二倍角公式的应用,推导万能公式

必修4 第三章 三角恒等变换
(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)
＝2((11＋＋ssiinn
θ)2＋2cos2θ θ)2－cos2θ
＝2si4n(1θ＋(1＋sinsiθn) θ)＝sin2 θ.
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
1．对二倍角的理解及二倍角公式的应用形式 (1)对于“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8α 是 4α 的二倍角；6α 是 3α 的二倍角；4α 是 2α 的二倍角；3α 是32α 的二倍角；α 是α2的二倍角；α3 是α6的二倍角；… 又如 α＝2×α2，α2＝2×α4，…
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
[题后感悟] 被化简的式子中有切函数和弦函 数时，常首先切化弦，然后分析角的内部关系， 是否有互余或互补的，若有，应用诱导公式转 化，若没有，再分析角间是否存在线性关系， 并利用两角和与差的三角函数展开，经过这样 处理后，一般就会化简完毕．
必修4 第三章 三角恒等变换
记法
公式
S2α sin2α＝__2_si_n_α_c_o_s_α___
C2α
cos2α＝__c_o_s2_α_－__s_in__2α_＝__1_－__2_s_in_2_α__ ＝__2_c_o_s2_α_－__1_
T2α
2tanα
tan2α＝__1_－__t_a_n_2α___
必修4 第三章 三角恒等变换
弦、正切公式的记 忆．(易混点) 3.二倍角公式及变形 公式的应用．(难点)
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
1．如右图(甲)所示，已知弓弦的长度AB＝2a， 弓箭的长度MN＝2b(其中MA＝MB， MN⊥AB)．假设拉满弓时，箭头和箭尾到A、B 的连线的距离相等(如右图(乙)所示)，设∠AMN ＝α，你能用a，b表示∠AMB的正切值即tan 2α 的值吗？

二倍角公式的应用1、什么是二倍角公式，二倍角公式怎么来的2、二倍角公式的理解，重点是“倍”的理解先熟悉公式，口算下列各题 0002220202tan15(1)sin 22.5cos 22.5;(2)cos sin ;(3);(4)12sin 75881tan 15ππ---一、公式的正应用5124441342ππααααα=<<.sin ,sin cos tan .例已知，求，， 变式训练：（1）已知4cos ,812,sin ,cos ,tan 85444ααααπαπ=-<<求的值. （2）4.,cos A ,tan 2,tan(22)5ABC B A B ∆==+在中求的值 11tan 2,tan 3112tan ,tan ,tan(2)73αααβαβ===+例2.（）已知求的值 （）已知求的值 二、公式的逆应用例3.()(1)8sin cos cos cos .48482412ππππ︒︒︒︒2sin10sin30sin50sin70 2tan 22.51 (4)tan 1-tan 22.512tan 12ππ-。

（3） 变式训练 24cos (1)cos36cos72 (2)sin15cos30sin 75 (3)1tan 2tan 2ααα- 三、公式的变形应用22222221sin 2sin cos 2sin cos =sin cos 1cos 22cos 1cos 22sin 1cos 21cos 2cos sin 22ααααααααααααααα±=+±±+=-=+-==（）降幂一次角翻倍，升幂一次角减半 例4.化简变式训练例5.已知α为第二象限角，且sin α=sin()4sin 2cos 21πααα+++变式训练：例6.已知sin cos (0,)αααπ-=∈，求sin 2α变式训练1. 1sin cos sin 225ααα-=求2. sin cos (0,)4πααα-=∈，求tan 2α 3.在ABC 中，sin C cos 1sin2C C +=-，求sin C 的值 例7.半角公式的应用2221cos cos ,21co 1cos sin ,22s t 12an 2cos ααααααα+-=+=-= 7cos sin cos tan 25222αααα=已知求、、的值 变式训练：3cos ,0sin cos tan 52222πααααα⎛⎫=∈-⎪⎝⎭已知，，求、和． 例8.综合应用 已知13tan(-)=,sin ,(,)252ππαββπ=∈，求tan(2)αβ-的值 变式训练：已知33cos(),4522πππαα+=≤<，求cos(2)4πα+的值 例9.万能公式的推导及应用 22222tan1tan 2tan 222sin ,cos ,tan 1tan 1tan 1tan 222ααααααααα-===++-tan 24sin 23cos 25tan 2αααα=-+-已知，求． 变式训练：已知1,tan 2202παα<=<，求sin ,cos ,tan ααα的值。

一、两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB二、倍角公式三、三倍角公式四、半角公式五、和差化积六、积化和差七、诱导公式八、万能公式九、其它公式十、双曲函数其他三角函数公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanαcot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：公式七：。

万能公式三角函数推导过程三角函数是数学中非常重要的一个概念，而万能公式更是在解决三角函数问题时的得力工具。

那咱们就一起来瞧瞧这万能公式到底是怎么推导出来的。

还记得我读高中的时候，有一次数学考试，最后一道大题就是关于三角函数万能公式的应用。

当时我看到题目，心里那叫一个紧张啊，因为之前对万能公式的推导理解得不是特别透彻。

但没办法，硬着头皮也得上啊！我就开始回忆老师讲过的那些推导步骤。

咱先来说说万能公式到底是啥。

万能公式就是用同一个变量 t （通常是 tan(x/2) ）来表示正弦、余弦和正切函数。

具体来说，就是 sinx = 2tan(x/2) / (1 + tan²(x/2)) ，cosx = (1 - tan²(x/2)) / (1 + tan²(x/2)) ，tanx = 2tan(x/2) / (1 - tan²(x/2)) 。

那它们是怎么推导出来的呢？咱们先从正弦函数 sinx 开始。

根据三角函数的半角公式，sinx = 2sin(x/2)cos(x/2) 。

这时候咱们再利用同角三角函数的关系，把 sin(x/2) 和 cos(x/2) 用 tan(x/2) 表示出来。

因为sin(x/2) = tan(x/2) / √(1 + tan²(x/2)) ，cos(x/2) = 1 / √(1 + tan²(x/2)) ，所以sinx = 2tan(x/2) / (1 + tan²(x/2)) 。

接下来看看余弦函数 cosx 。

根据余弦函数的二倍角公式，cosx = cos²(x/2) - sin²(x/2) 。

还是把 sin(x/2) 和 cos(x/2) 用 tan(x/2) 表示，经过一番化简，就得到了 cosx = (1 - tan²(x/2)) / (1 + tan²(x/2)) 。