(参考资料)圆轴扭转时的变形和刚度条件

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圆轴扭转时的应力与强度条件

扭转是杆件的基本变形形式之一。工程中有些杆件，因承受作用平面垂直于杆轴线的力偶作用，而发生扭转变形。通常将这种杆件称为轴，如传动轴等。本讲主要分析圆截面杆的扭转。非圆截面杆受扭时，不能用材料力学的理论求解。

图1 圆轴的扭转

扭转变形和受力特点：杆件受到大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用，杆件的横截面绕轴线产生相对转动。



外力特征：力偶矩矢平行于杆的轴线。力偶矩矢方向按右手螺旋法则确定。



力偶变形特点：各轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。

一、圆轴扭转的应力

图2 圆轴扭转的剪应力分布图

图2中，tWTmax （1）

式（1）中，tW为抗扭截面模量，是仅与横截面尺寸有关的量。实心圆轴163DWn，空心圆轴DdDWn16)(44。

二、扭转强度分析

为了保证圆轴安全可靠地工作，应使轴内的最大剪应力不超过材料的许用剪应力，即 ABABmmT

maxmax2 ][maxtWT （9-7）

根据圆轴扭转的强度条件，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等三大类强度计算问题。

例：传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3输出扭矩分别为N.m3.391m和N.m1553m。若轴的材料为45钢，aMP40。根据强度确定轴的直径。

解: (1) 计算力偶距m2 。

mNmmm.3.194312

（2）画扭矩图。

（3）根据强度条件计算直径。

从扭矩图上可以看出，齿轮2与3

间的扭矩绝对值最大。

][163maxmaxmaxDTWTt

m0272.0104014.31551616363maxTD 1 2 3

圆轴扭转时的变形与刚度计算

圆轴扭转时的变形与刚度计算是机械工程中的一项重要内容。圆轴扭转是指轴材受到扭矩作用产生的变形现象。在圆轴扭转中，轴材会经历弹性变形和塑性变形。弹性变形是指轴材在扭矩作用下恢复原状的变形，而塑性变形则是指超过轴材弹性限度后产生的永久变形。

圆轴扭转可通过弹性力学原理进行分析。根据胡克定律，弹性体的应力与应变之间有线性关系。对圆轴来说，变形主要体现为轴材的剪切变形。剪切形变角度φ与应力τ之间的关系为：

τ=G*φ

其中，G是剪切模量，表示材料抵抗剪切变形的能力。φ是单位长度的圆周上小弧δs扭转对应的形变角。通过积分可得到实际的扭转角θ与应力之间的关系：

τ=G*θ/L

其中，L是轴材的长度。对于圆轴来说，扭转力矩T与应力分布之间的关系为：

T=τ*A

其中，A是轴材的横截面积。将τ带入等式可得到扭转角与扭转力矩之间的关系：

T=G*θ*A/L

从上述公式可知，轴材扭转角度与扭转力矩之间存在一线性关系，即扭转刚度k。 k=G*A/L

通过上述公式，可以得到轴材的扭转刚度。扭转刚度越大，则轴材对于扭转力矩的抵抗能力越强。

此外，圆轴扭转时的变形也与材料的断裂强度有关。当扭转力矩超过材料的断裂强度时，轴材会发生塑性变形，产生永久变形。

在实际应用中，通常会根据所需要的刚度和工作条件来选择合适的轴材及其横截面积。在计算中需要考虑到轴材的材料特性、几何形状和所受的载荷等因素。此外，还可以通过模拟实验或数值计算的方法对扭转变形和刚度进行验证和评估。

总之，圆轴扭转时的变形与刚度计算是机械工程中的一项重要内容。通过弹性力学原理，可以分析轴材在扭转力矩作用下的变形情况，并计算出轴材的扭转刚度。这对于轴类零件的设计和工程应用具有重要意义。

第五节 圆轴的扭转变形与刚度条件

一、圆周的扭转变形

圆轴受扭转时，除了考虑强度条件外，有时还要满足刚度条件。例如机床的主轴，若扭转变形太大，就会引起剧烈的振动，影响加工工件的质量。因此还需对轴的扭转变形有所限制。

轴受扭转作用时所产生的变形，是用两横截面之间的相对扭转角表示的，如下图所示。由于角与角对应同一段弧长，故有

·R = ·l (a)

式中的R是轴的半径，由剪切虎克定律，=G·，所以可得

 = ·l/ (G·) (b)

式中 = M·R/ J，代入(b)得：

 =M·l/ (G·J) (1-46)

公式(1-46)是截面A、B之间的相对扭转角计算公式，的单位是rad。两截面间的相对扭转角与两截面间的距离l成正比，为了便于比较，工程上一般都用单位轴长上的扭转角表示扭转变形的大小：

 =/ l=M/ (G·J) (1-47)

的单位是rad/m。如果扭矩的单位是N·m，G的单位MPa， J的单位m4。但是工程实际中规定的许用单位扭转角[]是以°/m为单位的，则公式(1-47)可改写为：

(1-48)

式中G·J称为轴的抗扭刚度，取决于轴的材料与截面的形状与尺寸。轴的G·J值越大，则扭转角越小，表明抗扭转变形的能力越强。

二、扭转的刚度条件

圆轴受扭转时如果变形过大，就会影响轴的正常工作。轴的扭转变形用许用扭转角[]来加以限制，其单位为°/m，其数值的大小根据载荷性质、工作条件等确定。在一般传动和搅拌轴的计算中，可选取[]=0.5°/m～10°/m。由此得出轴的扭转刚度条件：

 =M/ (G·J)·(180/ )≤[] (1-49)

1基础篇之四

第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算

杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，

杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。

本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转

角，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。

4－1 外加扭力矩、扭矩与扭矩图

作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P

和转递n，则传动轴所受的外加扭力矩Me可用下式计算：

[]

[]ekw9549[Nm]r/minPMn=⋅

其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。如功率P单位用

马力（1马力=735.5 N•m/s），则

e[]7024[Nm][r/min]PMn=⋅马力

外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力—扭矩，圆轴两端受外加

扭力矩Me作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,

称为扭矩（twist moment），用Mx表示。

图4－1 受扭转的圆轴 用假想截面m－m将圆轴截成Ⅰ、Ⅱ两部分，考虑其中任意部分的平衡，有

Mx －Me= 0

由此得到

2 图4－3 剪应力互等 Mx = Me 与轴力正负号约定相似，圆轴上同一处两侧横截面上的扭矩必须具有相同的正负号。因

此约定为：按右手定则确定扭矩矢量，如果横截面上的扭矩矢量方向与截面的外法线方向一

致，则扭矩为正；相反为负。据此，图4－1b和c中的同一横截面上的扭矩均为正。

当圆轴上作用有多个外加集中力矩或分布力矩时，进行强度计算时需要知道何处扭矩

最大，因而有必要用图形描述横截面上扭矩沿轴线的变化，这种图形称为扭矩图。绘制扭矩

图的方法与过程与轴力图类似，故不赘述。

【例题4－1】 变截面传动轴承受外加扭力矩作用，如图4－2a所示。试画出扭矩

图。

解：用假想截面从AB段任一位置（坐标为x）处截开，由左段平衡得：