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直线和平面所成的角

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直线和平面所成的角 （2课时）

一、基础知识

1.定义：

（①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③//ll或）

2.直线与平面所成角范围是 。

3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。（最小值定理）

4. 求法： 几何法 公式法 向量法

（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角形求出此角。

（2）公式法：coscoscoscoscoscos2121

21,,,BOCAOCAOBBAB于点

（即：与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值）

（3）向量法：设直线a与平面所成角为，直线a的方向向量与面的法向量分别是nm,, 则nm,的余角或其补角的余角即为a与所成的角，nmnmnm,cossin

二、例题讲解

例1、在长方体AC1中，AB=2，BC=CC1=1，求

（1）CD与面ABC1D1所成的角

（2）A1C与平面ABC1D1所成的角

（3）A1C与平面BC1D所成的角

例2、四面体ABCD中，所有棱长都相等，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值。

例3、（P236例2）

（2007高考全国卷1）四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD．已知45ABC∠，2AB，22BC，3SASB．

（Ⅰ）证明SABC；

（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小．

例4、如图,2,1ll是互相垂直的异面直线，M、N分别在2,1ll上，且MN1l，MN2l，点AB在1l上，C在2l上，AM=MB=MN。

（1）证明：AC NB

（2）若ABC=60˚，求NB与平面ABC所成角的余弦值。(33)

OBB1C1A1ADCD1L2L1ABMCNOABCnm

DBCAS

（2008年高考全国卷1）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为三角形ABC的中心，则AB1与底面ABC所成的角的正弦值等于

（2008上海高考）如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E是1BC的中点。求直线DE与平面ABCD所成角正弦值.

5.过点P作平面的两条斜线段PA和PB，则PA=PB是斜线PA和PB与平面成等角的 条件。

6.如图所示，BOC在平面内，OA是的斜线，AOB=AOC=60˚，OA=OB=OC=a，BC=2a，求OA和平面所成的角的大小。

7.如图，已知正方形ABCD，SA现面ABCD，且SA=AB，M、N分别为SB、SD的中点，求SC和平面AMN所成的角

8.给出下列命题，其中正确命题序号是 。

（1）若PA、PB、PC与平面成等角，则迠P在平面上的射影O是ABC的外心

（2）已知直线上l与平面所成角是4，直线a是内与l异面的任一直线，则l与平面 所成角范围是2,4

(3)在三棱锥P-ABC中，若二面角P-AB-C，P-BC-A，P-CA-B，大小相等，则点P在平面ABC上射影O是ABC内心。

（4）坡度为的斜坡，有一条与坡脚水平线成30˚的小道，若沿小道每前进100m，高度就上升25m,那么此坡坡度为30˚。

9、（2007湖北高考）如图，在三棱锥VABC中，VC⊥底面ABC，ACBC⊥，D是AB 的中点，且ACBCa，VDCπ02．

（I）求证：平面VAB⊥VCD；

（II）试确定的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为6。

（Ⅲ）当解变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．

训练题

DABCSNMBACOA E B1 D1

D C1

A1

B C

第7题图 第6题图

B V

A D C

合集下载

直线和平面所成的角与二面角3

直线和平面所成的角与二面角3

课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(三)

教学目的：

1．两个平面垂直的定义、画法．

2．两个平面垂直的判定定理．

3．两个平面垂直的性质定理．理解面面垂直问题可能化为线面垂直的问题

教学重点：两个平面垂直的判定和性质

教学难点：两个平面垂直的判定及应用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．直线和平面所成角

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角

一直线垂直于平面，所成的角是直角

一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角

直线和平面所成角范围： 0，2

（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

2．公式：已知平面的斜线a与内一直线b相交成θ角，且a与相交成1角，a在上的射影c与b相交成2角，则有coscoscos21

3 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l，两个面分别为,的二面角记为l；二面角的图形表示：

第一种是卧式法，也称为平卧式：

ABCDEFGHIJKL 21cbaPOABEDCBA第二种是立式法，也称为直立式：

lB'O'A'BOA

4．二面角的平面角：

（1）过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OAOB，则AOB叫做二面角l的平面角

（2）一个平面垂直于二面角l的棱l，且与两半平面交线分别为,,OAOBO为垂足，则AOB也是l的平面角

说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；

（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直

直线与平面所成的角

直线与平面所成的角

如图1是正方形ABCD与顶角为120 °的等腰△ABE组成的一个平面图形，其中AE＝AB＝4，翻折正方形所在平面ABCD使得与平面AEB垂直（如图2），F为线段EA的中点．

（1）若H是线段BD上的中点，求证：FH // 平面CDE；

（2）若H是线段BD上的一个动点，设直线FH与平面ABCD所成角的大小为θ，求tanθ的最小值．

证明: （1）连结AC，H是线段AC的中点，

又F为线段EA的中点，

所以FH // CE，

又FH不在平面CDE内，CE平面CDE，

所以FH //

平面CDE.

（2）在平面ABE内，过F作AB的垂线交AB于M，连结MH，

平面ABCD⊥平面AEB，FM⊥AB，

所以FM⊥平面ABCD，

∠FHM就是直线FH与平面ABCD所成的角θ， ；

过H作AB的垂线交AB于N，设，，

则，，， 所以

当时，取得最大值，有最小值，

又， 得.

所以tanθ的最小值是.

如图（1）在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD且AB=AD=CD=1，现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿AD将正方形翻拆，使平面ADEF与平面ABCD互相垂直如图（2）。

（1）求证平面BDE⊥平面BEC

（2）求直线BD与平面BEF所成角的正弦值。

⑴ ∵平面ADEF⊥平面ABCD

又∵ADEF是正方形 ∴ED⊥AD

∴ED⊥平面ABCD

又∵平面EDB⊥平面ABCD

又∵ABCD是直角梯形AB∥CD,AB⊥AD

AB=AD=CD=1得DB=BC= ∴BD2+BC2=DC2∴∠DBC=90°

∴BC⊥BD∴BC⊥平面EBD

∴平面EBD⊥平面 EBC

⑵解：∵ADEF是正方形

∴AD∥EF 平面BEF,平面BEF

∴AD∥平面BEF

直线和平面所成角的正弦值

直线和平面所成角的正弦值

直线和平面所成角的正弦值

直线和平面所成角的正弦值指的是这个角的正弦值，其计算公式如下：

正弦值 = 直线与平面的夹角的余弦值 / 直线与平面的夹角的正切值

其中，直线与平面的夹角的余弦值指的是直线与平面的夹角的余弦值，直线与平面的夹角的正切值指的是直线与平面的夹角的正切值。

例如，如果直线与平面的夹角的余弦值为 0.5，直线与平面的夹角的正切值为 0.866，则直线和平面所成角的正弦值为：

正弦值 = 0.5 / 0.866 = 0.577

这个角的正弦值为 0.577。

需要注意，计算直线和平面所成角的正弦值时，需要先求出直线与平面的夹角的余弦值和正切值，再用上述公式进行计算。如果没有这些信息，就无法计算出直线和平面所成角的正弦值。

直线和平面所成的角教案

直线和平面所成的角教案

课题：直线和平面所成的角

一、复习提问 一）直线和平面的位置关系有哪几种 二）平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义： 平面的垂线：垂直于平面的直线。 P

平面的斜线：与平面相交但不垂直的直线。 A O

射影：过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面上的射影。

二、问题引入：

若直线与平面相交，则这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角是哪一只 三、重要结论 ：

平面的斜线和它在平面内的射影所成的角， 是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角 .

四、直线和平面所成的角 一）斜线和平面所成的角的概念 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫做斜线和平面 所成的角 二）规定：

（1）如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是直角 .

（2）如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是

强调： 直线和平面所成的角的范围是： 0 ,90 .

三）线面角求法： 直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即

得直接在平面内的射影） ，最后解由垂线、斜线、射影所组成 P 的直角三角形，求出直线与平面所成的角。

步骤：“一作”、“二证”、“三解”；

关键：确定斜线在平面内的射影；

思考： 两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗 Q P1

五、例题精讲：

例 1：在单位正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，试求直线 BD1 与

平面 ABCD 所成的正弦角 . D1 C

例 2：在正方体 ABCD —A1 1 1

D 1

中，求： 1

B C A1 D1

B1

直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角；

C1

例 3．已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面， M、N 分别是 AB、 A 1 D C