高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制2课后习题新人教A版必修4
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1 1.1.2 弧度制
课后篇巩固探究
1.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.π B.-π
C.π D.-π
解析显然分针在1点到3点20分这段时间里,顺时针转过了两周又一周的,用弧度制表示就是-4π-×2π=-π.
答案B
2.若α=-3,则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析因为-π<-3<-,所以α=-3的终边在第三象限.
答案C
3.将2 025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是( )
A.10π- B.10π+
C.12π- D.10π+
解析2 025°=5×360°+225°,又225°=,故2 025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式为10π+.
答案B
4.导学号68254003集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(
)
2 解析当k=2n,n∈Z时,2nπ+≤α≤2nπ+,表示第一象限中的一部分角;当k=2n+1,n∈Z时,2nπ+≤α≤2nπ+,表示第三象限中的一部分角,故选C.
答案C
5.已知一扇形的周长为20 cm,当这个扇形的面积最大时,半径r的值为( )
A.4 cm B.5 cm
C.6 cm D.7 cm
解析设扇形的圆心角为α,由题意可得2r+αr=20⇒α=,所以扇形的面积S=αr2=×r2=10r-r2=-(r-5)2+25,所以当r=5时,扇形的面积最大.
答案B
6.设集合M=,N={α|-π<α<π},则M∩N等于 .
解析当k=-1,0,1,2时M中的角满足条件,故M∩N=.
答案
7.若角α的终边与角的终边关于直线y=x对称,且α∈(-4π,4π),则α=
.
解析
如图所示,设角的终边为OA,OA关于直线y=x对称的射线为OB,则以OB为终边且在0到2π之间的角为,
故以OB为终边的角的集合为{α|α=2kπ+,k∈Z}.
∵α∈(-4π,4π),∴-4π<2kπ+<4π,
∴- ∵k∈Z,∴k=-2,-1,0,1. 3 ∴α=-,-. 答案-,- 8. 圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚动.经过若干次滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路程长度为 . 解析 因为圆O的半径r=1,正方形的边长a=1,所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为,正方形在圆周上滚动时,点的位置如图所示,故当点A首次回到点P的位置时,正方形在圆周上滚动了2圈,而自身滚动了3圈.设第i(i∈N*)次滚动点A的路程为Ai,则A1=×AB=,A2=×AC=,A3=×DA=,A4=0,所以点A所走过的路程长度为3(A1+A2+A3+A4)=π. 答案π 9.已知α=-800°. (1)把α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角; (2)求角γ,使γ与角α的终边相同,且γ∈. 解(1)∵-800°=-3×360°+280°,280°=, ∴α=+(-3)×2π. ∵角α与终边相同,∴角α是第四象限角. 4 (2)∵与角α终边相同的角可写为2kπ+,k∈Z的形式,而γ与α终边相同,∴γ=2kπ+,k∈Z. 又γ∈,∴-<2kπ+,k∈Z, 解得k=-1.∴γ=-2π+=-. 10.导学号68254005如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求: (1)的长; (2)弓形(阴影部分)的面积. 解(1)∵120°=,∴=6×=4π,∴的长为4π. (2)过点O作OD⊥AB于点D,则D为AB的中点, AB=2BD=2·OB·cos 30° =2×6×=6, OD=OB·sin 30°=6×=3. ∵S扇形AOB=·OB=×4π×6=12π, S△OAB=·AB·OD=×6×3=9, ∴S弓形=S扇形AOB-S△OAB=12π-9. ∴弓形的面积为12π-9.
