《数值分析》课程考试.

课程编号：A072121复旦大学2016-2017学年第二学期2016级《数值分析》期末试卷(B 卷)（本试卷共6页、八个大题，满分100分；答题前请检查是否有漏印、缺页和印刷不清楚的情况，如有此种情况，请及时向监考教师反映）一、求解下列各题（每小题6分）1.已知直线3221:+==-z m y x L 与平面02:=++-D z y x π平行，且L 到π的距离为6,求m 与D 的值.2.设)()(1y x y xy f xz ++=ϕ,其中ϕ,f 二阶可导,求y x z ∂∂∂2.3.计算第二类曲线积分dy y xdx y x I L ⎰+= 2 ，其中L 是曲线x y =上从点)1 , 1(A 到点)2 , 4(B 的弧段.4.设有级数)11ln(1)1(11n n n pn +-∑∞=-,指出p 在什么范围内取值时级数绝对收敛,在什么范围内取值时级数条件收敛,在什么范围内取值时级数发散(要说明理由).二、解下列各题（每小题7分）1.已知n是曲面1222=+-z y x 在点)1 , 2 , 2(处指向z 增大方向的单位法向量,z z xy u ln 2-=,求)1 ,2 , 2(nu∂∂.2.将函数231)(2++=x x x f 展开成)1(-x 的幂级数,并求收敛区间及)1()5(f 的值.3.计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV x I 2,其中Ω是由柱面2x y =与平面1=y ,0=z ，2=z 所围成的立体.4．求二元函数y x y x x y x f z 293),(223+---==的极值点与极值.三、(8分)设1)(2+=x x f ，ππ≤≤-x ,将)(x f 展开成以π2为周期的傅里叶级数.四、（8分）设V 是由曲面222y x z --=与22y x z +=围成的立体,求V 的表面积.五、(8分)计算第二类曲面积分⎰⎰++=Sdxdy dzdx y dydz x I 33,其中S 是曲面22y x z +=)10(≤≤z 的下侧.六、（8分）求幂级数∑∞=+12)(n n x n n 的收敛域与和函数.七、(8分)已知在半平面0>x 内dy y x y x dx y x y x λλ))(())((2222++++-为二元函数),(y x f 的全微分.(1)求λ的值；(2)求)0 , 2()3 , 1(f f -的值.八、（8分）设}|),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，其中0>t .已知)(x f 在) , 0[∞+内连续，又设⎰⎰⎰Ω++=)( 222)()(t dxdydz z y x f t F .（1）求证：)(t F 在) , 0(∞+内可导，并求)(t F '的表达式；（2）设0)0(≠f ，求证：级数∑∞=-'111(n n F n λ在0>λ时收敛，0≤λ时发散.(此页纸不够时可写到背面)2016级《数值分析》期末试卷(B 卷)参考答案与评分标准一．求解下列各题1.直线过点(1,0,-2)，方向向量}3,,2{m s = ，平面法向量}2,1,1{-=n--------------------2分062}3,,2{}2,1,1{=+-=⋅-⇒⊥m m s n8=⇒m ------------------------------------4分6411|401|=+++--=D d 3,9-=⇒D ------------------------------------------------------6分或过)2,0,1(-与π,L 垂直的直线方程为22111+=-=-z y x 与π交点：321,615,69-=-=-=D z D y D x 6)2321()65()169(222=+-+-+--=D D D d .9,3-=⇒D 2.)()()(12y x y xy f x yxy f x x z +'+'+-=∂∂ϕ------------------------------------------------3分)()()(2y x y y x xy f y yx z+''++'+''=∂∂∂ϕϕ------------------------------------------------6分3.dy y x dx y x L+⎰2=dxxx x x x ⎰⋅+41221(-------------------------------------------------3分10139]2152[4125=+=x x -------------------------------------6分4.11)11ln(1lim 1=++∞→p pn n n n∑∑∞=∞=++-11)11ln(1|)11ln(1)1(|n pn p nn n n n 与有相敛散性----------------------------------2分1)0>p ，绝对收敛；2)01≤<-p ，条件收敛；3)1-<p ，发散。

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。

它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。

数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。

2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。

它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。

数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。

3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。

与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。

数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。

4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。

在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。

计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。

第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。

例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。

绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。

2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。

对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。

相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。

3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。

计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。

舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。

4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。

数值分析课程第五版课后习题答案课后习题一：a) 求解非线性方程f(x) = x^3 - 2x - 5的根。

解答：可使用牛顿迭代法来求解非线性方程的根。

牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中x_n为第n次迭代的近似解。

对于给定的方程f(x) = x^3 - 2x - 5，计算f'(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 2。

选择一个初始近似解x_0，并进行迭代。

迭代的终止条件可以选择两次迭代间的解的差值小于某个预设的精度。

b) 计算矩阵加法和乘法的运算结果。

解答：设A和B为两个矩阵，A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A和B的加法定义为C = A + B，其中C的元素为c_ij = a_ij + b_ij。

矩阵乘法定义为C = A * B，其中C的元素为c_ij = ∑(a_ik * b_kj)，k的取值范围为1到矩阵的列数。

c) 使用插值方法求解函数的近似值。

解答：插值方法可用于求解函数在一组给定点处的近似值。

其中，拉格朗日插值法是一种常用的方法。

对于给定的函数f(x)和一组插值节点x_i，i的取值范围为1到n，利用拉格朗日插值多项式可以构建近似函数P(x)，P(x) = ∑(f(x_i) * l_i(x))，其中l_i(x)为拉格朗日基函数，具体表达式为l_i(x) = ∏(x - x_j)/(x_i - x_j)，j的取值范围为1到n并且j ≠ i。

课后习题二：a) 解决数值积分问题。

解答：数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。

常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。

矩形法采用矩形面积的和来近似曲边梯形的面积，梯形法采用等距离子区间上梯形面积的和来近似曲边梯形的面积，而辛普森法则利用等距离子区间上梯形和抛物线面积的加权和来近似曲边梯形的面积。

b) 使用迭代方法求解线性方程组。

解答：线性方程组的求解可以通过迭代方法来进行。

= (N + 1) − N 1 + N (N + 1)
=
N2
1， + N +1
∫N +1
因此
1
dx = α − β = arctan
1
。
N 1+ x2
N2 + N +1
9、正方形的边长大约为 100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过 1 cm2 ?
[ 解 ] 由 ε * ((l * )2 ) = [(l * )2 ]′ ε * (l * ) = 2l *ε * (l * ) 可 知 ， 若 要 求 ε * ((l * )2 ) = 1 ， 则
∆s = 2
2
2
s 所以
1 ab sin c
。
2
= ∆c + ∆b + ∆c ≤ ∆c + ∆b + ∆c c b tan c c b c
第二章 插值法（40-42）
1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令
1
Vn
(x0
,
x1 ,,
xn−1 ,
x)
=
1
x0 xn−1
x02
x
2 n−1
2
2
2
= 0.59768 ×10−3 + 212.48488 ×10−3 + 0.01708255 ×10−3
= 213.09964255 ×10−3 = 0.21309964255
（3）
x
* 2
/
x4*
。
∑ e* (x2*
/
x
* 4
)
=
n k =1

∂f ∂xk