直线与平面所成的角

直线与平面所成的角教案教学目标：1.理解直线与平面所成角的概念。

2.学会通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。

3.能够应用直线与平面所成角的性质解决相关问题。

教学重点：教学难点：通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。

教学准备：投影仪、PPT等教具。

教学过程：Step 1：引入1.引导学生回顾直线与直线所成角的概念及性质。

2.提问：直线与平面之间有什么关系？学生回答。

3.引导学生思考，直线与平面所成角有什么特点？学生讨论。

Step 2：定义及性质1.展示PPT，介绍直线与平面所成角的定义：在平面内，以一条线段与平面的法线为边，从线段的其中一端点起，可以画出一个角，称为直线与平面所成角。

2.介绍直线与平面所成角的性质：a.直线与平面所成角的大小只取决于直线与平面的夹角，与直线的长度无关。

b.直线与平面所成的角等于这条直线在平面上的投影与这条直线的夹角。

c.直线与平面所成角的度数范围是0°~180°。

Step 3：例题讲解1.案例一：已知一条直线与一个平面的夹角为60°，求直线在平面上的投影与这条直线的夹角。

解题思路：根据直线与平面所成角的性质，直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。

所以，所求的角度为60°。

2.案例二：一根竖直的路灯杆上蜘蛛丝斜依在路灯杆上，它与平地成45°的角，它离地面高度为5米，求蜘蛛丝的长度。

解题思路：根据直线与平面所成角的性质，直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。

所以，设蜘蛛丝的长度为x米，根据三角函数的定义，我们有tan 45°=5/x，解方程得x=5米。

Step 4：让学生自主探究1.将学生分成小组，每个小组选择一个与我们日常生活密切相关的例子，让学生尝试计算直线与平面所成角的大小，并讲解解题思路和方法。

Step 5：归纳总结1.学生回答问题：直线与平面所成角的度数范围是多少？直线与平面所成角的大小只与直线与平面的夹角有关吗？2.引导学生归纳总结直线与平面所成角的定义及性质。

直线与平面所成的角教学目标：1. 理解直线与平面所成的角的定义及其性质；2. 学会运用直角三角形的知识求解直线与平面所成的角；3. 能够运用直线与平面所成的角解决实际问题。

教学重点：直线与平面所成的角的定义及其性质，求解直线与平面所成的角的方法。

教学难点：直线与平面所成的角的求解，将实际问题转化为直线与平面所成的角的问题。

教学准备：直角三角形模型，平面模型，直线模型。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线与平面所成的角的概念，让学生思考在日常生活中遇到的直线与平面所成的角，如楼梯的扶手与地面的夹角等。

2. 引导学生观察直角三角形，让学生认识到直角三角形中的直角就是直线与平面所成的角。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成的角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所成的角，称为直线与平面的角。

2. 讲解直线与平面所成的角的性质：直线与平面所成的角是直线与平面内的所有角中最小的角。

3. 讲解求解直线与平面所成的角的方法：利用直角三角形，将直线与平面所成的角转化为直角三角形中的角。

三、实例分析（10分钟）1. 分析实例：楼梯的扶手与地面的夹角。

2. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。

3. 分析实例：墙角的直角。

4. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。

四、课堂练习（5分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 引导学生运用直线与平面所成的角的知识解决实际问题。

五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法。

2. 拓展思维：直线与平面所成的角在现实生活中的应用，如建筑设计、导航等。

教学反思：通过本节课的学习，学生应掌握直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法，并能运用所学知识解决实际问题。

在教学过程中，要注意引导学生观察实例，培养学生的空间想象能力。

结合练习题和实际问题，提高学生的运用能力。

六、直线与平面所成的角的测量教学目标：1. 学会使用工具（如量角器）测量直线与平面所成的角；2. 理解测量直线与平面所成角的方法及其原理；3. 能够准确地测量直线与平面所成的角。

直线与平面所成的角1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．3、斜线和平面所成角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝．。

直线与平面所成的角教学目标：1. 了解直线与平面所成角的概念及其几何特征。

2. 学会使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。

3. 能够运用直线与平面所成的角解决一些简单的问题。

教学重点：1. 直线与平面所成角的定义及其几何特征。

2. 测量直线与平面所成角的方法。

教学难点：1. 理解直线与平面所成角的定义，能够正确判断直线与平面所成的角。

2. 熟练使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。

教学准备：1. 三角板2. 量角器3. 教学课件或黑板教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入新课：回顾直线与平面的位置关系，思考直线与平面可以形成哪些角。

2. 提问：什么是直线与平面所成的角？它具有哪些几何特征？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所形成的角。

2. 讲解直线与平面所成角的几何特征：它是直线与平面相交的特殊角，具有大小和方向。

3. 讲解测量直线与平面所成角的方法：使用三角板和量角器。

三、实例演示（5分钟）1. 演示如何使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。

2. 让学生分组进行实践，测量不同直线与平面所成的角。

四、课堂练习（5分钟）1. 布置练习题：测量给定直线与平面所成的角。

2. 学生独立完成练习题，教师巡回指导。

五、总结与布置作业（5分钟）1. 总结本节课的主要内容：直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。

2. 布置作业：巩固测量直线与平面所成角的方法，解决一些简单的问题。

教学反思：本节课通过讲解和实例演示，让学生掌握了直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。

在实践环节，学生能够独立使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角，解决了实际问题。

但在教学过程中，要注意引导学生正确理解直线与平面所成角的定义，避免混淆。

可以增加一些拓展练习，提高学生的应用能力。

六、直线与平面所成角的计算教学目标：1. 理解直线与平面所成角的计算方法。

直线与平面所成角的求法直线与平面所成角的求法直线与平面所成角是几何学中的一个重要概念，它是指一条直线与一个平面之间的夹角。

在实际应用中，我们经常需要求解直线与平面所成角的大小，因此掌握直线与平面所成角的求法是非常必要的。

求解直线与平面所成角的方法有多种，下面我们将介绍其中的两种常用方法。

方法一：余弦定理余弦定理是三角函数中的一个重要定理，它可以用来求解任意三角形的边长和角度。

对于直线与平面所成角的求解，我们可以利用余弦定理来求解。

假设直线L与平面P所成角为θ，直线L的方向向量为a，平面P的法向量为n，则有：cosθ = (a·n) / (|a|·|n|)其中，a·n表示向量a和向量n的点积，|a|和|n|分别表示向量a和向量n的模长。

通过上述公式，我们可以求解出直线与平面所成角的大小。

需要注意的是，余弦定理只适用于三维空间中的直线与平面所成角的求解，对于二维空间中的直线与平面所成角的求解，需要使用其他方法。

方法二：向量法向量法是求解直线与平面所成角的另一种常用方法。

假设直线L与平面P所成角为θ，直线L的方向向量为a，平面P的法向量为n，则有：sinθ = |a×n| / (|a|·|n|)其中，a×n表示向量a和向量n的叉积，|a|和|n|分别表示向量a和向量n的模长。

通过上述公式，我们同样可以求解出直线与平面所成角的大小。

需要注意的是，向量法同样只适用于三维空间中的直线与平面所成角的求解，对于二维空间中的直线与平面所成角的求解，需要使用其他方法。

总结直线与平面所成角的求解方法有多种，其中余弦定理和向量法是两种常用的方法。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解直线与平面所成角的大小。

掌握直线与平面所成角的求解方法，可以帮助我们更好地理解几何学中的相关概念，并在实际应用中得到更好的应用。

直线和平面所成的角与二面角知识要点1．直线与平面所成角的范围若θ表示直线与平面所成的角，则0°≤θ≤90°。

2．公式cosθ=cosθ1·cosθ2。

斜线AB与平面α所成的角为θ1，A为斜足，AC在α内，且与AB的射影成θ2角，∠BAC=θ, 则有cosθ=cosθ1·cosθ2。

3．公式。

如图所示，在二面角α-l-β中，A∈平面β，B∈平面α，AD⊥l于D，BC⊥l于C，AD=m,BC=n, CD=d, AB=l, 二面角α-l-β的平面角为φ，则有：。

4．公式S'=Scosθ。

如果平面多边形所在平面与平面所成角为，这个平面多边形及其在平面内的射影的面积分别为S、S'，那么S'=Scosθ。

5. 向量知识(1)；(2)(3)a·b=|a|·|b|cosθ (其中θ是a与b的夹角)(4)若a=(x1,y1,z1), b=(x2,y2,z2), 则：a·b=x1x2+y1y2+z1z2。

典型题目例1．如图，在棱长为a的正方体OABC-O'A'B'C'中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF。

(1)求证：A'F⊥C'E；(2)当三棱锥B'-BEF的体积取得最大值时，求二面角B'-EF'B的大小。

（结果用反三角函数表示）。

(1)证明：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系，设AE=BF=x, 则A'(a,0,a), F(a-x,a,0), C'(0,a,a,), E(a,x,0)。

∵，∴ A'F⊥C'E。

(2)解：记BF=x, BE=y, 则x+y=a, 三棱锥B'-BEF的体积，当且仅当，时，取得最大值。

过B作BD⊥EF交EF于D，连B'D,B'D⊥EF,∴∠B'DB是二面角B'-EF-B的平面角。