悬架运动学特性优化中的参数选取方法
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２０１３年（第３５卷）第６期 汽车工程 Ａｕｔｏｍｏｔｉｖｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
２０１３０９８
悬架运动学特性优化中的参数选取方法冰
麻凯 ，管欣 ，李鹏
（１．吉林大学机械科学与工程学院，长春１３００２２；２．吉林大学，汽车控制与仿真国家重点实验室，长春１３００２２）
［摘要］ 本文中结合摄动理论和广义逆理论，研究了悬架运动学特性优化中的参数选取问题。提出了两种参
数选取方法：理想修改参数选取法和最优修改参数选取法。在双横臂独立悬架运动学特性优化实例中，分别采用两
种方法进行优化参数的选取。结果表明两种方法均可满足优化的要求。
关键词：悬架运动学特性；优化参数选取；灵敏度分析
Ｐａｒａｍｅｔｅｒ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ
Ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ
Ｍａ Ｋａｉ ．Ｇｕａｎ Ｘｉｎ ＆Ｌｉ Ｐｅｎｇ
１．，ｍ ｅ ｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｎｎｇ，Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ １３００２２；
２．Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆＡｕｔｏｍｏｔｉｖｅ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ １３００２２
［Ａｂｓｔｒａｃｔ］ Ｂｙ ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｖｅｒｓｅ ｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｓｅ—
ｌｅｃｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｔｗｏ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｐａｒａｍｅ—
ｔｅｒ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ａｒｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ：ｉｄｅａｌ ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｏｐｔｉｍａｌ ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ．Ｉｎ ａ
ｒｅａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｏｕｂｌｅ ｗｉｓｈｂｏｎｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ，ｂｏｔｈ ｍｅｔｈ－
ｏｄｓ ａｒｅ ａｐｐｌｉｅｄ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｂｏｔｈ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｃａｎ ｍｅｅｔ ｔｈｅ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ；ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ；ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ
日『Ｊ舌
悬架运动学特性对整车的操纵性和平顺性有很
大影响¨ 。近年来，国内外在悬架结构参数多目
标优化方面取得了很多研究成果，在悬架鲁棒性结
构参数优化方面 提出应用蒙特卡洛方法优化乘坐
舒适性；应用遗传算法优化悬架几何结构 ；以路面
激励为目标优化悬架刚度和柔度ｌ ；应用ｔｈｅ Ｐａｒｅｔｏ
ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ 选取多目标多标准下悬架优化方案等。
文献［１０］和文献［１１］中讨论了大型空间结构静态
变形的统计分析和控制问题。文献［１２］中提出了
一种应用预应力控制振动模态形状的方法。文献
［１３］中从矩阵摄动理论出发，得到了随机参数结构
振动频率的标准差，为结构修改提供依据。 本文中利用灵敏度分析¨ 所提供的信息，以矩
阵摄动理论 和广义逆理论 为基础，讨论了随
机参数下的悬架运动学特性优化的参数选取问题，
根据其均方根值给出使特性偏差最小的设计变量的
修改量，提出一种选取修改参数的方法并证明：按该
方法选取ｋ个设计参数进行修改，可使特性偏差的
均方值数学期望最小，并进一步给出了该最小值的
表达式。据此，本文中基于优化参数的排序方法，提
出了不限定参数个数和限定参数个数的两种参数选
取方法，即理想修改参数选取法和最优修改参数选
取法。为说明方法的应用，给出了一个双横臂悬架
运动学特性优化实例。先应用理想修改参数选取法
获得最少最合理的优化参数；再应用最优修改参数
选取法按照参数个数要求确定优化参数。仿真结果
表明，两种方法均可有效地保证优化结果。
国家自然科学基金（５１１７５２１５）资助。
原稿收到日期为２０１２年８月２７日，修改稿收到日期为２０１２年１０月２２日。
２０１３（Ｖｏ１．３５）Ｎｏ．６ 麻凯，等：悬架运动学特性优化中的参数选取方法 ・５１７・
１ 设计参数的最优修改量和参数修改
后偏差的均方值
设向量△ ＝（△ ，Ａｗｚ，…， ） ’是ｒｂ个优化
前实际值相对优化目标值的偏差量组成的向量，有
ｍ个设计参数，分别记为ｂ ，ｂ ，…，６ ，对ｎ个优化
目标的灵敏度矩阵记为
￡，＝［ｕ１，ｕ２，…，ｕ ］… （１）
为修正偏差△ ，现假定从ｍ个设计参数中选
取ｋ（ＪＩ｝≤ｍ）进行修改，记为ｂ ６ ，…，ｂ 矩阵记为
ｂ ＝【ｂ ｂ ，…，ｂ ］，相应的灵敏度矩阵记为
＝［ｂ ｂ ，…，ｂ ］ （２）
根据矩阵摄动理论＿１ ，当设计参数ｂ ｂ ，…，
６ 的修改量为Ａｂ ＝［△６ △６ ，…，△６ ］ ’时，优化
目标的修改量为
△ ＝Ｕ・Ａｂ （３）
结构经上述修改后，偏差向量变为
＝Ａｔｏ＋Ａ￣＝Ａｔｏ＋Ｕ・Ａｂ （４）
其均方值为
＝矿 ＝（Ａｔｏ＋Ｕ－Ａｂ） （Ａｔｏ＋Ｕ・Ａｂ）（５）
为使 ２唧 取最小，式（５）对△ 求导并令其为零，
得
Ｕ・Ａｂ＝一△ （６）
从而解得Ａｂ的最优修改量为
Ａｂ＝一Ｕ △ （７）
其中Ｕ 为 的Ｍｏｏｒｅ—ｐｅｎｒｏｓｅ型广义逆 ｊ，即
Ｕ ＝ （Ｕ２ ）（ｕＴｖ ） （８）
其中 、￡，２为矩阵的最大值分解，满足
＝Ｕ１・Ｕ２ （９）
式中： 为胁：ｒ的列满秩矩阵；Ｕ２为ｒｘｋ的行满秩
矩阵，而ｒ：ｒａｎｋ（Ｕ）是灵敏度矩阵￡，的秩。
将式（７）代入式（５），利用广义逆的性质和式
（８），可得结构经式（７）修改后偏差 的均方值为
＝ －２一一△ Ｕ （ｖＴｕ。）一 △ （１０）
偏差向量是一个随机向量，其协方差阵为
Ｃ△ ，则
（ －－ ２ ）＝Ｅ（ ・ ＝∑（ｃ ） （１１）
式中：Ｅ为数学期望；（ｃ ） 为ｃ蛎△ 的第ｉ个对
角线元素，即△ 的方差。
引进随机向量
＝ Ｔ×，ｖＴ△ （１２） 其中 Ｔ×，为矩阵（ｕＴＵ ） 的Ｃｈｏｌｅｓｋｙ因子，满足
（ｖＴＵ ）～＝Ｌ・Ｌ （１３）
的协方差矩阵为
ｃ ＝Ｅ（ ）＝ ｕＴｃ△－△ Ｕ１ （１４）
由式（１０）可得偏差向量 的均方值数学期望为
（ 。）＝∑（ｃ 石） 一∑（ｃ ） （１５）
２理想修改参数和最优修改参数
从式（１５）看出，要从ｍ个设计参数中选取ｋ个
６ ｂ ，…，６ 进行修改，使修改后的Ｅ（ ）最小，使
Ｃ 的迹∑（ ） 取最大。记 ‘＝ｌ
＝Ｕ１Ｌ （１６）
则 的各个列向量是正交归一的。式（１４）变为
Ｃ帅＝ Ｃ蠕 （１７）
记矩阵ｃ 的ｎ个特征值及对应的特征向量
分别为
０＜Ａ１≤Ａ２≤…≤Ａ 和ａｌ，ａ２，…，ａ （１８）
假设它们已正交归一化。ｒ个最大特征值对应
的特征向量构成一个ｎｘｒ的矩阵：
Ａ ＝［ａ 一 ＋１，…，ａ ］ （１９）
如果 使下述矩阵方程
ＡＸ＝～ｕ （２０）
有解，此时 是一个ｎｘｒ的正交阵，可得
∑（ｃ ） ∑ＡＪ（２１） ｉ＝１ ＝ｎ－ｒ＋１ 式（２０）和式（２１）说明，适当选取参数ｂ ｂ ，
…，ｂ ，使它们对应的灵敏度矩阵 的秩ｒ等于
ｍｉｎ（ｋ，ｒａｎｋ（Ｕ）），且Ｅ，的各个列向量可表示为
ａ… …，口 的线性组合，则∑（ ） 取其最大值 ｉ＝ｌ
∑Ａｆ，偏差向量 的均方值期望达到最小值 ｊ＝ ＋１
∑Ａ ，称ｂ ｂ ，…，ｂｉｋ为理想修改参数。
对于工程结构，当设计参数的设计值给定时，优
化目标对设计参数的灵敏度矩阵 是固定的。因
此，在所有ｍ个设计参数中，不一定存在ｋ个设计参
数满足上述要求；另一方面，即使存在，也不一定唯
一。在这种情况下，
采取如下方法取ｋ个设计参数 汽车工程 ２０１３年（第３５卷）第６期
ｂ ｂ ，…，６ 进行修改，称为最优修改参数。而ｂ
ｂ …，６ 称为最优修改参数组。将 的任一列向
量都表示为ａｊ线性组合
Ｈ ＝∑（ Ｈ ）ａｊ，ｉ＝１，２，…，ｍ （２２）
。 记ａ… …，ａ 组成的ｒ维子空间为
ｓｐａｎ｛ａ一 …，ａ ｝，则ｕ 在该子空间上的投影为
ｐｒｏｊ（ｕｉ）＝∑（ ）ａｙ，ｉ＝１，２，…，ｍ Ｊ＝ｎ—ｒ＋１
（２３）
投影向量ｐｒｏｊ（Ｕ ）的长度为
ｎ … Ｐ ＝（∑（ ） ）“ ， ＝１，２，…， （２４）
ｕ 与ｐｒｏｊ（Ｕ ）之间的夹角余弦值记为ｑ ，则
ｎ １ ｑ ：ｐ ／（∑（ａｆｕ ） ） ‘，０≤ｑ ≤１（２５）
将按照Ｐ 和ｑ 的大小来选取最优修改参数ｂ
ｂ ，…，ｂ 具体做法如下。
首先，按ｇ 值从大到小排序，如果ｇ ＝ｑ川＝ｑ ，
则再按Ｐ ＝ｐ…＝ｐ 的值从大到小排序。这样就得
到设计变量序号 ＝１，２，…，ｍ的一个排列
ｉ１，ｉ２，…，ｉ （２６）
最后，依次从左到右取ｋ个，记为 ，…， ，
使它们对应的设计参数的灵敏度矩阵 ＝［ 一，
￡， ］的秩等于ｍｉｎ（ｋ，ｒａｎｋ（ ））。这时，设计参数
ｂ卅，…，ｂ 即为ｋ个最优修改参数，它们构成一个最
优修改参数组。当ｑ ＝１．０时，ｂ 为理想修改参数。
３计算修改参数的个数
当修改参数的数目ｋ给定后，记ｂ ｂ ，…，６ 为
按照上述方法得到的ｋ个最优修改参数，相应的灵
敏度矩阵为 ＝［ｕ …，ｕ ］。下面计算经式（７）的
修改后偏差 的均方值数学期望 （ ２邢 ）。令
ＡＹ＝ＵｌＬ （２７）
其中Ａ＝［ａ１，ａ２，…，ａ ］， １、 和ａ 的意义同上。
将式（２７）代入式（１４），可得
ｃ ＝ｙＴ・ｄｉａｇ［Ａ 一，Ａ ］・ｙ （２８）
从而∑（ｃ ） ＝∑∑Ａｉｙ （２９）
其中ｙ＝（Ｙ ） 由式（２７）解得。再利用式（１５）得
Ｅ（１ｆ， ）＝∑Ａ 一∑∑ＡｉＹ （３ｏ） 可以证明，Ｕ＝Ｕ Ｌ列向量均可由ａ…＋ ，…，ａ
向量表示，即
∑（ｃ ） ∑口 （３１）
Ｅ ｌ Ｅ ｎ一，＋ｌ
而Ｅ（ ）＝∑Ａ （３２） ＝１ 从式（３０）看出：如果把Ｅ（ ２ｍ ）视为ｒ的函数，
则当ｒ取最大值ｒａｎｋ（Ｕ）时，Ｅ（ ）取最小。由此
可知：最优修改参数组是由ｒａｎｋ（ ）个最优修改参
数组成时，Ｅ（ ２ｍ ）取最小值，而ｒａｎｋ（Ｕ）就是最少
的修改参数个数。
４算例
以某车型双横臂独立前悬架为实例，其模型如
图１所示。由结构的对称性，选取下控制臂前点、后
点和外点的 、Ｙ、 方向的３组硬点坐标，共９个参数
作为优化参数，见表１。已知该悬架平行轮跳测试
中，当硬点坐标参数容差为２ｍｍ时，前束角和外倾
角曲线变化特点见图２和图３，中间线为初始结构参
