力学中的泛函分析和变分原理第一讲

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§1.1 线性空间
子空间
设������是线性空间������的子集，如果对于任意������, ������ ∈ ������及任意实数������, ������ , 均有
������������ + ������������ ∈ ������, 则称������是������的一个子空间。子空间本身也是一个线性空间，且 必包含零元素。 设������是线性空间，������1 和������2 是������中的两个子空间, 如果������中任意元素均可唯一 的表示为������ = ������1 + ������2 , 其中������1 ∈ ������1 , ������2 ∈ ������2 , 则称������是������1 和������2 的‚直和‛， 记作：������ = ������1 ⊕ ������2 . 且������1 和������2 称为互补子空间。 线性空间������1 和������2 的和是‚直和‛的充分必要条件是������1 ∩ ������2 = ������, 这时任意 的������1 ∈ ������1 , ������2 ∈ ������2 都是线性无关的。
一个线性流形。（其中������������ ������ , ������ ������ ∈ ������ ������, ������ ） 6
§1.1 线性空间
线性空间中的凸集
设 ������ 是 线 性 空 间 ������ 的 一 个 集 合 ， 如 果 对 任 意 ������, ������ ∈ ������ 及 ������ + ������ = 1 , ������ ≥ 0, ������ ≥ 0 , 均有： ������������ + ������������ ∈ ������ 则称������是������中的凸集。(1.1.1)可改为 1.1.1
第五章：泛函的极值
第六章：力学中的变分原理
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§1.1 线性空间
线性空间的定义：设������为非空集合，如果
(1) 对于������中任意两个元素������和������, 均对应������中的一个元素，称为������与������的和，记作 ������ + ������; (2) 对于������中任一元素������和任一实数������, 均对应于������中一个元素，称为������与������的数乘， 记为������������; (3) 上述两种运算满足下列运算规律（������, ������, ������为������中任意元素，������和������为任意实数） a) ������ + ������ = ������ + ������ b) ������ + ������ + ������ = ������ + ������ + ������ c) ������中存在唯一的‘零元素’������，满足������ + ������ = ������, ∀������ ∈ ������; 且∀������ ∈ ������, 存在 唯一的‘负元素’−������ ∈ ������, 满足������ + −������ = ������ d) ������ ������������ = ������������ ������ e) 1 ⋅ ������ = ������, 0 ⋅ ������ = ������ f) ������ ������ + ������ = ������������ + ������������ g) ������ + ������ ������ = ������������ + ������������
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§1.1 线性空间
线性空间的同构
设������和������是两个线性空间, 如果������和������之间存在一一对应关系������, (对任意元素������ ∈ ������, 均有唯一的元素������ ∈ ������与之对应，记为������ = ������ ������ ; 反之，对于任意������ ∈ ������， 均有 唯一的������ ∈ ������, 满足������ ������ = ������ ), 使得对任意的������, ������ ∈ ������, 及任意实数������, 均有等式 ������ ������ + ������ = ������ ������ + ������ ������ ������ ������������ = ������������ ������ 则称空间������和������是线性同构的，简称同构，而������称为同构映射。
= ������
������×1 有解，其系数矩阵的秩为������,
则
其解的全体是ℝ������ 中的一个������ − ������维线性流形。对与非其次常微分方程也有类
似的结论： ������
������ ������−1
+ ������1 ������ ������
+ ⋯ + ������������ ������ ������ = ������ ������ 解的全体构成了线性空间������ ������, ������ 的
������������ + 1 − ������ ������ ∈ ������, ������ ∈ 0,1
1.1.1
若������ = ℝ2 , 则当������取遍 0,1 中的数值时， ������������ + 1 − ������ ������表示连接������, ������这两点 的直线段。因此从直观上看ℝ2 中的凸集就是通常的凸几何模型。
研究生课程
力学中的泛函分析 与变分原理
第一讲：线性赋范空间
授课教师：郭旭教授
大连理工大学工程力学系
课 程 简 介
课程概括：
带上‚3D眼镜‛ 看高等数学和力学基本原理
参考教材：
《应用泛函分析》，柳重堪，国防工业出版社
授课教师：
郭旭教授，综合实验一号楼515 研究方向：结构优化、计算力学、纳米力学、细观力学等
∞ ������=1 是距离空间
������, ������ 中的元素序列，如果 ������, ������ 中有元素������满足：
������→∞
lim ������ ������������ , ������ = 0
则称 ������������ 是收敛序列，������称为它的极限，记为������������ → ������. 推论：如果序列 ������������ 有极限，则极限唯一。因为如果������与������都是������������ 的极限，则有 0 ≤ ������ ������, ������ ≤ ������ ������, ������������ + ������ ������, ������������ . 于是有������(������, ������) = 0, 即������ = ������.
������������ = ������������ ������1 , ������2 , … , ������������ , ������ = 1,2, … , ������
流形是曲线和曲面概念的推广。 设������元线性代数方程组 ������
������������
������
������×1
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研究生课程
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§1.2 距离空间
距离空间
设������为非空集合，若对于������中的任意两个元素������, ������, 均有一个实数与之对应，此 实数记为������(������, ������)，它满足： (1) 非负性：������ ������, ������ ≥ 0; 且������(������, ������) = 0的充要条件是������ = ������ (2) 对称性：������(������, ������) = ������ ������, ������ (3) 三角不等式：������ ������, ������ ≤ ������ ������, ������ + ������ ������, ������ , 其中������是������中任意元素 则称������(������, ������)为������, ������的距离，称������是以������为距离的‚距离空间‛。 欧氏空间：定义了内积的向量空间称为欧氏空间。 设 ������������
教学资源：
超星学术视频力学《力学中的泛函分析与变分原理》
时间地点：
3-10周，周二56节研教楼303，周四78节研教楼303
课 程 章 节
第一章：线性赋范空间 线性泛函与共轭空间
第五章：泛函的极值
第六章：力学中的变分原理
课 程 章 节
第一章：线性赋范空间 第二章：希尔伯特空间 第三章：有界线性算子 第四章：有界线性泛函与共轭空间
设 ������, ������ 为距离空间，������是其中一个子集， ������0 ∈ ������. 如果存在关于������0 的 球形邻域������������ ������0 , 满足������������ ������0 ⊂ ������, 则称������0 是集合������的内点。如果������的 所有元素都是������的内点，则������是开集。 设������ ⊂ ������, ������ , ������0 ∈ ������, 如果任一包含������0 的球������������ ������0 中总含有集合������的异于 ������0 的点，则称������0 是集合������的聚点（或极限点）。 令������ ⊂ ������, ������ 的所有聚点所构成的集合为������′ , 则集合������ = ������⋃������′ 称为������的 闭包。如果集合������满足������ ⊃ ������, 则称集合������为闭集。