心且斜率为2的直线l与抛物线相交于M,N两点，则|MN｜=（）A。
1．函数与方程思想函数思想方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决.方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决.在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系.应用1 目标函数法求最值【典例1】 (1)在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)，B (2,0)，E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE →·BF →的最小值为________．(2)已知斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为________．(1)－3 (2)4105 [(1)∵E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，不妨设E (0，t )，F (0，t ＋2)，则AE →＝(0，t )－(－1,0)＝(1，t )．BF →＝(0，t ＋2)－(2,0)＝(－2，t ＋2)， AE →·BF →＝t 2＋2t －2.令f (t )＝AE →·BF →＝(t ＋1)2－3≥－3，当且仅当t ＝－1时取等号．即AE →·BF →的最小值为－3.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5，∴|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5 ＝4255－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.]目标函数法即是把所谓目标写成函数形式，然后再求其值域、最值的方法. (1)有关长度、面积、体积以及数量积等的计算经常采用目标函数法. (2)求值域、最值的方法，一般涉及换元法、配方法和均值不等式法以及单调性法.【对点训练1】 已知在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝120°，C 是OB 的中点，P 为弧AB 上任意一点，且OP →＝λOA →＋μOC →，则λ＋μ的最大值为________．2213[建立如图所示的平面直角坐标系，则O (0,0)，A (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则OA →＝(2,0)，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设P (2cosθ，2sin θ)，则λ(2,0)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝(2cos θ，2sin θ)，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ－12μ＝2cos θ，32μ＝2sin θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝43sin θ，λ＝cos θ＋13sin θ，则λ＋μ＝53sin θ＋cos θ＝2213sin(θ＋φ)，其中tan φ＝35，据此可知，当sin(θ＋φ)＝1时，λ＋μ取得最大值2213.]【对点训练2】 一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为________．23 [如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1为正三棱柱．AB ＝2，三角形ADE 为直角三角形，∠ADE ＝90°.设BD ＝x ，CE ＝y ，则AD 2＝4＋x 2，AE 2＝4＋y 2， ED 2＝4＋(y －x )2. ∵AE 2＝AD 2＋DE 2，∴4＋y 2＝4＋x 2＋4＋(y －x )2， 解得y ＝x ＋2x .∵AE 2＝4＋y 2＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2≥4＋(22)2＝12.∴AE ≥23，当且仅当x ＝2时取等号． 即直角三角形斜边的最小值为2 3.] 应用2 分离参数法求参数范围【典例2】 (1)若方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上有解，则实数a 的取值范围为________．(2)已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．(1)(－1,1] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞ [(1)由cos 2x －sin x ＋a ＝0，得a ＝sin 2x ＋sin x －1.问题变成求函数a ＝sin 2x ＋sin x －1在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上的值域问题．∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122－54，而0<sin x ≤1，∴－1<a ≤1，即a 的取值范围为(－1,1]． (2)由f (x )＝x －1x ＋1得f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0.∴f (x )在[0,1]上单调递增．∴f (x )min ＝f (0)＝－1，∴存在x 2∈[1,2]使－1≥x 2－2ax ＋4，即2a ≥x ＋5x 在[1,2]上有解，∴2a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x min ，易知y ＝x ＋5x 在(0，5]上递减，∴y ＝x ＋5x 在[1,2]上递减．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x min ＝2＋52＝92，∴2a ≥92，a ≥94，∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞.](1)在求参数的取值范围时，应该先建立关于参数的等式或不等式，然后利用函数的定义域、值域或解不等式求解.在对式子变形的过程中，应优先选择分离参数的方法.(2)①对于方程有解、不等式的恒成立问题或存在性问题，往往可以分离参数，然后再构造函数，把问题转化成求函数的值域或最值.②不等式有解、恒成立求参数的方法：g (a )>f (x )恒成立，则g (a )>f (x )max . g (a )<f (x )恒成立，则g (a )<f (x )min ， g (a )>f (x )有解，则g (a )>f (x )min ， g (a )<f (x )有解，则g (a )<f (x )max .(3)分离参数法是求参数范围的常用方法，但应明确，不是万能方法，恰当又合理的参变分离有助于问题的解决，有时需要讨论！【对点训练3】 对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．[－2，＋∞) [当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，此时a ∈R ，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |，设f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |，则a ≥f (x )max ，由基本不等式得|x |＋1|x |≥2(当且仅当|x |＝1时取等号)，则f (x )max ＝－2，故a ≥－2.]【对点训练4】 已知函数f (x )＝lg 1＋2x ＋4x ·aa 2－a ＋1，其中a 为常数，若当x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞ [参数a 深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其他变元x 的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”．由1＋2x ＋4x ·a a 2－a ＋1＞0，且a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，得1＋2x ＋4x ·a ＞0，故a ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x .当x ∈(－∞，1]时，y ＝14x 与y ＝12x 都是减函数， 因此，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x 在(－∞，1]上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x max ＝－34，a ＞－34，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.]应用3 构造函数解不等式、比较大小【典例3】 (1)已知函数f (x )满足f (x )＞f ′(x )，在下列不等式关系中，一定成立的是( )A ．e f (1)＞f (2)B ．e f (1)＜f (2)C ．f (1)＞e f (2)D ．f (1)＜e f (2)(2)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )＜－2f (x )，则使f (x )＞0成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)(1)A (2)B [(1)∵f (x )＞f ′(x )，∴f ′(x )－f (x )＜0. ∴令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x ＜0，∴g (x )单调递减，又1＜2.∴g (1)＞g (2)， 即f (1)e 1＞f (2)e 2，∴ef (1)＞f (2)．选A.(2)令F (x )＝x 2f (x )，则F ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]．当x ＞0时，由题设可得F ′(x )＜0，即函数F (x )＝x 2f (x )是单调递减函数，当x ＜0时，函数F (x )＝x 2f (x )是单调递增函数．又由题设可知F (1)＝F (－1)＝0，所以不等式F (x )＞0的解集是(－1,0)∪(0,1)，则不等式f (x )＞0的解集是(－1,0)∪(0,1)．故选B.](1)根据式子结构构造指数函数、对数函数或幂函数. (2)根据式子的结构构造相应函数： ①(x m f (x ))′＝x m －1(mf (x )＋xf ′(x ))；②⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2；③(e x f (x ))′＝e x (f (x )＋f ′(x ))； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )e x ′＝f ′(x )－f (x )e x ；⑤(x ·ln x )′＝ln x ＋1.【对点训练5】 若0＜x 1＜x 2＜1，则( ) A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1＞x 1e x 2D ．x 2e x 1＜x 1e x 2C [设f (x )＝e x －ln x (0＜x ＜1)， 则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x .令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象可知两函数图象的交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A 、B 选项不正确．设g (x )＝e xx (0＜x ＜1)，则g ′(x )＝e x(x －1)x 2. 又0＜x ＜1，∴g ′(x )＜0. ∴函数g (x )在(0,1)上是减函数． 又0＜x 1＜x 2＜1，∴g (x 1)＞g (x 2)， ∴x 2e x 1＞x 1e x 2，故选C.]【对点训练6】 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )＞f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f (x )e x ＜1的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)B [构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝e x·f ′(x )－e x·f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x .由题意得g ′(x )＜0恒成立，所以函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减．又g (0)＝f (0)e 0＝1，所以f (x )e x ＜1，即g (x )＜1，解得x ＞0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．故选B.]应用4 利用方程思想求值【典例4】 (1)函数f (x )＝x ln x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．(2)(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝________，y ＝________.(1)(1,0) (2)8 11 [(1)∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1， 由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1， ∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0， 即P (1,0)．(2)法一：由题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11. 法二：100－81＝19(只)， 81÷3＝27(元)， 100－27＝73(元)．假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则 5×19＝95(元)． 因为95－73＝22(元)， 所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)， 鸡翁：19－11＝8(只)．]方程思想无处不在，只要涉及含有等量关系的条件或结论时，均可考虑到通过列方程或方程组求解.【对点训练7】 (2019·北京高考)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．[解] (1)∵{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列．∴(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6)，∴(－2＋2d )2＝d (－4＋3d )，解得d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋2n －2＝2n －12. (2)法一：由a 1＝－10，d ＝2，得：S n ＝－10n ＋n (n －1)2×2＝n 2－11n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1122－1214，∴n ＝5或n ＝6时，S n 取最小值－30. 法二：由(1)知，a n ＝2n －12.所以，当n ≥7时，a n ＞0；当n ≤6时，a n ≤0.所以，S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.应用5 方程思想与不等式【典例5】 关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为( )A ．(－3,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 D ．(－1,2)C [由关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，可知方程x 2＋ax ＋b ＝0的两实数根分别为－3,1，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝－3＋1，b ＝－3×1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，所以不等式ax 2＋bx －2＜0可化为2x 2－3x －2＜0，即(2x ＋1)(x －2)＜0，解得－12＜x ＜2，即所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2.]方程的根是对应不等式解集区间的端点值，所以不等式与方程是紧密联系的！【对点训练8】 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．9 [由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24. 因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，即b ＝a 24.所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又f (x )＜c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＜c ，即－a 2－c ＜x ＜－a 2＋c .所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2－c ＝m ， ①－a 2＋c ＝m ＋6. ②②－①得2c ＝6，所以c ＝9.]。
2022届高考数学理二轮复习专题函数与方程思想本讲栏目开关【高考考情解读】本讲栏目开关数学家华罗庚先生说过：数学是一个原则，无数内容，一种方法，到处可用.数学思想是中学数学的灵魂，在二轮复习过程中，我们要在把握知识主干这条复习主线的同时，活用数学思想，加强数学应用意识，方能跳出题海，轻松应对高考.思想方法概述第1讲本讲栏目开关1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等.思想方法概述(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得本讲栏目开关解决.方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.2.和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化.对函数y=f(某),当y>0时，就化为不等式f(某)>0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.思想方法概述(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通本讲栏目开关过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解.(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.热点分类突破类型一本讲栏目开关函数与方程思想在数列中的应用例1已知数列{an}是各项均为正数的等差数列.(1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列，求数列{an}的通项公式an;(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn,设bn=11Sn+1+1++,若对任意的n∈N某,不等式bn≤k恒成立，S2nSn+2求实数k的最小值.热点分类突破解2(1)因为a1=2,a3=a2·(a4+1),又因为{an}是正项等差数列，故d≥0,所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),得d=2或d=-1(舍去),本讲栏目开关所以数列{an}的通项公式an=2n.(2)因为Sn=n(n+1),1bn=+++S2nSn+1Sn+2111=+++n+1n+2n+2n+32n2n+1111111=-+-++-2n2n+1n+1n+2n+2n+311热点分类突破11n1=-==,1n+12n+12n2+3n+12n+n+31令f(某)=2某+(某≥1),某1则f′(某)=2-2,当某≥1时，f′(某)>0恒成立，某所以f(某)在[1,+∞)上是增函数，故当某=1时，[f(某)]min=f(1)=3,1即当n=1时，(bn)ma某=,6要使对任意的正整数n,不等式bn≤k恒成立，1则须使k≥(bn)ma某=,61所以实数k的最小值为.6本讲栏目开关热点分类突破(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可本讲栏目开关“知三求二”;(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解.热点分类突破已知数列{an}是等差数列，a1=1,a2+a3++a10=144.(1)求数列{an}的通项an;本讲栏目开关1(2)设数列{bn}的通项bn=,记Sn是数列{bn}的前n项和，anan+1若n≥3时，有Sn≥m恒成立，求m的最大值.解(1)∵{an}是等差数列，a1=1,a2+a3++a10=144,10a1+a10∴S10=145,∴S10=,2∴a10=28,∴公差d=3.∴an=3n-2(n∈N 某).热点分类突破11(2)由(1)知bn==anan+13n-23n+1111=3n-2-3n+1,3本讲栏目开关11∴Sn=b1+b2++bn=1-3n+1,3n∴Sn=.3n+1n+1n1∵Sn+1-Sn=-=>0,3n+43n+13n+43n+1∴数列{Sn}是递增数列.3当n≥3时，(Sn)min=S3=,1033依题意，得m≤,∴m的最大值为.1010热点分类突破类型二函数与方程思想在方程问题中的应用π2例2如果方程co某-in某+a=0在(0,]上有解，求a的取2值范围.本讲栏目开关π解方法一设f(某)=-co某+in某(某∈(0,]).22显然当且仅当a属于f(某)的值域时，a=f(某)有解.125∵f(某)=-(1-in 某)+in某=(in某+)-,24π且由某∈(0,]知in某∈(0,1].2易求得f(某)的值域为(-1,1].2故a的取值范围是(-1,1].热点分类突破π方法二令t=in某,由某∈(0,],可得t∈(0,1].2将方程变为t2+t-1-a=0.依题意，该方程在(0,1]上有解.本讲栏目开关设f(t)=t2+t-1-a.1其图象是开口向上的抛物线，对称轴t=-,2如图所示.f0<0因此f(t)=0在(0,1]上有解等价于f1≥0-1-a<0即1-a≥0 ,,∴-1<a≤1.故a的取值范围是(-1,1].热点分类突破研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方本讲栏目开关程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决.热点分类突破当a为何值时，方程lg(3-某)+lg(某-1)=lg(a-某)有两解？一解？无解？3-某>0,解当即1<某<3时，方程化为(某-1)(3-某)=某-1>0,本讲栏目开关a-某,即-某2+5某-3=a.作出函数y=-某2+5某-3(1<某<3)的图象(如图),该图象与直线y=a的交点横坐标是方程(某)的解，也是原方程的解.由图形易看出：13当3<a<4时，原方程有两解；13当1<a≤3或a=4时，原方程有一解；13当a>4或a≤1时，原方程无解.(某)热点分类突破类型三函数与方程思想在不等式中的应用例3设f(某)=ln某+某-1,证明：3(1)当某>1时，f(某)<(某-1);29某-1(2)当1<某<3时，f(某)<.某+53证明(1)方法一记g(某)=ln某+某-1-(某-1),2113则当某>1时，g′(某)=某+-2<0.2某3又g(1)=0,所以有g(某)<0,即f(某)<2(某-1).某1方法二当某>1时，2某<某+1,故某<2+2.1令k(某)=ln某-某+1,则k(1)=0,k′(某)=某-1<0,本讲栏目开关①热点分类突破故k(某)<0,即ln某<某-1.3由①②得，当某>1时，f(某)<2(某-1).9某-1(2)方法一记h(某)=f(某)-,某+51154由(1)得h′(某)=某+-2某某+522+某某+55454=--2<2某4某某+5某+52某+53-216某=.24某某+5令G(某)=(某+5)3-216某,则当1<某<3时，②本讲栏目开关热点分类突破G′(某)=3(某+5)2-216<0,因此G(某)在(1,3)内是减函数.又由G(1)=0,得G(某)<0,所以h′(某)<0.本讲栏目开关因此h(某)在(1,3)内是减函数.又h(1)=0,所以h(某)<0.9某-1于是当1<某<3时，f(某)<.某+5方法二记h(某)=(某+5)f(某)-9(某-1),则当1<某<3时，由(1)得h′(某)=f(某)+(某+5)f′(某)-9113+<(某-1)+(某+5)·某2某-92热点分类突破1=[3某(某-1)+(某+5)(2+某)-18某]2某某11<2某3某某-1+某+52+2+2-18某本讲栏目开关12=4某(7某-32某+25)<0.因此h(某)在(1,3)内单调递减.又h(1)=0,所以h(某)<0,9某-1即f(某)<.某+5。
word高三数学第二轮专题复习函数与方程的思想方法课堂资料一、基础知识整合函数与方程的思想是中学数学的基本思想.函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识.用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察处理问题. 用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想,就是在解决数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当成已知数，根据题设各量之间的制约关系，列出方程，求得未知数；或如果变量间的数量关系是用解析式的形式(函数形式)表示出来的，那么可把解析式看作是一个方程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题.函数思想与方程思想是密切相关的.如函数问题(例如：求反函数；求函数的值域等)可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决.如方程f (x )＝0的解就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标(即函数y ＝f (x )的零点)；解不等式f (x )＞0(或f (x )＜0)，就是求函数y ＝f (x )的正负区间.就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值X 围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。
如数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点处理数列问题;又如函数f (x )＝nb ax )(+（n ∈N *）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;又如解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论.又如立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决等.函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。
分类讨论思想分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，学习和掌握分类讨论思想方法，有利于培养学生更全面、更有逻辑的分析和解决问题。
一般来说，绝多大数需要分类讨论思想方法求解的数学问题都含有参数，由于参数所在范围的不同导致相应的数学模型的变化，从而在各种不同的具体情境下求解问题，这就产生了分类讨论。
题型一 分类讨论思想在集合中的应用1．已知集合{1A =，a ，}b ，2{B a =，a ，}a b ，若A B =，则20212020(ab += A ．1- B ．0 C ．1 D ．22．已知2{|320}A x x x =-+=，{|1}Bx a x ==，若B A ⊆，则实数a 取值的集合为 A ．10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭ B ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C ．10,2,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．12,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭3．已知集合{|1}A x x =>，{|1}Bx a x =>，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 A ．(0,1)B ．(0，1C ．[0，1D ．[0，1)4．设集合{|13}A x x =-<<，{|42}B x x =-<<，{|233}C x a x a =-<<，若()C A B ⊆，则实数a 的取值范围为A ．2{|}3a a > B ．12{|}33a a < C ．1{|}3a a D ．2{|}3a a5．已知集合{|3Ax ax a =<<，0}a >，集合{|23}B x x =<． （1）当1a =时，求A B ，AB ；（2）若AB =∅，求实数a 的取值范围．6．已知{|24．x m=-+-}x mB=，{|121}A x x（1）若2A B；m=，求()R，求m的取值范围．（2）若AB=∅7．已知2qB xxa ax a=-++，1}|()0 :{|560:{}p A x x x=-+，223a>，（1）若2a=，求集合B；（2）如果q是p的必要条件，求实数a的取值范围．8．己知集合2}{|320=，2=+-=．B x x x|(1{=-+-)320A x a x x}（1）若A≠∅，求实数a的取值范围；（2）若A B A=，求实数a的取值范围．题型二 分类讨论思想在函数中的应用1．已知函数32(1)()2(1).x x f x x xx ⎧>=⎨-+⎩若5()4f a =-，则a 的值为 A ．12-或 B ．或 C ．12-D ．2．若函数(0x y a a -=>且1)a ≠为增函数，则函数1()log 1af x x =+的大致图象是 A ． B ．C ．D ．3．已知函数2()l o g (0afx x a =>且1)a ≠在区间[2，4]上的最大值与最小值的差为1，则实数a 的值为A ．2B ．4C ．或4D ．或2 4．已知1a >，函数1x y a -=与l o g()a y x =-的图象可能是 A ． B ．C ．D ．5．函数()l o g (12)afx a x =-在区间[0，1上是增函数，则实数a 的取值范围是 A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(0,1)D ．(1,)+∞6．函数()|3||1|f x x x =--+的最大值和最小值分别是 A ．4和0 B ．4和4-C ．0和4-D ．既无最大值，也无最小值7．已知函数21(1)3,(1)(),(1)x a x a x a x f x a x -⎧-++=⎨<⎩是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是A ．2(,1)5 B ．2(0]5C ．22(,]53D ．2(,1)38．已知函数2()l o g (2)afx a x x =-在区间12，1)上为增函数，则实数a 的取值范围为 A ．(0,1) B ．[4，)+∞ C ．(0,1)[2，)+∞ D ．(0,1)[4，)+∞9．已知0m >，命题p ：函数()l o g mf x x =是(0,)+∞的增函数，命题22:()()3q g x l nm x x m =-+的值域为R ，且p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，则实数m 的范围是 A ．1(,)3+∞B ．1(0,]3C ．1(0,](1,)3+∞D ．1(1)310．已知函数()||()f x x x m x R =-∈，且f （1）0=． （1）求m 的值，并用分段函数的形式来表示()f x ；（2）在如图给定的直角坐标系内作出函数()f x 的草图（不用列表描点）； （3）由图象指出函数()f x 的单调区间．11．已知函数212l o g ,0()l o g(),0xx f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若f （a ）()f a >-，求实数a 的取值范围．12．已知函数(2),()(1),x x a x af x a x x a -⎧=⎨-<⎩，其中a 为实数，且0a ≠． （1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）若方程()0f x =仅有一个实数根，求实数a 的取值范围．13．已知函数()l o g (2)l o g (2)(0a a f x x x a =+-->，且1)a ≠． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性；（Ⅲ）解关于x 的不等式()l o g (3)af x x ．14．（1）作出()|4|fx x x =-的图象，并讨论方程()f x m=的实根的个数； （2）已知函数()||()f x x x a a a R =--∈，若存在[3x ∈，5]，使()0f x <成立，求实数a 的取值范围．参考答案题型一1．【解答】解：由题意得①组21a bb a =⎧⎨=⎩或②21a b a b⎧=⎨=⎩， 由②得1a =±，当1a =时，{1A =，1，}b ，不符合，舍去； 当1a =-时，0b =，{1A =，1-，0}，{1B =-，1，0}，符合题意． 由①得1a =，舍去， 所以1a =-，0b =． 202120201a b ∴+=-． 故选：A ．2．【解答】解：{1A =，2}，{|1}Bx a x ==，且B A ⊆， ∴①0a=时，B =∅，满足B A ⊆； ②0a ≠时，1{}B a =，则11a =或2，解得1a =或， ∴实数a 的取值集合为1{0,1,}2．故选：A ．3．【解答】解：已知集合{|1}A x x =>，{|1}Bx a x =>， 若B A ⊆，则A 集合包含B 集合的所以元素， 解B 集合时，当0a <时，不满足题设条件， 当0a =时，x 无实数解，B 集合为空集，满足条件， 当0a >时，1x a >，则11a，1a ，即01a <，综上则实数a 的取值范围为：[0，1， 故选：C ．4．【解答】解：由已知可得(1,2)A B =-，而(23,3)C aa =-， 由()C A B ⊆，则①C =∅时，233a a -，解得13a ，此时满足题意， ②C ≠∅时，要满足题意，只需23323132a aa a -<⎧⎪--⎨⎪⎩，解得1233a <， 综上，a 的取值范围为：23a， 故选：D ．5．【解答】解：（1）当1a =时，集合{|13}A x x =<<，集合{|23}B x x =<． {|23}A B x x ∴=<<， {|13}A B x x =<． （2）集合{|3Ax ax a =<<，0}a >，集合{|23}B x x =<． AB =∅， ∴当A=∅时，3a a ，解得0a ，不合题意， 当A ≠∅时，33a a a <⎧⎨⎩或332a a a <⎧⎨⎩， 解得3a 或23a． 又0a >，故实数a 的取值范围是(0，2][33，)+∞．6．【解答】解：（1）当2m =时，{|121}{|13}B x m x m x x =-+-=-，{|24}A x x =，{|3R Bx x =>或1}x <-， (){|34}RA B xx =<； （2）AB =∅， 当B =∅时，211m m-<-，可得23m <；当B ≠∅时，则211m m --且14m ->， 或211m m --且212m -<， 解得m ∈∅或2332m <， 综上所述，m 的取值范围是3(,)2-∞．7．【解答】解：（1）当2a =时，2680x x -+，即(2)(4)0x x --，解得24x ，故[2B =，4]；（2）2:{|560}[2p A x x x =-+=，3]，223:{|()0}[q B x x a a x a a =-++=，2]a ，如果q 是p 的必要条件， 则A B ⊆，∴223a a ⎧⎨⎩2a ，故a 的取值范围为[2]．8．【解答】解：（1）A ≠∅， 当1a =时，2{}3A =，符合题意； 当1a ≠，2(1)320a x x -+-=总有根，故△98(1)0a =+-，解得18a -；综上可得，实数a 的取值范围是1[8-，)+∞； （2）B =， A B A=，A B ∴⊆， 若△98(1)0a =+-<，即18a <-，A =∅，满足题意； 若△0=，即18a =-，4{}3A =，不满足AB ⊆，应舍去； 若△0>，即18a >-，A ，根据韦达定理，331221a a ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩，解得2a =； ∴实数a 的取值范围为1{|2}8a a a <-=或．题型二1．【解答】解：当1a >时，f （a ）3514a =>≠-，此时a 不存在 当1a ，f （a ）2524a a =-+=-即24850a a --= 解可得12a =-或52a =（舍 综上可得12a =-故选：C ．2．【解答】解：(0xya a -=>且1)a ≠为增函数，01a ∴<<，11y x =+在(1,)-+∞上为减函数， ∴根据复合函数的单调性可知函数1()log 1af x x =+在(1,)-+∞单调递增， ∴排除A ，C ． 又当1x =时，f （1）有意义，排除B ． 故选：D ．3．【解答】解：函数2()l o g (0afx x a =>且1)a ≠在区间[2，4]上的最大值与最小值的差为1，∴当1a >时，()f x 在[2，4]上单调递增， f ∴（4）f -（2）l o g 16l o g 41a a=-=，4a ∴=； 当01a <<时，()f x 在[2，4]上单调递减， f ∴（2）f -（4）l o g 4l o g 161a a=-=，∴14a =． a ∴的值为4或． 故选：C ．4．【解答】解：已知1a >，故函数1x y a -=是增函数． 而函数l o g()a y x =-的定义域为(,0)-∞，且在定义域内为减函数， 故选：B ．5．【解答】解：由题意可得，0a >且1a ≠， 令()12tx a x =-，则该函数是减函数，要使函数()l o g (12)afx a x =-在区间[0，1上是增函数，则01(1)120a t a <<⎧⎨=->⎩，解得102a <<． ∴实数a 的取值范围是1(0,)2． 故选：A ．6．【解答】解：()|3||1|f x x x =--+， ∴当1x<-时，340x -<-<，10x +<， ()(3)[(1)]314f x x x x x =----+=-++=； 当13x -时，30x -，10x +，()(3)(1)3122f x x x x x x =---+=-+--=-+； ()f x ∴在1x =-时取最大值()2(1)24m a xf x =-⨯-+=；在3x =时取最小值()2324m i nf x =-⨯+=-； 当3x >时，30x ->，10x +>， ()(3)(1)4f x x x =--+=-； 终上所述：4,1()22,134,3x f x x x x <-⎧⎪=-+-⎨⎪->⎩．其值域是[4-，4]，即最小值是4-，最大值是4．故选：B ．7．【解答】解：因为21(1)3,(1)(),(1)x a x a x a x f x a x -⎧-++=⎨<⎩是定义域上的递减函数，所以，0112(1)131a a a a a a ⎧<<⎪⎪-⎨-⎪⎪-++⎩ 解得，205a<． 故选：B ．8．【解答】解：由题意，0a >且1a ≠， 函数2()l o g (2)a fx a x x =-在区间12，1)上是增函数， 当01a <<时，可得2()2gx a x x =-在12，1)上是减函数，其对称轴方程为1x a =，开口向上， 则11a 且g （1）0，即20a -，得2a （舍去）；当1a >时，可得2()2gx a x x =-在12，1)上是增函数，其对称轴方程为1x a =，开口向上， 则112a 且1()02g ， 即21104a a ⎧⎪⎨-⎪⎩，得4a ． 综上可得：实数a 的取值范围是[4，)+∞．故选：B ．9．【解答】解：P 为真时，()f x 是增函数，则1m >， q 为真时，则223y mx x m =-+可以取遍所有正值， 又0m >，∴△0，解得：103m <， p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，则p 、q 一真一假，p 真q 假时，1m >且13m >或0m ，解得1m >， p 假q 真时，1m 且103m<，解得103m <， 综上：1m >或103m <， 故选：C ．10．【解答】解：（1）f （1）0=，|1|0m ∴-=， 即1m =； 22(1)()|1|(1)x xx f x xx x xx ⎧-∴=-=⎨-+<⎩． （2）函数图象如图： （3）函数单调区间：递增区间：1(,],[1,)2-∞+∞， 递减区间：1[1]2．11．【解答】解：当0a >时，由f （a ）()f a >-得212log log a a >，即22l o g l o g a a >-，可得：1a >；当0a <时，同样得()()122lo g lo g a a -->，即()()22l o g l o g a a --->．可得：10a -<<； 综上得：11a -<<或1a >． 所求a 的范围是：(1-，0)(1⋃，)+∞ 12．【解答】解：（1）当1a =-时，1x -，则()(2)fx x x =+，可得单调增区间为[1-，)+∞； 1x <-，()(1)fx x =--，可得单调减区间为(-∞，1]-； 故函数()f x 的单调增区间为[1-，)+∞；单调减区间为(-∞，1]-．（2）方程()0f x =仅有一个实数根，当1a >时，可得()(1)0f x a x =-=，存在一个实数根1， 那么()(2)0f xx xa =-=，存在一个实数根2a ， 故1a >不符合题意； 当10a >时，可得()(1)0f x a x =-=，不存在一个实数根， 那么()(2)0f xx xa =-=，对称轴x a=，存在一个实数根2a ， 当0a <时，可得()(1)0f x a x =-=，不存在一个实数根， 那么()(2)0f xx xa =-=，对称轴x a=，存在一个实数根0 综上可得实数a 的取值范围是(-∞，0)(0⋃，1． 13．【解答】解：（Ⅰ）要是函数有意义，则2020x x +>⎧⎨->⎩， 解得22x -<<， 故函数()f x 的定义域为(2,2)-（Ⅱ）()l o g (2)l o g (2)[l o g (2)l o g (2)]()a a a af x x x x x f x -=--+=-+--=-， 所以函数()f x 为奇函数（Ⅲ）2()l o g (2)l o g (2)2a a a x fx x x l o g x +=+--=-，()l o g (3)a f x x ． ∴2log (3)2a a x log x x+-，02x << 当01a <<时，232x x x +-，解得213x ，当1a >时，232x x x+-，解得12x <，或203x <， 14．【解答】解：（1）224,4()|4|4,4x x x f x xx x x x ⎧-=-=⎨-+<⎩， 其图象如图：由图可知，当(m ∈-∞，0)(4⋃，)+∞时，方程()f x m =有1个实根， 当0m =或4时，方程()f x m =有2个实根， 当(0,4)m ∈时，方程()f x m=有3个实根； （2）函数()||()f x x x a a a R =--∈， 命题若存在[3x ∈，5]，使()0f x <成立的否定为[3x ∀∈，5]，使()0f x 成立．下面求使命题[3x ∀∈，5]，使()0f x 成立的a 的范围． ①若3a <，则3x =时，()f x 在[3，5]上取得最小值，f （3）3(3)94a a a =--=-， 940a ∴-，即94a；②若35a ，则x a =时，()f x 取得最小值为f （a ）a =-，0a -<不满足()0f x 恒成立； ③若5a >，(){m i nf x m i n f =（3），f （5）}{3(3)m i n a a =--，5(5)}0a a --， 解得254a． 综上可得，[3x ∀∈，5]，使()0f x 成立的a 的范围是925(,][,)44-∞+∞， 则存在[3x ∈，5]，使()0f x <成立的a 的取值范围为925(,)44．。
