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直线与平面所成的角1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．3、斜线和平面所成角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝．。
浅谈线线角、线面角、面面角的定义方式北京市顺义区第九中学101300高中阶段在学习空间线、面位置关系的时候，会给出线线角、线面角及面面角的定义，本文以角形成的定义方式及蕴含的基本思想为主，进行研究。
1、直线与直线所成的角：（1）共面：同一平面内的两直线所成角，是利用两直线位置关系，平行、重合所成角为0度，如果相交就取交线所构成的锐角（或直角）。
（2）异面：如图所示，已知两条异面直线a和b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
θ定义方式：是发生定义法（即构造定义方式）定义中的“空间中任取一点O”，意味着：角的大小与O 点选取的位置无关；通过平移把异面直线所成角转化成两相交直线，是将空间图形问题转化成平面图形问题的定义方式，体现了定义的纯粹性和完备性。
2、直线和平面所成的角：如图，一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角。
3、面面所成的角：(1)在二面角的棱l上任取一点O，以该点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的角称为二面角的平面角.( 2)作二面角的平面角的方法方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角αaβ的平面角．方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠ACB为二面角αmβ的平面角．4、线线、线面、面面所成角的定义方式线线、线面、面面所成角的定义方式是“属加种差定义法”。
直线与平面所成角范围
一条直线和一个平面所形成的角的范围是0°到180°。
0°表示这条直线和平面平行，而180°表示这条直线和平面垂直。
两条直线之间的角可以用很多不同的方法来描述，其中之一就是角范围。
它表示两条直线之间从0°到180°所形成的角，也就是说两条直线之间最大可能形成的角就是180°。
当一条直线和一个平面相交时，它们之间也可能形成角。
两条直线之间的角范围仍然是0°到180°。
当它们交叉时，这个角就被称为交叉角，其角度可以是90°。
如果两条直线平行，则它们之间的角度将为0°。
另一方面，当它们垂直时，它们之间的角度则为180°。
因此，一条直线与平面之间的角范围从0°到180°。
这种形式的角范围在几何学以及物理学中都非常重要，因为它被用来描述不同物体之间的关系。
比如，物理学家研究电磁学时，就需要了解直线与平面的角的范围，以确定电磁波的性质。
几何学家也有类似的用途，比如当他们研究空间结构时，几何形状之间的各种角的范围便可以得出一个准确的结论。
因此，一条直线和一个平面所形成的角的范围是0°到180°。
它们可以交叉，并形成一个90°的交叉角，也可以平行或垂直，分别形成0°和180°的角。
无论它们之间形成何种角度，都将在0°到180°范围内。
正弦值公式为：直线和平面所成的角的正弦=两个向量的乘积除两个向量模的乘积。
（也就是：两向量是法向量和直线所在的向量）。
先做平面的法向量，然后求直线和法向量所成的角的余弦=两向量的乘积除两向量模的乘积。
则直线和平面所成的角=90度-直线和法向量所成的角。
直线和平面所成的角是一个数学名词。
或曰：线面所成角，直线与平面所成角。
1、定义：当直线与平面垂直时，规定这条直线与该平面成直角。
当直线与平面平行或在平面内时，规定这条直线与该平面成0°角。
2、范围：0°≤θ≤90°（斜线与平面所成的角θ的范围是0\u003cθ\u003c90°。
）3、求法：作出斜线在平面上的射影；4、斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。
直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种。
相交，汉语词汇。
释义为两条直线互相交叉在一起、交于一点。
交朋友，做朋友。
直线与曲线交于两点，且这两点无限相近，趋于重合时，该直线就是该曲线在该点的切线。
初中数学中，若一条直线垂直于圆的半径且过圆的半径的外端，称这条直线与圆相切。
相切是平面上的圆与另一个几何形状的一种位置关系。
相离，就是互相分离的意思。
直线与平面所成的角定义
直线与平面所成的角定义：
直线与平面所成的角是指，以一个端点为顶点，另一个端点在该平面上的直线所夹成的角。
该角度量通常采用弧度或角度制表示。
对于直线与平面所成的角来说，顶点必须在平面上，直线必须与平面相交。
当直线与平面相交于一点时，该点称为交点。
该点与平面上的点构成一条线段，我
们称之为交线。
直线与平面所成的角的度数取决于直线与平面的夹角大小，可以用角度制或弧度制来表示。
其中，角度制用度数来表示，弧度制用弧长所对应的圆心角来表示。
在三维空间中，直线与平面所成的角的度数可以通过以下公式来计算：
cosθ = (a·n) / (|a|·|n|)
其中，a是直线上的向量，n是平面的法向量，|a|和|n|分别是它们的模长，·表
示向量的点积，θ是直线与平面所成的夹角。
直线与平面所成的角在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
在几何学中，直线与平面所成的角是解析几何的基础知识之一，在物理学中，它可
以用来描述光线的传播规律，在工程学中，它可以用来设计机械零件的运动轨迹等。
直线与平面所成角的定义
直线与平面所成角的定义如下：
当一条直线与一个平面相交时，它们所形成的角被称为直线与平面所成角。
直线与平面所成角的度量是指从直线上某一点出发，通过一条线段垂直于平面，并与该平面相交，所形成的角度。
直线与平面所成角的特点：
1. 直线与平面所成角的度量范围是0°到90°之间。
2. 当直线与平面垂直相交时，所成角为90°，称为直角。
3. 当直线与平面的夹角小于90°时，称为锐角。
4. 当直线与平面的夹角大于90°时，称为钝角。
直线与平面所成角的性质：
1. 直线与平面所成角的度量取决于直线与平面的相对位置和方向。
2. 直线与平面所成的角度大小可以用角度度数或弧度来度量。
3. 直线与平面所成角的度量可以用直线与平面相交的两条线段之间的夹角来表示。
4. 直线与平面所成角的度量可以用三角函数如正弦、余弦和正切等进行计算。
直线与平面所成角的理解对于几何学和物理学等学科都非常重要。
它可以帮助我们理解和分析直线与平面的相互关系，并在空间几何问题中进行推理和计算。
平面和直线的所成角平面和直线的所成角是几何学中的一个重要概念，它描述了平面和直线之间的相对关系。
在这篇文章中，我将详细探讨平面和直线的所成角，包括定义、性质和应用等方面。
一、定义平面和直线的所成角是指平面上的一条射线与一条直线之间的角度。
这个角度可以通过测量两条线之间的夹角来确定，单位通常是度或弧度。
二、性质1. 平面和直线的所成角的度数范围是0到180度，即角的大小不能超过180度。
2. 平面和直线的所成角可以是锐角、直角或钝角。
3. 平面和直线的所成角可以是正角或负角，具体取决于射线与直线的相对位置。
4. 平面和直线的所成角的度数可以用三角函数来表示，如正弦、余弦和正切等。
三、应用平面和直线的所成角在几何学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用：1. 判断两条线是否相交：如果两条线的所成角为0度或180度，则说明它们相交；如果所成角不为0度或180度，则说明它们不相交。
2. 计算平面中的角度：通过测量两条线的所成角，可以得到平面中其他角的度数。
3. 判断线段的方向：通过测量线段与某一参考线的所成角，可以确定线段的方向，如垂直、平行或斜向等。
4. 解决实际问题：平面和直线的所成角在解决实际问题中也有应用，如建筑设计、地理测量和机械制图等领域。
四、实例为了更好地理解平面和直线的所成角，我们来看几个实例：1. 两条直线的所成角为90度，则说明它们是垂直的。
2. 两条直线的所成角为0度，则说明它们是平行的。
3. 两条直线的所成角为45度，则说明它们是倾斜的。
五、总结平面和直线的所成角是几何学中的一个重要概念，它描述了平面和直线之间的相对关系。
通过测量两条线之间的夹角，我们可以判断它们的相交性、方向性和倾斜程度。
平面和直线的所成角在几何学中有广泛的应用，对于解决实际问题具有重要意义。
六、参考资料1. 罗素, B. (1903). Principles of Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press.2. 葛鲁斯, C. (1997). 数学与艺术的对话. 上海: 上海科学技术出版社.3. 高等数学教材. (2008). 北京: 高等教育出版社.通过以上对平面和直线的所成角的定义、性质和应用的分析，我们对这一几何概念有了更深入的理解。
3．6直线与平面、平面与平面所成的角[读教材·填要点]1．直线与平面所成的角(1)定义：如果直线l 与平面α垂直，l 与平面α所成的角θ为直角，θ＝π2.如果直线l 与平面α不垂直，则l 在α内的射影是一条直线l ′，将l 与l ′所成的角θ定义为l 与平面α所成的角．(2)范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(3)计算：作直线l 的方向向量v 和平面α的法向量n ，并且可选v 与n 所成的角θ1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则l 与平面α所成的角 θ＝π2－θ1，sin θ＝cos_θ1＝|v ·n ||v |·|n |.2．二面角(1)定义：从一条直线l 出发的两个半平面α，β组成的图形叫作二面角，记作αl β. (2)二面角的平面角过二面角αl β的棱l 上任意一点O 作垂直于棱l 的平面，分别与两个面α，β相交得到两条射线OA ，OB ，则∠AOB 称为二面角αl β的平面角．(3)二面角的范围二面角的平面角的度数在0°～180°范围内，特别当二面角αl β是90°时称它为直二面角，此时称两个面α，β相互垂直．3．两个平面所成的角两个相交平面，以交线为棱可以构成四个二面角，其中最小的一个二面角称为这两个平面所成的角，取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.两个平行平面所成的角为0°.[小问题·大思维]1．当一条直线l 与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？ 提示：不一定，这条直线可能与平面平行．2．设直线l 与平面α所成的角为θ，l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，如何用a 和n 求角θ？提示：sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a |·|n |.3．二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的大小有什么关系？提示：相等或互补．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为PC ，PB 的中点．求BD与平面ADMN 所成的角θ.[自主解答] 如图所示，建立空间直角坐标系，设BC ＝1， 则A (0,0,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)， 则N (1,0,1)，∴BD ―→＝(－2,2,0)，AD ―→＝(0,2,0)，AN ―→＝(1,0,1)． 设平面ADMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD ―→＝0，n ·AN ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，取x ＝1，则z ＝－1， ∴n ＝(1,0，－1)．∵cos 〈BD ―→，n 〉＝BD ―→·n |BD ―→|·|n |＝－28·2＝－12，∴sin θ＝|cos 〈BD ―→，n 〉|＝12.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定向量夹角的范围；(4)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90°.1.如图，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2.求直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值．解：如图，以点A 为原点，AB ，AC ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz .由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1.∴PA ―→＝(0,0，－2)，DE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，DF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1.设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE ―→＝0，n ·DF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0＝0，x ，y ，z⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z ，y ＝0.取z ＝1，则平面DEF 的一个法向量为n ＝(2,0,1)． 设PA 与平面DEF 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈PA ―→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA ―→·n | PA ―→|·|n |＝55， 故直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55.如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD .(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1OB 1D 的余弦值．[自主解答] (1)证明：因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ，又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ， 因为AC ∩BD ＝O ，所以O 1O ⊥底面ABCD .(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1， 所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)， 平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由m ⊥OB 1―→，m ⊥OC 1―→，所以⎩⎨⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， 所以m ＝(2,23，－3)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝2319＝25719.由图形可知二面角C 1OB 1D 的大小为锐角， 所以二面角C 1OB 1D 的余弦值为25719.利用法向量求二面角的步骤为： (1)确定两平面的法向量； (2)求两法向量的夹角的余弦值； (3)确定二面角的范围；(4)确定二面角与面面角的关系：二面角范围的确定要通过图形观察，法向量一般不能体现出来．2．(2016·全国卷Ⅰ)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D AF E 与二面角C BE F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E BC A 的余弦值．解：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC . 又AF ⊂平面ABEF ， 故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G .由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF ―→的方向为x 轴正方向，|GF ―→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D AF E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)．由已知得AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC . 又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ， 故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C BE F 的平面角，∠CEF ＝60°. 从而可得C (－2,0，3)．所以EC ―→＝(1,0，3)，EB ―→＝(0,4,0)，AC ―→＝(－3，－4，3)，AB ―→＝(－4,0,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC ―→＝0，n ·EB ―→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC ―→＝0，m ·AB ―→＝0，同理可取m ＝(0，3，4)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.由图知，二面角E BC A 为钝角， 故二面角E BC A 的余弦值为－21919.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试已知PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝2，求二面角A PB C 的余弦值． [解] 法一：如图所示，取PB 的中点D ，连接CD .∵PC ＝BC ＝2， ∴CD ⊥PB .∴作AE ⊥PB 于E ，那么二面角A PB C 的大小就等于异面直线DC 与EA 所成的角θ的大小．∵PD ＝1，PE ＝PA 2PB ＝12，∴DE ＝PD －PE ＝12.又∵AE ＝AP ·AB PB ＝32，CD ＝1，AC ＝1， AC ―→＝AE ―→＋ED ―→＋DC ―→，且AE ―→⊥ED ―→，ED ―→⊥DC ―→，∴|AC ―→|2＝|AE ―→|2＋|ED ―→|2＋|DC ―→|2＋2|AE ―→|·|DC ―→|cos(π－θ)，即1＝34＋14＋1－2·32·1·cos θ， 解得cos θ＝33. 故二面角A PB C 的余弦值为33. 法二：由法一可知，向量DC ―→与EA ―→的夹角的大小就是二面角A PB C 的大小，如图，建立空间直角坐标系Cxyz ，则A (1,0,0)，B (0，2，0)，C (0,0,0)，P (1,0,1)，D 为PB 的中点，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，12.又PE EB ＝AP 2AB 2＝13，即E 分PB ―→的比为13. ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，24，34，EA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－24，－34，DC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，－12，|EA ―→|＝32，|DC ―→|＝1，EA ―→·DC ―→＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12.∴cos 〈EA ―→，DC ―→〉＝EA ―→·DC ―→| EA ―→|·|DC ―→|＝33.故二面角A PB C 的余弦值为33. 法三：如图所示建立空间直角坐标系，则A (0，0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，AP ―→＝(0,0,1)，AB ―→＝(2，1,0)，CB ―→＝(2，0,0)， CP ―→＝(0，－1,1)，设平面PAB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP ―→＝0，m ·AB ―→＝0⇒⎩⎨⎧x ，y ，z，0，＝0，x ，y ，z2，1，＝0⇒⎩⎨⎧y ＝－2x ，z ＝0.令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB ―→＝0，n ·CP ―→＝0⇒⎩⎨⎧x ′，y ′，z2，0，＝0，x ′，y ′，z，－1，＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝z ′.令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝33.∴二面角A PB C 的余弦值为33.1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错解析：设直线l 与平面α所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 120°|＝12，又∵0＜θ≤90°，∴θ＝30°. 答案：C2．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为( ) A.63B.33C.23 D.13解析：设正三棱锥P ABC ，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，设PA ＝PB ＝PC ＝a .取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，易知∠PDC 为侧面PAB 与底面ABC 所成的角．易求PD ＝22a ，CD ＝62a ， 故cos ∠PDC ＝PDDC ＝33. 答案：B3．在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B AD C 后，BC ＝12a ，这时二面角B AD C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：由定义知，∠BDC 为所求二面角的平面角， 又BC ＝BD ＝DC ＝12a ，∴△BDC 为等边三角形，∴∠BDC ＝60°. 答案：C4．若一个二面角的两个面的法向量分别为m ＝(0,0,3)，n ＝(8,9,2)，则这个锐二面角的余弦值为________．解析：cos 〈m ，n 〉＝，0，，9，382＋92＋22＝2149＝2149149.答案：21491495．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是________． 解析：如图，以DA ，DC ，DD1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，易证AC 1―→是平面A 1BD 的一个法向量．又AC 1―→＝(－1,1,1)， BC 1―→＝(－1,0,1)．所以cos 〈AC 1―→，BC 1―→〉＝1＋13×2＝63.所以BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63. 答案：636．(2017·江苏高考)如图，在平行六面体ABCD A1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求二面角B A 1D A 的正弦值．解：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E . 因为AA 1⊥平面ABCD ， 所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD .如图，以{AE ―→，AD ―→，AA 1―→}为正交基底，建立空间直角坐标系A xyz . 因为AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°，则A (0,0,0)，B (3，－1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，A 1(0，0，3)，C 1(3，1，3)． (1)A 1B ―→＝(3，－1，－3)，AC 1―→＝(3，1，3)． 则cos 〈A 1B ―→，AC 1―→〉＝A 1B ―→·AC 1―→|A 1B ―→||AC 1―→|＝3－1－37×7＝－17.因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2)可知平面A 1DA 的一个法向量为AE ―→＝(3，0,0)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面BA 1D 的一个法向量， 又A 1B ―→＝(3，－1，－3)，BD ―→＝(－3，3,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B ―→＝0，m ·BD ―→＝0，即⎩⎨⎧3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.不妨取x ＝3，则y ＝3，z ＝2，所以m ＝(3，3，2)为平面BA 1D 的一个法向量， 从而cos 〈AE ―→，m 〉＝AE ―→·m | AE ―→||m |＝333×4＝34.设二面角B A 1D A 的大小为θ，则|cos θ|＝34.因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝74. 因此二面角B A 1D A 的正弦值为74.一、选择题1．若平面α的一个法向量n ＝(2,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,2,3)，则l 与α所成角的正弦值为( )A.176 B.216 C ．－216D.213解析：∵cos 〈a ，n 〉＝a ·n|a |·|n |＝，2，，1，1＋4＋9·22＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216.∴l 与α所成角的正弦值为216. 答案：B2.如图，过边长为1的正方形ABCD 的顶点A 作线段EA ⊥平面AC ，若EA ＝1，则平面ADE 与平面BCE 所成的二面角的大小是( )A ．120°B ．45°C ．135°D ．60°解析：以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则E (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，EB ―→＝(1,0，－1)，EC ―→＝(1,1，－1)．设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，x ＋y －z ＝0，可取n＝(1,0,1)，又平面EAD 的法向量为AB ―→＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AB ―→〉＝12×1＝22，故平面ADE 与平面BCE 所成的二面角为45°.答案：B3．在直角坐标系中，已知A (2,3)，B (－2，－3)，沿x 轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A Ox B ，使∠AOB ＝90°，则cos θ为( )A ．－19B.19C.49D ．－49解析： 过A ，B 分别作x 轴垂线，垂足分别为A ′，B ′.则AA ′＝3，BB ′＝3，A ′B ′＝4，OA ＝OB ＝13，折后，∠AOB ＝90°，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝26.由AB ―→＝AA ′―→＋A ′B ′―→＋B ′B ―→，得|AB ―→|2＝|AA ′―→|2＋|A ′B ′―→|2＋|B ′B ―→|2＋2|AA ′―→|·|B ′B ―→|·cos(π－θ)． ∴26＝9＋16＋9＋2×3×3×cos(π－θ)， ∴cos θ＝49.答案：C4.已知平面α内有一个以AB 为直径的圆，PA ⊥α，点C 在圆周上(异于点A ，B )，点D ，E 分别是点A 在PC ，PB 上的射影，则( )A ．∠ADE 是二面角A PC B 的平面角 B ．∠AED 是二面角A PB C 的平面角 C ．∠DAE 是二面角B PA C 的平面角D ．∠ACB 是二面角A PC B 的平面角解析：选项A 错误，若DE ⊥PC ，则PC ⊥平面ADE ，所以PC ⊥AE ，又AE ⊥PB ，所以AE ⊥平面PBC ，同理可证：AD ⊥平面PBC ，这是不可能的．选项B 正确，因为PA ⊥BC ，AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAC ，所以AD ⊥BC ，又AD ⊥PC ，且PC ∩BC ＝C ，所以AD ⊥平面PBC ，又因为AE ⊥PB ，所以DE ⊥PB ，所以∠AED 为二面角A PB C的平面角．选项C 错误，因为PA ⊥平面α，所以PA ⊥AC 且PA ⊥AB ，所以∠CAB 为二面角B PA C 的平面角，因此，∠DAE 不是二面角B PA C 的平面角．选项D 错误，在△PAC 中，∠PAC ＝90°，所以AC 与PC 不垂直，因此，∠ACB 不是二面角A PC B 的平面角．答案：B 二、填空题5．如图所示，已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 夹角的正弦值为________．解析：不妨设正三棱柱ABC A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B1(3，1,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，2， 则CD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，2， CB 1―→＝(3，1,2)，设平面B 1DC 的法向量为 n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ―→＝0，n ·CB 1―→＝0，解得n ＝(－3，1,1)． 又∵DA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，－2，∴sin θ＝|cos 〈DA ―→，n 〉|＝45.答案：456．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A BD C 的正弦值为________．解析：取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示空间直角坐标系，设BC ＝1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，0. ∴OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，BA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0.由于OA ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面BCD 的法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝()1，－3，1，∴cos 〈n ，OA ―→〉＝55，sin 〈n ，OA ―→〉＝255.∴二面角A BD C 的正弦值为255.答案：2557．已知三棱锥S ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示空间直角坐标系，则S (0,0,3)，A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)．∴AB ―→＝(3，1,0)， SB ―→＝(3，1，－3)，SC ―→＝(0,2，－3)． 设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB ―→＝3x ＋y －3z ＝0，n ·SC ―→＝2y －3z ＝0.令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3,2)． 设AB 与平面SBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB ―→〉|＝|n ·AB ―→||n |·|AB ―→|＝3＋34×2＝34.答案：348．在体积为1的直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，求直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：由题意，可得体积V ＝CC 1·S △ABC ＝CC 1·12·AC ·BC ＝12CC 1＝1，∴CC 1＝2.建立如图所示空间直角坐标系，得点B (0,1,0)，错误!.则A 1B ―→＝(－1,1，－2)，又平面BB 1C 1C 的法向量为n ＝(1,0,0)．设直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成的角为θ，A 1B ―→与n 的夹角为φ， 则cos φ＝A 1B ―→·n |A 1B ―→|·|n |＝－66，∴sin θ＝|cos φ|＝66， 即直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为66.答案：66三、解答题9.如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示． (2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形， 所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，所以AH ＝10.以D 为坐标原点，DA ―→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则A (10,0,0)，H (10,10,0)，E (10,4,8)，F (0,4,8)， FE ―→＝(10,0,0)， HE ―→＝(0，－6，8)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE ―→＝0，n ·HE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0,4,3)． 又AF ―→＝(－10,4,8)，故|cos 〈n ，AF ―→〉|＝|n ·AF ―→||n ||AF ―→|＝4515.所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515.10．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M AB D 的余弦值． 解：(1)证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°，得BC ∥AD ， 又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ，所以四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ，又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 故CE ∥平面PAB .(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，|AB ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则A (0,0,0)，B (1，0,0)，C (1,1,0)，P (0，1，3)，PC ―→＝(1,0，－3)，AB ―→＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0<x <1)，则BM ―→＝(x －1，y ，z )，PM ―→＝(x ，y －1，z －3)． 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量， 所以|cos 〈BM ―→，n 〉|＝sin 45°，|z |x －2＋y 2＋z2＝22， 即(x －1)2＋y 2－z 2＝0. ① 又M 在棱PC 上，设PM ―→＝λPC ―→， 则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ. ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62，从而AM ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫1－22，1，62. 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM ―→＝0，m ·AB ―→＝0，即⎩⎨⎧－2x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝105.由图知二面角M AB D 为锐角， 因此二面角M AB D 的余弦值为105.。
直线与平面所成的角的定义：
①直线和平面所成的角有三种：
a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
b．垂线与平面所成的角：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角。
c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为00.
②取值范围：00≤θ≤900．
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”
最小角定理：
斜线和它在平面内的射影所成的角（即线面角），是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的角。
求直线与平面所成的角的方法:
(1)找角：求直线与平面所成角的一般过程：①通过射影转化法，作出直线与平面所成的角；
②在三角形中求角的大小．
(2)向量法：设PA是平面α的斜线，，向量n为平面α的法向量，设PA与平面α所成的角为θ，则。
