关于一阶常微分方程积分因子的求法
摘要
目前关于一阶常微分方程积分因子的求解方法介绍比较零散，一般的教科书中大都局限在一些简单的情况，如公式法一般只给出含有x或y的一元函数的积分因子的情形，很少涉及到二元的情况，对积分因子的求法并没有一个系统全面的总结，故积分因子的求法有广阔的研究空间.一阶常微分方程灵活多变，有多种不同的方程类型，因而可针对不同类型的方程，研究与其适应的求解方法. 本课题将根据积分因子的定义及性质，通过不同的分类方法，在原有求积分因子方法的基础上，对多种求法进行加深和扩充，系统地总结出一些较为规律的求解方法：观察法、公式法和分组法，给出这些方法的使用条件，并对方法的可行性进行证明，结合具体问题进行分析讨论，通过对这三种方法的研究，解决了某些一阶常微分方程的求解问题.
关键词一阶，积分因子，全微分方程，观察，公式，分组，通解
The Solution about First Order Differential
Equation of Intergral Factor
ABSTRACT
At present about first order differential equations solving method of integral factor is introduced, the comparison scattered in general mostly confined to a textbook, such as some simple formula general give only contain x or y unary function of integral factor of the situation, rarely involve the condition of dual integral factor of sapce and no system, so overall summary of integral factor of sapce has broad research space. A flexible and order ordinary differential equations, and there are many different types of the equation, thus the equation of different types, with the solving method to study. This topic will be based on
the definition and properties of integral factor, through different classification method and
way of integrating factors in original for the foundation, on the various sapce for deepening and expanded, systematically summarizes some relatively regular solution: observation, formula and grouping law, given these methods using conditions, and feasibility of the method is proved that combined with concrete problems are discussed, based on the three methods to study and resolve some of the first order differential equation problem solving.
KEYWORDS first-order,Integral factor, observation,formula,grouping,general solution.
目录
1 引言 (1)
2 几种变系数齐次线性方程的求解方法 (1)
2.1 降阶法 (1)
2.2 常系数化法 (8)
2.3 幂级数法 (17)
2.4 恰当方程法 (20)
3 结束语 (23)
4 致谢语 (23)
参考文献 (24)
1 引 言
常微分方程是数学科学联系实际的主要桥梁之一。其主要的研究问题是对常微分方程求解。在常微分方程理论中, 一阶常微分方程是微分方程的基础，在常微分中占有举足轻重的地位，一阶常微分方程的初等解法主要有两种:一是利用变量代换法,将方程化成变量分离型方程求解;另一种就是找出方程的积分因子,将方程化为全微分方程进行求解。这种利用积分因子将方程化为全微分方程进行求解的方法既灵活又难掌握,所以系统地研究积分因子的求法很有必要且是非常有意义的。
通过对相关资料的查阅及分析，现有的教材对一阶微分方程的积分因子的求法都有介绍，但大都局限在一些简单的情况，如公式法一般只给出含有x 或y 的一元函数的积分因子的情形，很少涉及到二元的情况，对积分因子的求法并没有一个系统全面的总结，故积分因子的求法有广阔的研究空间。
本课题将根据积分因子的定义及性质，通过不同的分类方法，在原有求积分因子方法的基础上，对多种求法进行加深和扩充，系统地讨论一阶微分方程的积分因子的求解方法（观察法、公式法及分组法），给出一些方法的使用条件，并对方法的可行性进行证明，结合具体问题进行分析讨论，为解决某些非全微分方程的求解问题提供了更加快捷的工具，避免了某些方程的求解方法的繁琐及盲目。 2
几种一阶微分方程的积分因子的求法
2．1 观察法
对于一些简单的微分方程可通过适当分组，利用依一些常见的全微分方程公式观察可得到方程的积分因子，此法称之为观察法。
例2.1.1求解方程
dy dx
=
解：首先，使分母有理化，方程变为
dy dx y
=
再写成对称式
)
0ydy x dx -
=
()0xdy ydy +
-
=
注意到方程的第一组为
()2
2
1
2
x y
+的全微分，
第一组可乘微分函数()2
2
x y
?+后仍为二元函
数的全微分方程.又注意到第二组形式为，因而取()22
x y ?+=
于是方程变为
0dx =
即
d
x c -=
或写
2
2
2y cx c
=+
利用观察法求积分因子，首先要将方程进行适当的分组，若其中的一组为二元函数
(),U x y 的全微分方程，则方程可能有形如()(),U x y ?的积分因子，
()(),U x y ?为可微函数，最终形式有方程的其他组的形式确定。
例2.1.2求解方程()323ln 0ydx x x y y dy +-= 解： 把方程重新组合为
()323ln
0ydx xdy x y y dy +-=
即
()3
2
3ln 0d xy x y y dy -=
同样注意到方程的第一组为xy 的全微分，第一组可乘微分函数()()
1
m
xy xy ?=
后仍为二元
函数的全微分方程.又注意到第二组形式为323ln x y y dy -，尽量化为关于y 的微分方程，因而可取3m =，即取3
3
1x y
μ=
于是方程变为
()
()
3
3ln 0d xy y dy y
xy -
=
()()2
13
ln 02d d y
y xy ??--=?????
?
故原方程的通解为
()
()
2
2
13ln 2y c xy +=
且0y =，0x =，0xy =也是方程的解
例2.1.3 求解方程()()32432480y x y x dx x xy y dy +++++= 解：重新组合改写为
()()()3243
2480ydx xdy x y x dx xy y dy ??+++++=??
第一个项是全微分()d xy ，因此设积分因子通式是()xy ?，我们希望它也是第二项的积分因子，则应满足充要条件
M N N M
x
y y x μμ
???
????-=- ???????
即
()()()4332'344824xy y y x y x x x y ??
??+-+=-??
()()()4
3
'
3
4
424y
x
xy x y
?
?-+=-
所以
'
12
xy ??=-
+
则求得
()()
ln 22
12
d xy xy xy e
e
xy ?-
-++?
===
+
以12
xy +乘原方程，得
23
402
ydx xdy x dx y dy xy +++=+
得通解为
()3
4
33ln 2x y xy c +++=
利用观察法求方程的积分因子，必须熟悉一些常见的全微分方程公式.如 全微分方程0xdx ydy +=，根据
()
()
()()1222
2
2
2
12
21m m
x y x y
d x y
d n +??+??++=??+??
可以考虑的积分因子是：()22m
x y μ=+
全微分方程是0ydx xdy +=，根据
()
()()1
1
1m
m xdy ydx
d xy n xy -??+-=??-????
可以考虑的积分因子是：
()
1
m
xy
对于方程0ydx xdy -=（0xdy ydx -=）有积分因子分别为2
1x
-
，
2
1y
，1xy
-
，2
2
1x y
-
+，
2
2
1x y
- 全微分方程分别是：
2
ydx xdy
y d x
x -+??= ??? 2
ydx xdy
x d y
y ??-= ???
ln ||ydx xdy
x d xy y ??-= ??
?
2
2
arctan ydx xdy x d x y
y ??
-= ?+??
2
2
1
ln ||2ydx xdy x y d x y
x y ??
--=
?-+??
例2.1.4求解方程()()220xy y dx y x y dy -+++= 解：把方程重新组合为
()2
2
20xdy ydx xy dx y y dy -+++=
进一步化为
2
1210xdy ydx y xdx dy y ????-+++= ? ????
?
()()2
2
ln 0xdy ydx y
dx
d y y -+++=
第一组为x d y y d x -由上可知有多种积分因子使之化为全微分方程，注意到第二组
()()2
2
ln y
dx
d y y ++因而有积分因子
2
1y
方程两边乘以
2
1y
，得
()22
ln 0ydx xdy
dx d y y
y
--
+++=
即
()()2
ln 0x d d x d y y y ??-+++= ???
故原方程的通解为
2
ln x x y y c y
-+++=
且0y =也是方程的解
例2.1.5求解方程()()320x xy x y dx x y dy +++--= 解：经观察分组得
()()()2
2
0x x y
dx xdx ydy ydx xdy ++++-=
无论从()2
2
1
2
xdx ydy d x y
??
+=+
??
?
的角度考虑，
还是ydx xdy -的几种积分因子及将第一项关于x 的微分方程，都可以找到方程的积分因子
2
2
1x y
+
故方程两边乘以2
2
1x y
+得
()
()
2
22
2
2
2
02d x y
ydx xdy xdx x y
x y
+-+
+=++
222
11ln arctan 02
2x d x x y y ??+++= ???
故原方程的通解为
2
22
11ln arctan
022
x x x y
y
+
++=
例2.1.6解方程()310x
y xy e dx xdy ??-+++=??
解：各项重新组合为
()()310x ydx xdy xy e dx -+-+=
首先考虑到第一项ydx xdy -+的几种常见的积分因子2
1x
-
，
2
1y
，1xy -
，2
2
1x y
-
+，
2
2
1x y
-再由第二项()31x xy e dx -+尽量化为关于x 的微分故方程两边同乘以
2
1y
，得
()()2
110x
ydx xdy xy e dx y
-+-+= ()10
x
x d xy e dx y ??--+= ???
注意到方程的第一组为x y
-
的全微分，第一组可乘微分函数x y ???
???
后仍为二元函数的全微分方程.又注意到第二组形式为()1x xy e dx -+，因而取x x
y y ???=
???
于是方程变为
()210x
x
x d x e dx y y ??--+= ???
积分得原方程的通解为
()2
32112223
x
x x x x e c y ??++-+= ?
?? 另外0y =也是解
注：有时积分因子并不是一次性的观察解决问题的，需多步观察以解决问题.如经重新分组得()()310x ydx xdy xy e dx -+-+=，如果将第二项化为完全关于x 的微分是行不通
的，正就需要分步观察。
以上为几种常见的微分方程的积分因子，但通常所遇见的题目并不是（或不含有）以上几种简单的微分形式，这就需要熟练掌握微分计算，特别是二元微分。
例2.1.7求解方程()4
2
2
3
2cos 2sin 02x
x y x y dx x y xy y dy ??+++--= ???
解 将方程重新分组得
()()2
2
2
2
2cos sin 02x
y dx xydy x dx ydy x x ydx ydy ??-+++-= ???
根据第一项2
2y dx xydy -由全微分方程222
2y y dx xydy d x x ??-= ???
可知有积分因子21
x 方程两边同乘以
2
1x
，得
2
2
2
2cos sin 02y dx xydy
x
dx ydy x ydx ydy x
??-+++-= ???
即
22
2cos 022y y x d d x d y x ??????-+++= ? ? ???????
故方程的通解为
2
2
2
cos 2
2
y
y
x
x y c x
-++
+
=
其中0x =也是方程的解
利用观察法求积分因子将方程进行适当分组时，一般将相同次数的项分为一组，同时还要注意各项系数的关系，特别是分组后不能直接利用常见的全微分方程。
例2.1.8求解方程()()322320xy y dx x y x dy -++= 解：将原方程按次数重新分组有
()3
2
2
320xy dx x y dy xdy ydx ++-=
()()2
2
320
y
xydx x
dy xdy ydx ++-=
可以看出两组均不是二元函数的全微分，注意观察到第一组dx 前的系数为3，dy 的系数为1，因而方程两边同乘以x ，得
()()2
2
3
2
320y
x
ydx x dy x dy xydx ++-=
()()2
3
20y d x y xdy ydx +-=
对于第一项()23y d x y 将其化为全微分还需除去2y ，故方程两边同时乘
2
1y
得
()2
3
2
20x dy xydx
d x y y
-+
=
故原微分方程的通解为
2
3
x
x y c y
+
=
还有解0y = 2.2公式法
积分因子并非都是很容易观察出来的.一般地，设(),M x y ，(),N x y 及(),x y μ都是连续可微的，对于微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=，则积分因子(),x y μ必须满足关系式：
()
()
M N y
x
μμ??=
??
或其展开式：
M N N M
x
y y x μμ
μ??
????-=- ???????
（*）
这是一个以μ为未知函数的一阶线性偏微分方程，要想通过解这方程来求积分因子，在一般情况下，将比求解原方程更困难.是，对若干特殊情况，求出（*）的一个特解还是容易的.所以这也就提供了寻求某些特殊形式的积分因子的一个途径。
定理：方程()(),,0M x y dx N x y dy +=形式()(),x y μμ?=的积分因子的充分必要条件
是
()M
N
y x
F N M x y
??
?
??-??≡??-??且有积分因子()F d e ??μ?=
证明：设(),x y μ是()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子，则方程
()(),,0M x y dx N x y dy μμ+=
为全微分方程的充分必要条件是
M N N M
x
y y
x μμ
μ??????-=- ??????? （*）
即
1M N
N M x y y x
μμμ??????-=- ???????
这是关于未知函数为μ的一阶偏微分方程，令()(),x y μμ?=，则有
1du du M N N M d x d y y x
??μ????????-=- ???????
或
M
N
d y x
d N M x y
μ
??
?
μ
??-??=
??-??
令
()M N
y x
F N M x y
??
?
??-??≡??-??
则
()d F d μ
??μ
=
故得到
()F d e ??
μ?
= 得证
推论1 微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=有形为()x μ（只依赖于x ）的积分因子的充分必要条件是
()1M N y
x
F x N ??-??=
并且有
()1
F x dx
e μ?=
例2.2.1求解方程()220x y x dx xydy +++= 解 因为2M y y
?=?
N y
x
?=?
所以
21M N y y y
x
N xy
x
??--??==
根据公式，的积分因子
1
dx
x e
x μ?==±
原方程两端乘以x ,得
()3
22
2
0x
xy x
dx x
ydy +++=
或写成
()()3
2
2
2
0x
x
dx xy dx x ydy +++=
即
43221110
432d x x x y ??++= ???
因而方程的通解为
4
3
22
11143
2
x x x y c
+
+
=
推论2 微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=有形为()y μ（只依赖于y ）的积分因子的充分必要条件是
()2M N y
x
F y M
??-??=-.
并且有
()2
F y dy
e μ?
=
推论3 令(),x y ax by ?=±则微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=有形为()ax by μ±的积分因子的充分必要条件是
()3M N y
x
F ax by aN bM
??-??=± .
并且有
()3
F d e ??
μ?
=，其中，a ，b 为不同为0的常数. 例2.2.2求解方程()()33
332220x x y y dx y x y x dy ????+++++=????
解：由题意得
()2
2
626N y x y x y
x
?=++?
()2
2
323M x x y xy y
?=++?
()()()2
3222M N
x y x y xy x y y
x
????
-
=+-+-??
?? ()
()()3
2222bM aN x y bx ay xy by ax -=+-+-
令2a =，1b =，得
()322M N y
x
F x y bM aN
x y
??-??=-
=+-+
故积分因子为
()
()
3
223
1
2d x y x y e
x y μ-++?==
+
方程两边同乘以积分因子得
()
()()()333
33
31
1222022x x y y dx y x y x dy x y x y ????+++++=???
?
++ 化简得
()
()
3
3
3
3
1
1
2022xdx ydy xy dx x ydy x y x y ++
+
=++
()2
22
02xy d x y d x y ??++= ?+??
故方程的通解为
2
22
2xy x y c x y ??++= ?+??
推论 4 令(),x y xy ?=则微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=有形为()xy μ的积分因子的充分必要条件是
()4M N y
x
F xy yN xM
??-??=-
并且有
()4
F d e ??
μ?
=
推论5 令(),x x y y
?=则微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=有形为x y μ??
???
的积分因子
的充分必要条件是
25M
N y y
x x F yN xM y ????- ?
??????= ?+??
.
并且有
()5
F
d e ??
μ?
=
推论6 令(),x y x y αβ?=则微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=有形为()x y αβμ的积分因子的充分必要条件是
()61
1
M N y
x
F x y
M x y
N x y
α
β
α
βαβ
βα--??-
??=-.
并且有
()6
F
d e ??
μ?
=
例2.2.3 求解方程()32220y dx x xy dy +-= 解：由题意得
2
42N x y
x
?=-?
2
3M y y
?=?
2
45M N x y y
x
??-=-??
令1α=-，2β=-，有
()1
1
2
1
2
45M x y
N x
y
x
y
x y α
βαβ
βα-----=-
()2
2
1
1
1
M N y
x
x y F x
y
M x y
N x y
α
βαβ
βα----??-
??==-
所以方程的积分因子为
()
(
)
2
2
1
2
1
21
x
yd x
y
x y
e x y
μ------?
==
方程两边同乘以上式得
2
2220y
y dx dy x y x ??+-= ???
故方程的通解为
1
2
1
1
122y
y dx dy c
x
y
x ??
+-= ????
?
即
2
2ln y
y c x
-
=
方程还有解0y =，0x =
推论6 微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=有形式为()x y αβμ+的积分因子的充分必要条件是
()61
1
M N y x
F x y
M y
N x
β
βαβα?
--??-
??=+-.
并且有
()6
F
d e ??
μ?
=
例2.2.4 求解方程()()32442220x xy y dx x y x dy ++++-= 解：由题意得
42M x y
?=+?
41N x x
?=-?
3M N y
x
??-
=-??
()()1
1
3
1
2
1
44222M y
N x
x xy y y
x y x x
βαβαβαβα-----=++-+-
令2α=，1β=，得
()1
1
2
2M y
N x
x y βαβα---=+
()()
2
1
1
2
32M
N y x
F x y M y
N x
x y βαβα--??-
-??+=
=
-+
所以方程的积分因子为
()()()
()
2
23
322
2
2
d x
y
x y x y e
x y μ-+-
+?+==+
积分因子乘原方程得
()
()()
()332
3
2
2
2
2
442220x
y x
xy y dx x y x
y x dy -
-
++++++-=
故方程的通解为
()
()332
3
2
2
1
4422x
y
x
y x
xy y dx y
ydy c
-
-
++++
=??
即
(
)1
2
24x y c ++
=
根据观察法和公式法我们可以解决一下三类特殊方程积分因子的求法 ① 线性方程
()()dy P x y Q x dx
+=的积分因子为()P x dx
e μ?
=
证明：把方程改写为
()()0dy P x y Q x dx +-=????
可见现在()()M P x y Q x =-，1N =，因此
()M N y
x
P x N ??-??=
根据公式法可知方程有积分因子
()P x dx
e μ?
= ② 齐次方程()(),,0M x y dx N x y dy +=，则积分因子为
()()
1
,,xM
x y yN x y μ=
+ ()()(),,0xM x y yN x y +≠
这里(),M x y ,(),N x y 都是关于x ，y 的m 次齐次函数
证明：对方程()(),,0M x y dx N x y dy +=作变换y x μ=，方程可化为
()()(),,0M x x dx N x x d dx xd μμμμ++=
利用(),M x y ，(),N x y 的齐次性，上述方程改写为
()()()1
1,1,1,0m
m x M N dx x
N d μμμμμ+++=????
于是容易看出此方程的积分因子为
()()()(){}1
1,1,0
1,1,m
m
x
M N x M N μμμμμμμ=
+≠????+??
??
代回原变量，即得方程的积分因子
()()
1
,,xM
x y yN x y μ=
+
③ 贝努利方程()()n
dy P x y Q x y
dx
+=()0,1n ≠的积分因子为()()1n P x dx
n y e
--?
证明：将
()()n
dy P x y Q x y
dx
+=()0,1n ≠改写为
()()0n
dy P x ydx Q x y dx +-=
乘以n y -得
()()10n
n
y dy P x y
dx Q x dx ----=
由推论1得
()()()()11n
n
M N n P x y y
x
n P x N y
--??--??=
=-
故方程的积分因子为
()()1n P x dx
e
μ-?=
2.3 分组法
有些方程项数较多形式复杂，用观察法和公式法都难以求解积分因子，对于这种方程可以将方程分组，从每一组的求解出发，使问题由大化小、由繁化简。在介绍分组法之前给出以下定理
定理2 如果μ是方程的一个积分因子，且
Mdx Ndy dU μμ+=
则()U μφ也是方程的积分因子。里()U φ是任一可微函数。
证明： 用()U μφ乘()(),,0M x y dx N x y dy +=的左端，得到
()()()()()()()U M dx U N dy U
M dx N dy d d
d μφμφφμμφμμ
φμμ+=+==?
故，()U μφ是方程的积分因子。
所以如果方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的M 、N 中的项数较多，且比较复杂，不易直接求得它的积分因子。在这种情况下，宜把它的左端分成几组，比如分成两组：
()()11220M dx N dy M dx N dy +++= （#）
然后，分别求得各组的积分因子1μ和2μ，于是就可以找的1μ，1μ，使得
11111M dx N dy dU μμ+= 22222M dx N dy dU μμ+=
这时根据以上定理可利用1μ，2μ求得整个方程的积分因子。具体得，设()111U μφ，()222U μφ分别是方程第一组和第二组的积分因子。如果能找到适当微分函数1φ、2φ，使得
()()111222U U μμφμφ==
那么，μ既是方程（#）的第一组积分因子，也是第二组的积分因子，因而也就是方程的积分因子。
例2.3.1 方程2
2310y x x dx dy x y ????
+++= ? ????
?
解：把方程改写成
3
2
30y x dx dy x dx dy x y ????+++= ? ?????
容易求得
1x μ=，1U xy =
2y μ=，3
2U x y =
为了使关系式
()()3
12x xy y x y φφ=
成立，取
()()
3
x xy y x y β
α
=
其中α、β是待定常数.由
1
31
x
y
x
y
αα
β
β++=
得到
13αβ+=，1αβ=+
解此方程，得2α=，1β=.于是得到原方程的积分因子积分因子为
3
2
x y μ=
以32x y μ=乘原方程的两端，得到
()()2
352
3
2
6
30
x
y x y
dx x
y x y dy +++=
这是全微分方程，利用公式，即得
()32
62
2
352
33
2
x x y x y x
y x y
dx μ=
+=
+
?
于是，方程的通解为
3
2
62
3
2
x y x y c +
=
例2.3.2 求解方程()32220y dx x xy dy +-=
常微分方程的积分因子求解法 内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。 关键词： 全微分方程，积分因子。 一、 基本知识 定义1.1 对于形如 0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1） 的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+，则称（1.1）为全微分方程. 易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）. 定理1.1 （全微分方程的判别法）设),(y x M ，),(y x N 在x ，y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为 x y x N y y x M ??=??),(),( （1.2） 证明见参考文献[1]. 定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数),(y x μ，使得方程 ),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3） 是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子. 定理1.2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x y x N ??),(ln ),(μ-y y x y x M ??),(ln ),(μ=x y x N y y x M ??-??),(),( （1.4） 证明：由定理1.1得，),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x N y x y y x M y x ??=??)),(),(()),(),((μμ， 展开即得：
玉溪师范学院学报第２０卷２００４年第１２期 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹｕｘｉＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅＶ０１．２０Ｎｏ．１２Ｄｅｃ．２００４ 常微分方程求积分因子的一个定理及其应用 赵凯宏李晓飞米 （玉溪师范学院数学系，云南玉溪６５３１００） ［关键词］全微分方程；积分因子；首次积分 ［摘要］将积分因子满足的偏微分方程改写成其特征方程，从而与常微分方程组的首次积分相联系．利用“可积组合法”来求积分因子，从而使所求常微分方程化成全微分方程．［中图分类号］０１７５［文献标识码］Ａ［文章编号］１００９—９５０６（２００４）１２—００３１—０４ＴｈｅＴｈｅｏｒｅｍａｎｄＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｆｏｒＳｏｌｖｉｎｇ ＩｎｔｅｇｒａｔｉｎｇＦａｃｔｏｒｓｏｆＯｒｄｉｎａｒｙＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕｉｔｉｏｎｓ ＺＨＡＯＫａｉ—ｈｏｎｇＬＩＸｉａｏ—ｆｅｉ （ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＹｕｘｉＴｅａｃｈｅｒｓ’Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｙｕｘｉ，Ｙｕｎｎａｎ６５３１００）ＫｅｙＷｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｌｅｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇｆａｃｔｏｒｓ；Ｆｉｒｓｔｉｎｔｅｇｒａｌ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕｉｔｉｏｎｓｓａｔｉｓｆｉｅｄｗｉｔｈｉｎｔｅｇｒａｌｆａｃｔｏｒｓｒｅｗｒｉｔｅｔｏｉｔｓｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｅｑｕｉｔｉｏｎｓ．Ｈｅｎｃｅ，Ｉｔｉｓｒｅｌａｔｅｄｔｏｔｈｅｆｉｒｓｔｉｎｔｅｇｒａｌｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｏｆｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇｆａｃｔｏｒｓ ａｒｅ ｅａｃｕｌａｔｅｄｂｙｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｌｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｅｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕｉｔｉｏｎｓ ｂｅｃｏｍｅｔｈｅｃｏｍｐｌｅｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．１定理推导 满足设常微分方程 Ｍ（石，），）ｄｘ＋Ｎ（ｘ，），）咖＝０ ＯＭ，ＯＮ 百≠面 （１） （２） 若存在函数肛（戈，Ｙ）使得 Ｉｔ（ｘ，Ｙ）Ｍ（石，Ｙ）ｄｘ＋肛（戈，Ｙ）Ｎ（戈，Ｙ）ｄｙ＝０（３） 成立 虫盟：业盟 （４） ｄｙｄｘ 此时，方程（３）就变成了一个全微分方程，其通解为 Ｉ肛（戈，Ｙ）Ｍ（戈，Ｙ）ｄｘ＋Ｉ肛（ｘｏ，Ｙ）Ｎ（‰，Ｙ）ｄｙ＝ｃ（５） 这里（ｚ。，Ｙｏ）是肛（戈，Ｙ）Ｍ（戈，Ｙ），肛（戈，Ｙ）Ｎ（戈，Ｙ）公共定义域内的任意一固定点．Ｃ为积分常数．由于方程（３）与方程（１）是同解方程，所以（５）也是方程（１）的通解． 可见，要求解方程（１）关键是求积分因子肛（戈，Ｙ），而要求ｐ（ｚ，Ｙ）关键是解偏微分方程（４）．方程（４）可化成如下的等价形式 Ｎ０１＿．业一Ｍ挚：巡一型（６） ｄｘｄＶｄｙＯｘ 若记 瓤收稿日期］２００４一０８—０６ ［作者简介］赵凯宏（１９７４一），男，甘肃泾川人，硕士，讲师，主要从事微分方程方面的研究 万方数据
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
浅谈积分因子与首次积分 摘要：本文先给出了微分方程中的积分因子、首次积分以及特征方程的相关定义并加深理解，后引出全微分方程积分因子存在的充要条件以及与之相关的两类重要命题，灵活的将用积分因子解微分方程的方法与偏微分方程首次积分联系起来，为求特殊积分因子提供了方便，最后应用性的求出了常见的几类微分方程的积分因子. 关键词：微分方程；积分因子；首次积分；特征方程；偏微分：合分比 Introduction to integral factor and the points for the first time Chen Xueyun (School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University 741000) Abstract This paper firstly presents the definition of the integral factors ,first integral in differential equation and the characteristic equation and leads to the necessary and sufficient condition for the existence of all the integrating factor of differential equation as well as in connection with the two important types of proposition, Then it provides conveniences for special integral factor by combining the method of integral factor to solve differential equations with partial differential equation flexibly,Finally it finds out the integral factor of some types of differential equations via application. Keywords Differential equations,Integrating factor,For the first time points,Characteristic equation, Partial differential,points than
微分方程积分因子的求法 何佳 【摘要】 利用积分因子，可以对一个一阶微分方程的求解进行统一处理。因此，如何求解积分因子就成为解一阶微分方程的一个重点了。但对于一个具体的方程，如何求出它的积分因子呢，一般的方法是解一个一阶偏微分方程，不过那是比较不容易的。但是，对于某些特殊的情况，却可以简单地得出积分因子。通过查找我们发现，在大多数《常微分方程》的教材中都只给出了只与x 或y 有关的积分因子的求法，但这是不够的。所以我们在这里来讨论一下关于求解()x y αβμ和 ()m n ax by μ+这两类积分因子的充要条件及部分例题，由此我们就可以得到形式 相近的积分因子。如：通过x y μ=+，可以得到x y μ=-的积分因子。如此举一反三，力求使得求积分因子的问题变的简便易行。同时，还对积分因子的求法进行了推广，总结出几类方程积分因子的求法。 【关键字】 微分方程 ， 积分因子 ， 求解方法
【目录】 引言 (1) 目录 (2) 一、()x y αβμ和()m n ax by μ+两类积分因子 § 1、 与()x y αβμ有关的积分因子 …………………………………………… 3 § 2、 与()m n ax by μ+有关的积分因子 …………………………………………… 4 二、微分方程积分因子求法的推广 § 1、 满足条件 ()P Q P Qf x y x y ??-=-??的积分因子求法 (7) § 2、 方程1123422(3)36330m m m m x mx y xy dx y x y x y dy +-????++++++=????积 分因子 (10) § 3、 方程13()30m m m x m x y x dx x dy -??+++=?? 积分因子 (12) § 4、 方程1(4)4450m m m m x mx y y dx x x y dy -????++++++=????积分因子 …………………………………………… 13 参考文献 (15)
第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练 近似解的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的 证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延 拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客 观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一 阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法 求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初 值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值 问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定 性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0 y=是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 =或更一般地，函数 y x 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01 <<的任一数。 c ≤≤上的解，其中c是满足01 x
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 常微分方程的积分因子求解法 内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。 关键词：全微分方程，积分因子。 一、基本知识 定义1.1 对于形如 dx y N M（1.1） x ),( ),(= +dy x y 的微分方程，如果方程的左端恰是x，y的一个可微函数),(y x U的全微分，即d),(y y x M),( dx ),(+，则称（1.1）为全微分方程. x U= dy y N x 易知，上述全微分方程的通解为),(y U=C, （C为任意常数）. x 定理1.1 （全微分方程的判别法）设),(y x N在x，y平面上 M，),(y x 的单连通区域G内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为
x y x N y y x M ??=??) ,(),( （1.2） 证明见参考文献[1]. 定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数),(y x μ，使得方程 ),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3） 是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子. 定理1.2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x y x N ??) ,(ln ) ,(μ-y y x y x M ??),(ln ),(μ=x y x N y y x M ??-??),(),( （1.4） 证明：由定理1.1得，),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x N y x y y x M y x ??=??)),(),(()),(),((μμ， 展开即得： x y x y x N ??) ,() ,(μ-y y x y x M ??),(),(μ=),(),(),(y x x y x N y y x M μ??? ? ????-??. 上式整理即得（1.4）. 证毕 注1.1 若),(y x μ0≠，则（1.3）和（1.1）同解。所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1.3）的通解即可，而（1.3）是全微分方程，故关键在于求积分因子),(y x μ。 为了求解积分因子),(y x μ，必须求解方程（1.4）。一般来说，偏微分方程（1.4）是不易求解的；但是，当),(y x μ具有某种特殊形式时还是较易求解的。
习题2—5 1． 求解下列微分方程： （1）0)()23(2232=++++dy y x dx y xy y x ； 解 这里x x Q y x x y P 2,32322=??++=??，因此原方程不是恰当方程，由于 3)(1=??-??x Q y P Q ， 于是原方程有积分因子 x dx e e x 33)(=?=μ. 将它乘原方程两边，得到一个恰当方程 0)()23(223323=++++dy y x e dx y xy y x e x x ， 改写为 0)(])23([2333223=++++dy y dx y e dy e x ydx x x e x x x ， 即 0)3 1()(3332=+y e d y e x d x x . 由此可求得通积分 C y e y e x x x =+33323 1. （2）0)(22=++-dy x y x ydx ； 解 把方程改写为 0)()(22=+--dy y x xdy ydx . 容易观察出一个积分因子为2 21y x +=μ，将它乘原方程两边，得 022=-+-dy y x xdy ydx . 即 0)(arctan =--dy x y d . 从而原方程的通积分为 C y x y =+arctan . （3）0)1(2223=-+dy y x dx xy ； 解 这里222,6xy x Q xy y P =??=??，因此原方程不是恰当方程，由于
y y P x Q P 2)(1-=??-??， 于是原方程有积分因子 2)2(1)(y e x dx y =?=-μ. 将它乘原方程两边，得 01)2(22=- +dy y dy x xydx ， 从而原方程的通积分为 C y y x =+12. （4）0)(2223=-+dy xy x dx y ； 解 把方程改写为 02)2(223=+-dy x dy xy dx y . 不难看出，前一组有积分因子y x 21和通积分C x y =2，因而它有更一般的积分因子)(12 12x y g y x ，前一组有积分因子21x 和通积分C y =，故它有更一般的积分因子)(122y g x .为使关系式 )(1)(122212y g x x y g y x = 成立，可取 1)(21=x y g ，y y g 1)(2=. 从而得到原方程的积分因子y x 21 =μ，以它乘方程的两端，得到 0222 2=+-dy y x xydy dx y . 从而原方程的通积分为 C x y y =-2 2 ln . 此外，原方程还有解0,0==y x . 2． 证明方程 0),(),(=+dy y x Q dx y x P ①
第十五章 积分方程 积分方程论是泛函分析的一个重要分支，它是研究数学其他学科（例如偏微分方程边值问题）和各种物理问题的一个重要数学工具。本章叙述线性积分方程，重点介绍弗雷德霍姆积分方程的性质和解法；并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程；此外，还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核，并举例说明近似解法；最后考察了一个非线性积分方程。 §1 积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程 一. 积分方程一般概念 1. 积分方程的定义与分类 [线形积分方程] 在积分号下包含未知函数y (x )的方程 ()()()()(),d b a x y x F x K x y αλξξξ=+? (1) 称为积分方程。式中α(x ),F (x )和K (x,ξ)是已知函数，λ,a,b 是常数，变量x 和ξ可取区间(a,b ) 内的一切值；K (x,ξ)称为积分方程的核，F (x )称为自由项，λ称为方程的参数。如果K (x,ξ)关于x,ξ是对称函数，就称方程(1)是具有对称核的积分方程；如果方程中的未知函数是一次的，就称为线性积分方程，方程(1)就是线性积分方程的一般形式；如果F (x )≡0 ，就称方程(1)为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。 [一维弗雷德霍姆积分方程（Fr 方程）] 第一类Fr 方程 ()()(),d b a K x y F x ξξξ=? 第二类Fr 方程 ()()()(),d b a y x F x K x y λξξξ=+? 第三类Fr 方程 ()()()()(),d b a x y x F x K x y αλξξξ=+? [n 维弗雷德霍姆积分方程] 111()()()()(),d D P y P F P K P P y P P α=+? 称为n 维弗雷德霍姆积分方程，式中D 是n 维空间中的区域，P ,P 1∈D ，它们的坐标分别是 (x 1,x 2, ,x n )和),,,(21 n x x x ''' ,α(P )=α(x 1,x 2, ,x n ),F (P )=F (x 1,x 2, x n )和K (P ,P 1)=K (x 1,x 2, ,x n , ),,,21 n x x x ''' 是已知函数，f (P )是未知函数。 关于Fr 方程的解法，一维和n (>1)维的情况完全类似，因此在以后的讨论中仅着重考虑一维Fr 方程。 [沃尔泰拉积分方程] 如果积分上限b 改成变动上限，上面三类Fr 方程分别称为第一、第二、第三类沃尔泰拉积分方程。 由于第三类Fr 方程当α(x )在(a ,b )内是正函数时，可以化成
一阶常微分方程的解法 摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可分离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。 关键词：变量分离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法 Solution of first-order differential equation Abstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate. Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method 1. 引言 一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解. 2. 一般变量分离 2.1 变量可分离方程 形如 ()()dy f x g y dx = （1.1） 或 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = （1.2） 的方程，称为变量可分离方程。分别称（1.1）、（1.2）为显式变量可分离方程和 微分形式变量可分离方程[1] . (1) 显式变量可分离方程的解法 在方程（1.1）中， 若()0g y ≠，（1.1）变形为 ()() dy f x dx g y =
用积分因子法解常微分方程 摘要：每一个微分方程通过转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此非恰当微分方程转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要.此论文主要研究几类微分方程积分因子，从而使微分方程的求解变得较简便. 关键词：微分方程恰当微分方程积分因子通解 Abstract：After each differential equation through into the appropriate equation, can use the appropriate equations for solving non appropriate formula, the differential equation is transformed into an appropriate equation is an important step in solving differential equations, into the appropriate equation requires the solution of the integral factor, thus solving the integral factor becomes very important. This paper mainly research for several kinds of differential equation of integral factor, to make it easy for solving differential equations. Key Words：Differential equation Exact differential equation Integrating factor General solution 自变量只有一个的微分方程称为常微分方程.常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置.本文通过运用求微分方程的积分因子来将微分方程转化为恰当微分方程求解.常微分方程是解决实际问题的重要工具[1]. 1 恰当微分方程 1.1 常微分方程 联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.
一类第二种非线性Volterra 积分方程 积分数值解方法 1前言 微分方程和积分方程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分方程对于问题的解决比微分方程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较方便，结果也比较完美,所以研究积分方程便得越来越有用,日益受到重视. 积分方程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分方程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分方程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分方程。所以最早研究积分方程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分方程，并用两种方法求出了它的解,第一的积分方程便是以Abel 命名的方程.该方程的形式为：?=-b a a x f dt t x t )()() (?,该方程称为广义Abel 方程,式中a 的值在(0,1)之间.当a=21时，该式子便成为)()(x f dt t x x x a =-??.在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分方程.但是Fourier 其实已经求出了一类积分方程的反变换，这就说明在早些时候积分方程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分方程.积分方程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和V olterra 奠定的，积分方程主要是研究两类相关的方程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个方程被命名为Fredholm 方程和V olterra 方程。后来又有德国数学家D.Hilbert 进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert 领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分方程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。我国在60年代前，积分方程这部分的理论介绍和相关书本主要靠翻译苏联的相关书籍，那时研究的积分方程基本是一种模式，即用古典的方法来研究相关的积分方程问题，这样使得问题的研究变得繁琐、复杂，在内容方面比较单一、狭隘，甚至有些理论故意把积分方程的研究趋向于复杂化。随着数学研究的高速发展，特别是积分方程近年来的丰富发展，如此单一、刻板的解法已经不能跟上数学研究时代的步伐。在九十年代我国的数学专家路见可、钟寿国出版了《积分方程论》，该书选择2L 空间来讨论古典积分方程，并结合泛函分析的算子理论来分析积分方程的相关问题。最近出版的比较适
常微分方程的积分因子求解法 内容摘要:本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法,并推广到较一般的形式。 关键词: 全微分方程,积分因子。 一、 基本知识 定义1、1 对于形如 0),(),(=+dy y x N dx y x M (1、1) 的微分方程,如果方程的左端恰就是x ,y 的一个可微函数),(y x U 的全微分,即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+,则称(1、1)为全微分方程、 易知,上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , (C 为任意常数)、 定理1、1 (全微分方程的判别法)设),(y x M ,),(y x N 在x ,y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数,则(1、1)就是全微分方程的充要条件为 x y x N y y x M ??=??),(),( (1、2) 证明见参考文献[1]、 定义1、2 对于微分方程(1、1),如果存在可微函数),(y x μ,使得方程 ),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ (1、3) 就是全微分方程,则称),(y x μ为微分方程(1、1)的积分因子、 定理1、2 可微函数),(y x μ为微分方程(1、1)的积分因子的充要条件为 x y x y x N ??),(ln ),(μ-y y x y x M ??),(ln ),(μ=x y x N y y x M ??-??),(),( (1、4) 证明:由定理1、1得,),(y x μ为微分方程(1、1)的积分因子的充要条件为 x y x N y x y y x M y x ??=??)),(),(()),(),((μμ, 展开即得:
求解积分因子的方法整理 一、恰当微分方程与积分因子 1、对于一阶微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 （1） 其左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分，即 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y) 则称方程（1）为恰当微分方程。容易得到方程（1）的通解为u(x,y)=c (这里的c 为任意常数)。可是若（1）不是恰当微分方程，如果存在连续可微的函数 u=u(x,y) ≠0,使得 u(x,y)M(x,y)dx+u(x,y)N(x,y)dy=0为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程（1）的积分因子。 2、恰当微分方程的判定 对于一阶微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 它为恰当微分方程的必要条件为： 二、几种常见的积分因子的类型及求法 1、存在只与x 有关的积分因子 （1）充要条件： ()M N y x x N ψ????-= （2）形式：u=()x dx e ψ? 2、存在只与y 有关的积分因子
（1）充要条件： ()M N y x y M ?????-=- （2）形式：()y dy e ?? 这里的 ().()x y ψ?分别是只关于x 、y 的函数。 3、方程（1）有形如u(x,y)=F(x,y)的积分因子，充要条件：
4、方程（1）有形如u[p(x)+f(x)g(y)+q(y)]的积分因子，充要条件： 它的积分因子为： 5、方程（1）有形如u[f(x)g(y)+q(y)]的积分因子，充要条件： 它的积分因子为： 6、方程（1）有形如的积分因子，充要条件：
其中 7、方程（1）有形如的积分因子，充要条件： 它的积分因子为： 8、方程有形如的积分因子，充要条件： 它的积分因子为： 其中这里的
第一篇积分方程 第一章方程的导出和基本概念 §1.1 方程的导出 许多力学、工程技术和数学物理问题都能用积分方程形式描述，而求解常微分方程和偏微分方程的定解问题常常可转化为求解积分方程的问题。下面举几个典型的问题作为例子，扼要地阐明导出积分方程的方法以及微分方程与积分方程之间的联系。 例1：弹性弦负荷问题 一根轻且软的弹性弦,长为l,两端固定,如图所示,静止时与x轴重合,弦内张力为 T.今在其上加以强度为
()x ?的负荷.设在任一点M (横坐标 为x ) ()x ?, 且设 解：在任一点x ξ=处取微小的一段弦d ξ,则作用于其上的重力为 ()d ?ξξ,记之为0P ,则这一重力0P 必 引起弦的形变,记ξ处位移为S ,则： 01020sin sin T T P θθ+=, 因为0()T x ?>>,所以12,1θθ<< 112sin tan ,sin .S S l θθθξξ ?≈=≈- 所以000S S T T P l ξξ ?+? =-, 得
00()P l S T l ξξ-=?. 记0P 引起的x 处位移为* ()y x , 则0x ξ≤≤时, 由y S x ξ *=得 * 00() ()P l S y x x x T l ξξ-=?=??; 当x l ξ≤≤时，y S l x l ξ*= -- , ? 00()()P l x y x T l ξ* -= ??; 记：0 0,0(,),.l x x T l G x l x x l T l ξ ξξξξ-??≤≤??=?-??≤≤?? 则 0()(,)y x G x P ξ* =, ()(,)()y x G x d ξ?ξξ* =， 对ξ从0l 到求积分,
积分因子的求法及简单应用 数学科学学院 摘 要：积分因子是常微分方程中一个很基本但却又非常重要的概念，本文在介绍了恰当微分方程与积分因子的概念以及相关定理的基础上，归纳总结了求解微分方程积分因子的几种方法，并利用积分因子理论证明了初等数学体系中的对数公式与指数公式，提供了一种新的解决中学数学问题的途径，体现了积分因子的简单应用价值。 关键词：恰当微分方程；积分因子；对数公式；指数公式 1. 恰当微分方程的概念及判定 恰当微分方程的概念 我们可以将一阶方程 () ,dy f x y dx = 写成微分形式 (),0 f x y dx dy -= 或把x,y 平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程 ()(),,0 M x y dx N x y dy += ⑴ 这里假设M(x,y)，N(x,y)在某矩形域内是x ，y 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，如果方程⑴的左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分. 即 ()()(),,,u u M x y dx N x y dy du x y dx dy x y ??+== + ?? 则称方程⑴为恰当微分方程. [] 1 恰当微分方程的判定 定理1 [] 2 假设函数M(x,y)和N(x,y)在某矩形域内是x ，y 的连续函数且具
有连续的一阶偏导数，则方程⑴是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒 有M N y x ??=??. 利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程. 2. 积分因子 如果对于方程⑴在某矩形域内M N y x ??≠??，此时方程⑴就称为非恰当微分方 程。对于非恰当微分方程，如果存在某个连续可微的函数u(x,y)≠0,使得 ()()()(),,,,0u x y M x y d x u x y N x y d y += 为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程⑴ 的1个积分因子. 注[] 1 可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的. 定理2 []2 函数u(x,y)是方程⑴的积分因子的充要条件是 u u M N N M u x y y x ?? ????-=- ??????? 3. 积分因子求法举例 观察法 对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子 如: ⑴ 0ydx xdy +=有积分因子1 xy ⑵ ydx xdy -=有积分因子 2 1x -，2 1 y ，1 xy ，2 2 1 x y +，2 2 1 x y - 例1 找出微分方程 ()()110xy ydx xy xdy ++-=的一个积分因子.
积分方程理论的发展，始终与数学物理问题的研究紧密相联，它在工程、力学等方面有着极其广泛的应用。通常认为，最早自觉应用积分方程并求出解的是阿贝尔(Abel)，他在1823年研究质点力学问题时引出阿贝尔方程。此前，拉普拉斯(Laplace)於1782年在数学物理中研究拉普拉斯变换的逆变换以及傅里叶(Fourier)於1811年研究傅里叶变换的反演问题实际上都是解第一类积分方程。随着计算技术的发展，作为工程计算的重要基础之一，积分方程进一步得到了广泛而有效地应用。如今，“物理问题变得越来越复杂，积分方程变得越来越有用”。 积分方程与数学的其他分支，例如，微分方程、泛函分析、复分析、计算数学、位势理论和随机分析等都有着紧密而重要地联系。甚至它的形成和发展是很多重要数学思想和概念的最初来源和模型。例如，对泛函分析中平方可积函数、平均收敛、算子等的形成，对一般线性算子理论的创立，以至於对整个泛函分析的形成都起着重要的推动作用。积分方程论中许多思想和方法，例如，关於第二种弗雷德霍姆(Fredholm)积分方程的弗雷德霍姆理论和奇异积分方程的诺特(Noether)理论以及逐次逼近方法，本身就是数学中经典而优美的理论和方法之一。 编辑本段起源 积分号下含有未知函数的方程。其中未知函数以线性形式出现的，称为线性积分方程；否则称为非线性积分方程。积分方程起源于物理问题。牛顿第二运动定律的出现，促进了微分方程理论的迅速发展，然而对积分方程理论发展的影响却非如此。1823年，N.H.阿贝尔在研究地球引力场中的一个质点下落轨迹问题时提出的一个方程，后人称之为阿贝尔方程，是历史上出现最早的积分方程，但是在较长的时期未引起人们的注意。“积分方程”一词是 P.du B.雷蒙德于1888年首先提出的。19世纪的最后两年，瑞典数学家（E.）I.弗雷德霍姆和意大利数学家V.沃尔泰拉开创了研究线性积分方程理论的先河。从此，积分方程理论逐渐发展成为数学的一个分支。 1899年，弗雷德霍姆在给他的老师（M.）G.米塔－列夫勒的信中，提出如下的方程 公式 , (1) 式中φ（x）是未知函数；λ是参数，K（x，y）是在区域0 ≤x，y≤1上连续的已知函数；ψ(x)是在区间0≤x≤1上连续的已知函数。并认为方程（1）的解可表为关于λ的两个整函数之商。1900年，弗雷德霍姆在
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy =
解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程， 得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(2 221 11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、 02 2 11=b a b a ，转化为 )(by ax G dx dy +=，下同①； 02、 022 1 1≠b a b a ，???=++=++00 222111 c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u 得到，)()( )(221 12211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()( xy v xy f dx dy x ==),(2 22),(x y w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++ 以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、 2 5 --+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u u dx du 7 1+= - ，有dx udu 7-= 所以)(72 2 为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72 22 为常数） （C C x y x =+--。 例2.2、 1 212+-+-=y x y x dx dy