直线与平面所成的角

直线与平面所成的角教学目标：1. 理解直线与平面所成的角的定义及其性质；2. 学会运用直角三角形的知识求解直线与平面所成的角；3. 能够运用直线与平面所成的角解决实际问题。

教学重点：直线与平面所成的角的定义及其性质，求解直线与平面所成的角的方法。

教学难点：直线与平面所成的角的求解，将实际问题转化为直线与平面所成的角的问题。

教学准备：直角三角形模型，平面模型，直线模型。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线与平面所成的角的概念，让学生思考在日常生活中遇到的直线与平面所成的角，如楼梯的扶手与地面的夹角等。

2. 引导学生观察直角三角形，让学生认识到直角三角形中的直角就是直线与平面所成的角。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成的角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所成的角，称为直线与平面的角。

2. 讲解直线与平面所成的角的性质：直线与平面所成的角是直线与平面内的所有角中最小的角。

3. 讲解求解直线与平面所成的角的方法：利用直角三角形，将直线与平面所成的角转化为直角三角形中的角。

三、实例分析（10分钟）1. 分析实例：楼梯的扶手与地面的夹角。

2. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。

3. 分析实例：墙角的直角。

4. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。

四、课堂练习（5分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 引导学生运用直线与平面所成的角的知识解决实际问题。

五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法。

2. 拓展思维：直线与平面所成的角在现实生活中的应用，如建筑设计、导航等。

教学反思：通过本节课的学习，学生应掌握直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法，并能运用所学知识解决实际问题。

在教学过程中，要注意引导学生观察实例，培养学生的空间想象能力。

结合练习题和实际问题，提高学生的运用能力。

六、直线与平面所成的角的测量教学目标：1. 学会使用工具（如量角器）测量直线与平面所成的角；2. 理解测量直线与平面所成角的方法及其原理；3. 能够准确地测量直线与平面所成的角。

直线与平面所成的角1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．3、斜线和平面所成角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝．。

第86课 直线与平面所成的角基本方法：垂线法第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角；第三步 得出结论.空间向量法第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步 再利用sin θ⋅=a b a b 即可得出结论. 一、典型例题1. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，AC ^平面PAB .2,45AB AC PB PBA ===??. 试判断棱PA 上是否存在与点,P A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC ，若存在，求出AE AP的值；若不存在，请说明理由.2. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为160CBB ??的菱形，1AB AC =.（1）证明：平面1AB C ^平面11BB C C .（2）若1AB B C ^，直线AB 与平面11BB C C 所成的角为30°，求直线1AB 与平面11A B C 所成角的正弦值.二、课堂练习1. 如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A =PD ，AB ⊥AD ，AB =1，AD =2，AC CD =，求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.2. 如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为边长为2的正方形，平面AED ⊥平面ABCD，AB ，EF ∥BD ，在棱ED 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面EFBDM 的位置；若不存在，请说明理由.三、课后作业1. 如图，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD ，FD ∥EA ，且112F D E A ==，求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值.2. 如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ^底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ^，AB CD ∥，且222CD AB AD ===.若SB 与平面ABCDS ABCD -的体积.3. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，∠BAD =60°，P A =AB ，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.F ED CB A FED CBAPDC AB。

正弦值公式为：直线和平面所成的角的正弦=两个向量的乘积除两个向量模的乘积。

（也就是：两向量是法向量和直线所在的向量）。

先做平面的法向量，然后求直线和法向量所成的角的余弦=两向量的乘积除两向量模的乘积。

则直线和平面所成的角=90度-直线和法向量所成的角。

直线和平面所成的角是一个数学名词。

或曰：线面所成角，直线与平面所成角。

1、定义：当直线与平面垂直时，规定这条直线与该平面成直角。

当直线与平面平行或在平面内时，规定这条直线与该平面成0°角。

2、范围：0°≤θ≤90°（斜线与平面所成的角θ的范围是0\u003cθ\u003c90°。

）3、求法：作出斜线在平面上的射影；4、斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。

直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种。

相交，汉语词汇。

释义为两条直线互相交叉在一起、交于一点。

交朋友，做朋友。

直线与曲线交于两点，且这两点无限相近，趋于重合时，该直线就是该曲线在该点的切线。

初中数学中，若一条直线垂直于圆的半径且过圆的半径的外端，称这条直线与圆相切。

相切是平面上的圆与另一个几何形状的一种位置关系。

相离，就是互相分离的意思。

直线与平面所成的角范围
直线与平面所成的角指的是直线与平面的交角，也可以被称为直线与平面的倾斜角。

这个角度是一个三维几何中的重要概念，它决定了直线和平面之间的相对位置关系。

直线与平面所成角的范围是从0度到90度之间。

具体来说，当直线与平面垂直相交时，所成角为90度，也被称为直线与平面的垂直角。

当直线与平面平行相交时，所成角为0度，也被称为直线与平面的平行角。

除了垂直角和平行角之外，直线与平面还可以形成其他各种角度。

例如，当直线与平面倾斜但不平行时，所成角为锐角或钝角。

这些角度的范围在0度到90度之间，具体取决于直线与平面的倾斜程度。

值得注意的是，直线与平面所成角的范围是相对的，取决于我们选择哪个角度作为基准。

例如，当直线与平面倾斜不平行时，我们可以选择度量两者之间的锐角或钝角。

同样的角度也可以通过倒退直线和平面的位置来测量，得到一个补角或余角。

直线与平面所成角的概念在几何学中具有广泛的应用。

它可以用于描述物体之间的相对位置、计算投影角度、解决垂直线性问题等。

在日常生活中，我们可以通过直线与地面的倾斜角度来判断一个物体是否平放，或者通过直线与墙面的倾斜角度来确定书架是否垂直。

总之，直线与平面所成角的范围是从0度到90度之间，具体取决于直线与平面的相对位置。

这个概念在几何学和现实生活中都有广泛的应用。

直线和平面所成的角与二面角知识要点1．直线与平面所成角的范围若θ表示直线与平面所成的角，则0°≤θ≤90°。

2．公式cosθ=cosθ1·cosθ2。

斜线AB与平面α所成的角为θ1，A为斜足，AC在α内，且与AB的射影成θ2角，∠BAC=θ, 则有cosθ=cosθ1·cosθ2。

3．公式。

如图所示，在二面角α-l-β中，A∈平面β，B∈平面α，AD⊥l于D，BC⊥l于C，AD=m,BC=n, CD=d, AB=l, 二面角α-l-β的平面角为φ，则有：。

4．公式S'=Scosθ。

如果平面多边形所在平面与平面所成角为，这个平面多边形及其在平面内的射影的面积分别为S、S'，那么S'=Scosθ。

5. 向量知识(1)；(2)(3)a·b=|a|·|b|cosθ (其中θ是a与b的夹角)(4)若a=(x1,y1,z1), b=(x2,y2,z2), 则：a·b=x1x2+y1y2+z1z2。

典型题目例1．如图，在棱长为a的正方体OABC-O'A'B'C'中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF。

(1)求证：A'F⊥C'E；(2)当三棱锥B'-BEF的体积取得最大值时，求二面角B'-EF'B的大小。

（结果用反三角函数表示）。

(1)证明：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系，设AE=BF=x, 则A'(a,0,a), F(a-x,a,0), C'(0,a,a,), E(a,x,0)。

∵，∴ A'F⊥C'E。

(2)解：记BF=x, BE=y, 则x+y=a, 三棱锥B'-BEF的体积，当且仅当，时，取得最大值。

过B作BD⊥EF交EF于D，连B'D,B'D⊥EF,∴∠B'DB是二面角B'-EF-B的平面角。

直线与平面所成的角定义
直线与平面所成的角定义：
直线与平面所成的角是指，以一个端点为顶点，另一个端点在该平面上的直线所夹成的角。

该角度量通常采用弧度或角度制表示。

对于直线与平面所成的角来说，顶点必须在平面上，直线必须与平面相交。

当直线与平面相交于一点时，该点称为交点。

该点与平面上的点构成一条线段，我
们称之为交线。

直线与平面所成的角的度数取决于直线与平面的夹角大小，可以用角度制或弧度制来表示。

其中，角度制用度数来表示，弧度制用弧长所对应的圆心角来表示。

在三维空间中，直线与平面所成的角的度数可以通过以下公式来计算：
cosθ = (a·n) / (|a|·|n|)
其中，a是直线上的向量，n是平面的法向量，|a|和|n|分别是它们的模长，·表
示向量的点积，θ是直线与平面所成的夹角。

直线与平面所成的角在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。

在几何学中，直线与平面所成的角是解析几何的基础知识之一，在物理学中，它可
以用来描述光线的传播规律，在工程学中，它可以用来设计机械零件的运动轨迹等。