高中数学 第2章 第13课时 平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2

- 1 - 2.3.4 平面与平面垂直的性质

平面与平面垂直的性质定理

文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β

图形语言

性质定理若去掉“一个平面内(a⊂α)”，定理是否成立？

提示：不一定成立，如图a⊥α，这时也有a⊥l，但a与β不垂直．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直．( × )

提示：不一定．只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面．

(2)若α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线. ( √ ) - 2 - 提示：若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．

(3)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ.( √ )

提示：设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在m，n上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.因为γ⊥α，a⊥m，则a⊥α.所以a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，l⊄γ，所以l⊥γ.故正确．

(4)若两个平面互相垂直，一条直线与一个平面垂直，那么这条直线在另一个平面内．( × )

提示：若α⊥β，l⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则a⊥α，所以a∥l. 所以l∥β或l⊂β，即直线l与平面β平行或在平面β内．

2．在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )

A．平行 B．相交

C．异面且垂直 D．异面且不垂直

【解析】

选C.如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD.所以BD⊥AC. 因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定

学

习 目 标 核 心 素 养

1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)

2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点)

3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点) 1.通过学习直线与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.

2.通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养.

1．直线与平面垂直

定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直

记法 l⊥α

有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足

图示

画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

2.直线与平面垂直的判定定理

文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言

3.直线和平面所成的角

有关概念 对应图形

斜线 与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA

斜足 斜线和平面的交点，图中点A

射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO

直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.

规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角

取值范围 [0°，90°]

思考：直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？

[提示] 定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．

1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )

《直线与平面垂直的判定》说课稿

一、说教材

教材内容

（一）

教材选自：人教版《普通高中课程标准实验教科书•数学（A版）》必修2,第二章第三 节的第一课吋。

本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。直线与平面垂直的是 直线与平面相交屮的一种特殊情况，它是空间中线线垂直位置关系的拓展。它既是后面学习 面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！因此线面垂直是空间中垂直位置关 系间转化的重心，它是点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。在教材中起到了承上 启下的作用。

（二） 学情分析

在本节课之前学生已学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的 判定及其性质，具备了学习本节课所需的知识。同时己经有了 “通过观察、操作等数学活动 抽象概括出数学结论”的体会，参与意识、自主探究能力有所提高，对空间概念建立有一定 基础。但是，对于我们十一中的学生而言，他们的抽象概括能力、空I'可想象力还有待提高。

（三） 教学目标

《课程标進》指出本节课学习目标是：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判 定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。

我将本节课的教学FI标确立为：

知识与技能：

（1） 经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂 直的定义；

（2） 通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明 一些空间位置关系的简单命题；

过程与方法：

（1） 通过类比空间的平行关系提高提出问题、分析问题的能力.

（2） 在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问

题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想. （3）尝试用数学语言（文字、符号、图形语言）对定义和定理进行准确表述和合理转换.

情感、态度与价值观：

经历线而垂直的定义和定理的探索过程，提髙严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研 精神和科学态度.

1 / 22 2.3.2平面和平面垂直的判定和性质

一、教学目标

（一）核心素养

（1）通过本节教学，提高学生空间想象能力．

（2）通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识．

（3）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．

（二）学习目标

（1）两个平面互相垂直的判定．

（2）两个平面互相垂直的性质．

（三）学习重点

两个平面垂直的判定、性质．

（四）学习难点

（1）两个平面垂直的判定定理、性质定理运用．

（2）正确作出符合题意的空间图形．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）读一读：阅读教材第67页到第69页，填空：

二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

（2）平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

（3）判定定理与性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 l⊥αl⊂β⇒α⊥β 2 / 22 性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α

2．预习自测

1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是（ ）

A．b⊥β

B．b∥β

C．b⊂β

D．b⊂β或b∥β

【解题过程】由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β，故选D.

【答案】D

2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解题过程】若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.