水利工程坝址区GPS大地高转换为正常高的拟合模型
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神经网络(Neural Networks，简称 NN)是由大量处理单元(神经元，Neurons) 广泛相互连而成的网络，是一种旨在模仿人脑及其功能的信息处理系统，可以完 成学习、记忆、识别和推理等人脑功能。它是从微观结构和功能上用以模拟人脑 行为的复杂网络系统，是对人脑的抽象、简化和模拟，能反映人类大脑功能的若 干基本特征，如并行信息处理、学习、联想、模式分类、记忆等等。但并不是人 脑神经网络系统的真实写照，而只是对其作某种简化、抽象和模拟，是综合神经 科学、数学、统计学、物理学、计算机科学及工程等学科的一种技术，具有分类、
BP 神经网络由于具有理论上可逼近任意非线性连续映射的能力，非常适合于 非线性系统的建模及控制，因而得到了广泛的应用。然而，在实际应用中发现 BP 算法存在搜索速度较慢，且往往收敛于局部极小点，数值稳定性差，学习率、 动量项系数和初始权值等参数难以调整等缺点（阎平凡，2005）。对此，许多学 者提出了新的学习算法，如基于牛顿方向的、基于共轭梯度方向的、基于变尺度 方法的学习算法等。其中 Levenberg－Marquardt 算法（简称 LM 算法）则是最理 想的（Nφrgaard，2000），该方法是高斯－牛顿法与最速下降法的结合，既有高 斯－牛顿法的快速收敛特性，还有最速下降法的全局搜索特性，且不必计算牛顿 法的 Hessian 矩阵，同时克服了高斯－牛顿法不一定收敛的缺点（王琛，2005）。 该方法最早由 Levenberg 于 1944 年提出，但当时并未受到人们的重视。后来 Marquardt 又重新提出，并进行了理论上的探讨。所以人们称此方法为 LM 算法， 在测量领域中一般称为阻尼最小二乘法。1971 年，Fletcher 又对其实现策略进 行了改进，改进后的算法又称 LMF 算法（王新洲，2002）。
近年来提出了用神经网络进行 GPS 高程转换的方法，在理论上已经证明前向 神经网络通过对部分样本的训练、学习可以以任意精度逼近任何连续的非线性函 数，一些实践证明使用该方法可以得到相当于或高于常规平面或曲面拟合的精 度，并且可以解决已知点较少的测区中的 GPS 高程转换问题。如杨明清、靳蕃、 朱达成等（1999）提出用三层神经网络方法确定测区似大地水准面，所列实例中
（9.6）
（9.7）
按照最小二乘法可求得拟合系数 X 为：
X = (BT B)−1 ⋅ BT ⋅ζ
（9.8）
采用二次曲面拟合时，至少应有 6 个已知的 GPS 水准联测点。当少于 6 个时，可 采用平面拟合。在实际工程测量中，应根据 GPS 水准联测点的分布情况选用不同 方案进行计算。
9.4 转换 GPS 高程的神经网络方法
当测区内具有天文大地、重力测量、水准测量以及 GPS 测量等多种观测数据 时，我们即可用整体平差模型将这些观测数据进行联合平差，最终求得地面点的 平面坐标及其正常高高程的最优无偏估值。此种方法综合了上述几种方法的优 点，是 GPS 大地高转换为正常高的最可靠方法，即使在测区内控制点分布不均时， 联合平差法求取正常高高程也是十分有效的。联合平差法求取正常高的精度仍取 决于已知点的分布情况，已知数据的精度以及所建立的平差模型的优化程度等。
在某一区域内，如果有一定数量的点具有三维坐标（x，y，H正），我们即可 根据坐标转换的原理，求得参考椭球面与似大地水准面之间的平移和旋转参数， 并把这些参数加入GPS网的平差，在已知点的约束下，通过平差即可求得GPS观测 点的平面坐标和正常高高程。这种方法的精度取决于已知点的密度，已知数据的 精度以及平移旋转参数的精度。 9.2.4 联合平差法
的测区面积为 10 km2 ，实测了 43 个 GPS 水准点，网络训练 10000 次，得到了比 二次多项式曲面拟合更佳的结果；B.Stopar、T.Ambrozic、M.Kuhar 等（2006） 提出了用人工神经网络和最小二乘配置确定 GPS 似大地水准面的方法；吴兆福、 宫鹏、高飞等（2004）进行了神经网络方法确定似大地水准面的测试，实例中的
式中：
V
n*1
=
[v1
v2
" vn ]T
X
6*1
=
[a0
a1
" a5]T
ζ = [ζ1 ζ2 " ζn ]T
n*1
⎡1 ⎢
x1
y1 x12
x1 y1
y12
⎤ ⎥
B
n*6
=
⎢1 ⎢⎢"
x2 "
y2 x22 x2 y2 """
y22 ⎥
"
⎥ ⎥
⎢⎣1 xn yn xn2 xn yn yn2 ⎥⎦
（9.4） （9. 5）
测区面积为 19 km2 ，实测了 61 个 GPS 水准点，采用了 5 层 BP 网络，隐层含有 100 个神经元，计算时间长达 4～5 小时，检测精度为 1.7cm。胡伍生、华锡生、 鲍兴南等（2001）重述了转换 GPS 高程的神经元网络方法，并提出了学习中误差 越小则工作中误差也越小的并不普遍正确的观点。下面将对神经网络的原理和算 法模型进行介绍和分析。 9.4.1 神经网络原理
算每个单元的实际输出值。 第二阶段(反向传播过程)：若在输出层未能得到期望的输出值，则逐层递归
地计算实际输出与期望输出之差值(即误差)，以便根据此差调节权值。具体地说， 就是可对每一个权重计算出接收单元的误差值与发送单元的激活值的积。因为这 个积和误差对权重的(负)微商成正比(又称梯度下降算法)，把它称作权重误差微 商。权重的实际改变可由权重误差微商按各个模式分别计算出来。这两个过程的 反复运用，使得误差信号最小。实际上，误差达到人们所希望的要求时，网络的 学习过程就结束。 9.4.2 Levenberg-Marquardt 算法
BP 网络不仅有输入层节点，输出层节点，而且有隐含层节点(隐层可以是一 层或多层)。对于输入信号，要先向前传播到隐节点，经过激活函数后，再把隐 节点的输出信息传播到输出节点，最后给出输出结果。
图 9.1 BP 神经网络原理
BP 算法的主要思想是把学习过程分为两个阶段： 第一阶段(正向传播过程)：给出输入信息通过输入层经隐含层逐层处理并计
通过 GPS 测量，获取的是地面点在 WGS84 坐标系下的大地经纬度和相对于参 考椭球面的大地高，在实际工程中，需要的是相对于似大地水准面的正高或正常 高，两者之间的关系为：
ζ=H大－H正 式中，ζ为高程异常，H大为大地高，H正为正常高。
（9. 1）
因此，如果能精确求得各 GPS 点的高程异常ζ，即可精确求出该点的正常高。
LM 算法的搜索方向 dk 由下式确定：
( ) J (xk )T J (xk ) + λk I dk = −J T (xk )e(xk )
（9.8）
迭代公式为：
xk+1 = xk − ⎡⎣ J T (xk )J (xk ) + λk I ⎤⎦−1 ⎡⎣ J T (xk )e(xk )⎤⎦
（9.9）
其中 e(xk ) 为误差向量， J T (xk ) 是误差的 Jacobian 矩阵， H = J (xk )T J (xk ) 为 Hessian 矩阵，当 Hessian 矩阵秩亏或为病态矩阵时，高斯－牛顿法不能求解，
在某一区域内，如果有一定数量的已知水准点（正常高已知），就可以在这 些已知高程点上施测GPS，那么每点的高程异常值可根据（9.1）式计算得到。然 后，再用一个函数来模拟该区域的似大地水准面的高度，这样我们就可以用数学 内插的方法求解区域内任一个点的高程异常值。此时，如果在区域内某点上通过 GPS测量得到了H大，我们就可以用模拟好的数学模型求解该点的ζ，进而求得该 点的正常高。
某 GPS 水准联测点 (xi , yi ) 高程异常值为 ζi ，其二次多项式拟合残差为Vi ，则有：
vi = a0 + a1xi + a2 yi + a3xi2 + a4xi yi + a5 yi2 −ζi
若有 n 各 GPS 水准联测点，其构成的误差方程式为：
（9.2）
V = B⋅ X −ζ
（9.3）
人工神经网络是一门高度综合的交叉学科，其发展己有 50 多年的历史。1986 年，并行分布处理小组的 Rumelhart 等研究者重新独立地提出多层网络的学习算 法——BP 算法，较好地解决了多层网络的学习问题。BP 算法的提出，对人工神 经网络的研究与应用起到了巨大的推动作用。目前，以 BP 网络应用最为广泛。
9.2 GPS 高程拟合方法
9.2.1 利用重力测量方法求高程异常 高程异常是地球重力场的参数，利用地球重力场模型，根据点位信息，可直
接求得该点的高程异常值。在一定区域内，只要有足够数量的重力测量数据，就
可以比较精确地求定该区域地高程异常值。对于实施水准测量比较困难地丘陵和 山区，利用重力测量方法是比较实用且可靠地方法。但此法的缺点是需要足够多 且精度足够高的重力测量方法来测量，而且精度不高。 9.2.2 数学模型拟合法
辨识和推理能力。简而言之，所谓 NN 就是模仿人脑工作方式而设计的一种机器， 或者说 NN 是一种具有大量连接的并行分布式处理器，它具有通过学习获取知识 并解决问题的能力（阎平凡等，2005）。
神经元(即神经细胞)由细胞体、树突、轴突和突触四部分组成。每个细胞体 都有一个细胞核在进行着呼吸和新陈代谢等许多生化过程。神经元的树突较短， 分支很多，是信息的输入端。轴突较长，是信息的输出端。突触是一个神经元与 另一个神经元相联系的特殊结构部位。树突和轴突一一对接，从而靠突触把众多 的神经元连成一个神经元网络。各神经元之间的连接强度和极性可以有所不同， 并且都可进行调整，因此，人脑才可以有存储信息的功能。神经网络无需预先给 定公式的形式，能够以样本数据为基础，按照某种算法经过有限次迭代获得一个 反映样本数据内在规律的数学模型，因此非常适合于研究复杂非线性系统和不确 定过程。
BP 神经网络由于具有理论上可逼近任意非线性连续映射的能力，非常适合于 非线性系统的建模及控制，因而得到了广泛的应用。然而，在实际应用中发现 BP 算法存在搜索速度较慢，且往往收敛于局部极小点，数值稳定性差，学习率、 动量项系数和初始权值等参数难以调整等缺点（阎平凡，2005）。对此，许多学 者提出了新的学习算法，如基于牛顿方向的、基于共轭梯度方向的、基于变尺度 方法的学习算法等。其中 Levenberg－Marquardt 算法（简称 LM 算法）则是最理 想的（Nφrgaard，2000），该方法是高斯－牛顿法与最速下降法的结合，既有高 斯－牛顿法的快速收敛特性，还有最速下降法的全局搜索特性，且不必计算牛顿 法的 Hessian 矩阵，同时克服了高斯－牛顿法不一定收敛的缺点（王琛，2005）。 该方法最早由 Levenberg 于 1944 年提出，但当时并未受到人们的重视。后来 Marquardt 又重新提出，并进行了理论上的探讨。所以人们称此方法为 LM 算法， 在测量领域中一般称为阻尼最小二乘法。1971 年，Fletcher 又对其实现策略进 行了改进，改进后的算法又称 LMF 算法（王新洲，2002）。
近年来提出了用神经网络进行 GPS 高程转换的方法，在理论上已经证明前向 神经网络通过对部分样本的训练、学习可以以任意精度逼近任何连续的非线性函 数，一些实践证明使用该方法可以得到相当于或高于常规平面或曲面拟合的精 度，并且可以解决已知点较少的测区中的 GPS 高程转换问题。如杨明清、靳蕃、 朱达成等（1999）提出用三层神经网络方法确定测区似大地水准面，所列实例中
（9.6）
（9.7）
按照最小二乘法可求得拟合系数 X 为：
X = (BT B)−1 ⋅ BT ⋅ζ
（9.8）
采用二次曲面拟合时，至少应有 6 个已知的 GPS 水准联测点。当少于 6 个时，可 采用平面拟合。在实际工程测量中，应根据 GPS 水准联测点的分布情况选用不同 方案进行计算。
9.4 转换 GPS 高程的神经网络方法
当测区内具有天文大地、重力测量、水准测量以及 GPS 测量等多种观测数据 时，我们即可用整体平差模型将这些观测数据进行联合平差，最终求得地面点的 平面坐标及其正常高高程的最优无偏估值。此种方法综合了上述几种方法的优 点，是 GPS 大地高转换为正常高的最可靠方法，即使在测区内控制点分布不均时， 联合平差法求取正常高高程也是十分有效的。联合平差法求取正常高的精度仍取 决于已知点的分布情况，已知数据的精度以及所建立的平差模型的优化程度等。
在某一区域内，如果有一定数量的点具有三维坐标（x，y，H正），我们即可 根据坐标转换的原理，求得参考椭球面与似大地水准面之间的平移和旋转参数， 并把这些参数加入GPS网的平差，在已知点的约束下，通过平差即可求得GPS观测 点的平面坐标和正常高高程。这种方法的精度取决于已知点的密度，已知数据的 精度以及平移旋转参数的精度。 9.2.4 联合平差法
的测区面积为 10 km2 ，实测了 43 个 GPS 水准点，网络训练 10000 次，得到了比 二次多项式曲面拟合更佳的结果；B.Stopar、T.Ambrozic、M.Kuhar 等（2006） 提出了用人工神经网络和最小二乘配置确定 GPS 似大地水准面的方法；吴兆福、 宫鹏、高飞等（2004）进行了神经网络方法确定似大地水准面的测试，实例中的
式中：
V
n*1
=
[v1
v2
" vn ]T
X
6*1
=
[a0
a1
" a5]T
ζ = [ζ1 ζ2 " ζn ]T
n*1
⎡1 ⎢
x1
y1 x12
x1 y1
y12
⎤ ⎥
B
n*6
=
⎢1 ⎢⎢"
x2 "
y2 x22 x2 y2 """
y22 ⎥
"
⎥ ⎥
⎢⎣1 xn yn xn2 xn yn yn2 ⎥⎦
（9.4） （9. 5）
测区面积为 19 km2 ，实测了 61 个 GPS 水准点，采用了 5 层 BP 网络，隐层含有 100 个神经元，计算时间长达 4～5 小时，检测精度为 1.7cm。胡伍生、华锡生、 鲍兴南等（2001）重述了转换 GPS 高程的神经元网络方法，并提出了学习中误差 越小则工作中误差也越小的并不普遍正确的观点。下面将对神经网络的原理和算 法模型进行介绍和分析。 9.4.1 神经网络原理
算每个单元的实际输出值。 第二阶段(反向传播过程)：若在输出层未能得到期望的输出值，则逐层递归
地计算实际输出与期望输出之差值(即误差)，以便根据此差调节权值。具体地说， 就是可对每一个权重计算出接收单元的误差值与发送单元的激活值的积。因为这 个积和误差对权重的(负)微商成正比(又称梯度下降算法)，把它称作权重误差微 商。权重的实际改变可由权重误差微商按各个模式分别计算出来。这两个过程的 反复运用，使得误差信号最小。实际上，误差达到人们所希望的要求时，网络的 学习过程就结束。 9.4.2 Levenberg-Marquardt 算法
BP 网络不仅有输入层节点，输出层节点，而且有隐含层节点(隐层可以是一 层或多层)。对于输入信号，要先向前传播到隐节点，经过激活函数后，再把隐 节点的输出信息传播到输出节点，最后给出输出结果。
图 9.1 BP 神经网络原理
BP 算法的主要思想是把学习过程分为两个阶段： 第一阶段(正向传播过程)：给出输入信息通过输入层经隐含层逐层处理并计
通过 GPS 测量，获取的是地面点在 WGS84 坐标系下的大地经纬度和相对于参 考椭球面的大地高，在实际工程中，需要的是相对于似大地水准面的正高或正常 高，两者之间的关系为：
ζ=H大－H正 式中，ζ为高程异常，H大为大地高，H正为正常高。
（9. 1）
因此，如果能精确求得各 GPS 点的高程异常ζ，即可精确求出该点的正常高。
LM 算法的搜索方向 dk 由下式确定：
( ) J (xk )T J (xk ) + λk I dk = −J T (xk )e(xk )
（9.8）
迭代公式为：
xk+1 = xk − ⎡⎣ J T (xk )J (xk ) + λk I ⎤⎦−1 ⎡⎣ J T (xk )e(xk )⎤⎦
（9.9）
其中 e(xk ) 为误差向量， J T (xk ) 是误差的 Jacobian 矩阵， H = J (xk )T J (xk ) 为 Hessian 矩阵，当 Hessian 矩阵秩亏或为病态矩阵时，高斯－牛顿法不能求解，
在某一区域内，如果有一定数量的已知水准点（正常高已知），就可以在这 些已知高程点上施测GPS，那么每点的高程异常值可根据（9.1）式计算得到。然 后，再用一个函数来模拟该区域的似大地水准面的高度，这样我们就可以用数学 内插的方法求解区域内任一个点的高程异常值。此时，如果在区域内某点上通过 GPS测量得到了H大，我们就可以用模拟好的数学模型求解该点的ζ，进而求得该 点的正常高。
某 GPS 水准联测点 (xi , yi ) 高程异常值为 ζi ，其二次多项式拟合残差为Vi ，则有：
vi = a0 + a1xi + a2 yi + a3xi2 + a4xi yi + a5 yi2 −ζi
若有 n 各 GPS 水准联测点，其构成的误差方程式为：
（9.2）
V = B⋅ X −ζ
（9.3）
人工神经网络是一门高度综合的交叉学科，其发展己有 50 多年的历史。1986 年，并行分布处理小组的 Rumelhart 等研究者重新独立地提出多层网络的学习算 法——BP 算法，较好地解决了多层网络的学习问题。BP 算法的提出，对人工神 经网络的研究与应用起到了巨大的推动作用。目前，以 BP 网络应用最为广泛。
9.2 GPS 高程拟合方法
9.2.1 利用重力测量方法求高程异常 高程异常是地球重力场的参数，利用地球重力场模型，根据点位信息，可直
接求得该点的高程异常值。在一定区域内，只要有足够数量的重力测量数据，就
可以比较精确地求定该区域地高程异常值。对于实施水准测量比较困难地丘陵和 山区，利用重力测量方法是比较实用且可靠地方法。但此法的缺点是需要足够多 且精度足够高的重力测量方法来测量，而且精度不高。 9.2.2 数学模型拟合法
辨识和推理能力。简而言之，所谓 NN 就是模仿人脑工作方式而设计的一种机器， 或者说 NN 是一种具有大量连接的并行分布式处理器，它具有通过学习获取知识 并解决问题的能力（阎平凡等，2005）。
神经元(即神经细胞)由细胞体、树突、轴突和突触四部分组成。每个细胞体 都有一个细胞核在进行着呼吸和新陈代谢等许多生化过程。神经元的树突较短， 分支很多，是信息的输入端。轴突较长，是信息的输出端。突触是一个神经元与 另一个神经元相联系的特殊结构部位。树突和轴突一一对接，从而靠突触把众多 的神经元连成一个神经元网络。各神经元之间的连接强度和极性可以有所不同， 并且都可进行调整，因此，人脑才可以有存储信息的功能。神经网络无需预先给 定公式的形式，能够以样本数据为基础，按照某种算法经过有限次迭代获得一个 反映样本数据内在规律的数学模型，因此非常适合于研究复杂非线性系统和不确 定过程。
