微专题——动态平衡之两力夹角不变问题
——正弦定理法、圆中旋转三角形法的应用
安徽徐建强
模型概述：通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体
又始终处于一系列的平衡状态，在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。处理问题的基本思
路是化“动”为静，“静”中求动。
方法策略：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，但是这
两力夹角不变，对于这种情景的问题，可以采用正弦定理法或者在圆中画旋转三角形法。根
据夹角的变化利用几何关系解答题目，具体使用通过例题加以说明。
典例剖析：(2017·全国卷Ⅰ·T21)如图所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，
用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α>2)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的
过程中()A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
解析：通过分析可以发现重物受三个力，其中重力为恒力，两绳拉力方向
都变化但夹角不变。1.正玄定理法：设重物的质量为m，绳OM中的张力为TOM，绳MN中的张
力为TMN。开始时，TOM＝mg，TMN＝0。由于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状
态，两绳张力的合力与重物的重力mg等大、反向。
对重物受力分析如图所示，已知角α不变，在绳MN缓慢拉起的过程中，角
β逐渐增大，则角(α－β)逐渐减小，但角θ不变，在力的矢量三角形中，由正弦定理得：TOMsinα-β
＝mgsinθ，(α－β)由钝角变为锐角，则TOM先增大后减小，选项D正确；同理知TMNsinβ＝mgsinθ，
在β由0变为π2的过程中，TMN一直增大，选项A正确。
2.圆中旋转三角形法：利用圆中同一个弦长所对应圆周角都相等的几何关系
（所有圆周角都在弦同一测），可以做下面的尝试：利用矢量圆，如图重力保持
不变，是矢量圆的一条弦，FOM与FMN夹角保持不变，让FOM与FMN按照题设条
动态平衡问题的几种解法
在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡。这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”。下面就介绍几种动态平衡问题的解题方法。
方法一:图解法（三角形法则)
原理：当物体受三力作用而处于平衡状态时，其合力为零，三个力的矢量依次恰好首尾相连，构成闭合三角形,当物体所受三个力中二个发生变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。
例题1： 如图1所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上,斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？
解析:取球为研究对象，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。因为球始终处于平衡状态,故三个力的合力始终为零，三个力构成封闭的三角形.挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，F1的方向不变，作出如图2所示的动态矢量三角形.由图可知，F2先减小后增大，F1随增大而始终减小。
点评：三角形法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变(通常为重力，也可以是其它力),另一个力的大小变化,第三个力则大小、方向均发生变化的问题,对变化过程进行定性的分析.
方法二：解析法
原理：物体处于动态平衡状态时，对研究对象的任一状态进行受力分析，根据具体情况引入参量,建立平衡方程，求出应变参量与自变参量的一般函数关系,然后根据自变量的变化确定应变量的变化.
例题2： 如图3所示，小船用绳索拉向岸边，设船在水中运动时所受水的阻力不变，那么小船在匀速靠岸过程中，下面说法哪些是正确的（ )
A。 绳子的拉力F不断增大 B. 绳子的拉力F不变
C。 船所受的浮力不断减小 D。 船所受的浮力不断增大
动态平衡问题是指在一个系统内部，各个部分之间相互作用、相互制约，从而保持一种相对稳定的状态。而动态圆法则是一种解决动态平衡问题的数学方法。
动态圆法的基本思想是将一个复杂的动态平衡问题转化为一个或多个简单的静态平衡问题。具体来说，就是将系统的势能函数表示成一个关于某个变量的二次函数，然后利用二次函数的性质来求解系统的平衡状态。
在实际应用中，动态圆法通常需要先确定系统的初始条件和边界条件，然后通过数值计算等方法来求解系统的平衡状态。例如，对于一个悬臂梁的振动问题，可以通过建立势能函数和动力学方程，然后利用动态圆法来求解梁的固有频率和振型。
需要注意的是，动态圆法虽然可以简化动态平衡问题的求解过程，但也存在一些局限性。例如，当系统的势能函数比较复杂或者存在多个变量时，动态圆法可能无法得到精确的结果。此外，动态圆法也需要考虑一些实际情况下的影响因素，如摩擦力、空气阻力等。
总之，动态圆法是一种常用的解决动态平衡问题的数学方法。它通过将复杂的动态平衡问题转化为简单的静态平衡问题来求解系统的平衡状态。虽然存在一定的局限性，但在实际应用中仍然具有广泛的应用价值。
1 高中物理 共点力动态平衡问题常见题型总结
一、共点力平衡的概念
所谓共点力平衡，讲的就是在共点力的作用下，物体处于静止或者匀速直线运动的状态，当物体处于静止状态的时候，叫做静态平衡，而当物体处于匀速直线运动状态的时候，叫做动态平衡。这两种状态都是平衡状态，所以物体受到的合外力都是零。
共点力平衡的题型也可以分为静态平衡和动态平衡两类。其中静态平衡主要是通过力的合成和分解进行求解，这里不多赘述；而动态平衡问题是学生普遍错的比较多，也比较难以理解的，接下来将主要分析这类问题的题型和解法。
二、共点力动态平衡问题的解法一：解析法
解析法是对研究对象进行受力分析，画出受力分析图，并根据物体的平衡条件列出方程，得到力与力之间的函数关系，一般会涉及到一个变化角度的三角函数。
解析法比较适合题目中有明显角度变化的题型，比如：
【例1】如图所示，小船用绳牵引靠岸，设水的阻力不变，在小船匀速靠岸的过程中，有（ ）
A．绳子的拉力不断减小
B．绳子的拉力不断增大
C．船受的浮力减小
D．船受的浮力不变
这个题是比较常见的拉小船的问题，解题的时候可以先对小船进行受力分析，
小船受到重力mg，水的浮力Fn，拉力F以及水的阻力f，在这四个力中，重力mg和水的阻力f是不变的，Fn方向不变，大小改变，F大小和方向都在变。由于小船处于匀速直 2 线运动中，所以受力平衡，设拉力与水平方向的夹角为θ，有：
Fcosθ=f ①；
Fn+Fsinθ=mg ②；
再根据小船在靠岸过程中θ增大，则cosθ减小，sinθ增大，由①得F=f/cosθ，F增大；由②得Fn=mg-Fsinθ，F和sinθ都在增大，所以Fn减小。最后答案选BC。
三、共点力动态平衡问题的解法二：图解法
图解法是对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形法则或是三角形定则画出不同情况下的矢量图，然后根据有向线段的长度与方向变化，判断各个力的大小和方向的变化。
