高中数学 第1部分 2.3.1直线与平面垂直的判定及其性质课件 新人教A版必修2

A1
可得BD 平面ACC1A
BD A1A, BD AC
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• 小结：证明线面垂直的方法关键是证明 线线垂直(三线合一，正方形/菱形对角线，直 线与平面垂直，勾股逆定理，直径所对圆周 角等）
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高考真题——真枪实战·挑战自我
1.(2014全国Ⅰ文改编) 如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O, 且AO⊥平面BB1C1C.证明:B1C⊥平面ABO;
BD A1A, BD AC
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变式：在底面为菱形的直棱柱
ABCD-A1B1C1D1 中，
求证： BD⊥平面ACC1A1
证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以BD⊥AC，
又A1A 底面ABCD，BD 底面ABCD
所以A1
A
BD,即BD
A 1
A
由
A1
A、AC
平面ACC 1
A1A AC A
VOB.
证 明 ：VA = VC，O为AC中 点
∴VO ⊥AC
AB = BC，O为AC中 点
∴BO ⊥AC
又VO, BO ⊂平 面VOB
VO ∩BO = O
∴AC ⊥平 面VOB
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探究案：
例2.正方体ABCD-A1B1C1D1 中， 求证： BD⊥平面ACC1A1
书写过程要求： ①字迹工整清晰； ②每一步骤的依据要表达清楚； ③推出直线与平面垂直的条件缺一 不可.
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直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直
l
符号表示： a ,b
ab P
l a,l b
a
b
l

1．直线与平面垂直的概念 2．直线直
数学思想方法： 3．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
P M N A C
B
第２个 垂线 空间角 平面的一条斜线和它在平 Ａ θ Ｏ 面内的射影所成的锐角， 面内的射影所成的锐角，叫做 α 这条直线和这个平面所成的角
斜线在平面上的射影
斜线
Ｐ
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 成的角是0 成的角是0 °的角
(1)四面体P ABC中有几个直角三角形 (1)四面体P-ABC中有几个直角三角形 四面体 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 指出PB,PC与平面ABC AC,PC与平面PAB所成的角 AC,PC与平面PAB所成的角 与平面PAB P
A
C B
知识小结
直线和平面所成角的范围是[0° 90° 直线和平面所成角的范围是[0°，90°] 两条异面直线所成的角,(0,900] 两条异面直线所成的角
例２ 分别指出对角线 1C 分别指出对角线A
与六个面所成的角. 与六个面所成的角
D1 A1
1
C1 B1 C
1
D A B
练习 在Rt△ABC中,∠B=90°,P为 Rt△ABC中,∠B=90°,P为 ABC所在平面外一点,PA⊥平面 所在平面外一点,PA⊥平面ABC △ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC
⊥ α ，求证 b ⊥ α .
b
n
证明： 证明：在平面 α 内作 a 两条相交直线m， ． 两条相交直线 ，n． 因为直线 a ⊥ α， 根据直线与平面垂直的定义知 α m a ⊥ m, a ⊥ n. 又因为 b // a 所以 b ⊥ m, b ⊥ n. 是两条相交直线， 又 m ⊂ α , n ⊂ α , m, n 是两条相交直线， 所以 b ⊥ α .

☆直线和平面所成角的取值范围为 [0°,90°]
练习
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o （2）A1C1与面BB1D1D所成的角 90o （3）A1C1与面BB1C1C所成的角 45o
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定
二、直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则
该直线与此平面垂直．
l
即：
m ,n
lm, ln
,
m
n
P
l
mP
n
线不在多，重在相交
判定定理
线线垂直
线面垂直
例1、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于 一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
ab
mn
a b，a b
证明: 在平面内作两条相交直线m, n.
猜一猜 我们需要寻求一个简单可行的 办法来判定直线与平面垂直.
如果直线l与平面α内的一条直线垂直， 能保证l⊥α吗？
如果直线l与平面α内的两条直线垂直， 能保证l⊥α吗？
动手操作
如图，准备一块A三角形的纸片，做一个实验：A
A
lACDB NhomakorabeaP
D
C
C
B
D
C
BD B
折线后与的过桌当纸面且片A所仅B竖C在当起的平折放顶面痕置点A在AD垂翻桌是直折面．纸B上C片（边，B上D得的，到高D折C时痕于，A桌DA面D，所接将在触翻直）
人教版高中数学必修二
2.3.1 直线与平面垂直的判定
直线与平面有那些位置关系？ c a

A
A
B
CB
D
D
C
如何调整折痕AD的位置，才能使翻折后直线AD与桌 面所在的平面垂直？
A A
B
D
B
DC
C
思考：由上可知当折痕AD垂直平面α内的两条相 交直线时，折痕AD与平面α垂直.由此我们是否能 得出直线与平面垂直的判定方法？
定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
l
m
o
E
A B DC
直线与平面垂直的定义：
如果直线l与平面α 内的任意一条直线都垂直，就称直 线l与平面α 互相垂直。
记作： l⊥α
l
平面的垂线
A
直线的垂面
垂足
思考：如果一条直线垂直于一个平面内的无数 条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？
问题探究（二）：直线与平面垂直的判定
思考：对于一条直线和一个平面，如果根据定义来 判断它们是否垂直，需要解决什么问题？如何操作？
D1 A1
E
D
A
C1 B1
C B
思考:如图，过平面α外一点P引平面α的两条斜 线段PA、PB，斜足为A、B，再过点P引平面α的垂 线，垂足为O，如果PA>PB，那么OA与OB的大小关 系如何？反之成立吗？
P
PA PB OA OB
αA
OB
思考:如图，直线l是平面α的一条斜线，它在平面 α内的射影为b，直线a在平面α内，如果a⊥b， 那么直线a与直线l垂直吗？为什么？反之成立吗？
l
b ab al
αa
思考:我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影 所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角. 在实际应用或解题中，怎样去求这个角？