高一数学调研考试及答案

海南省儋州市一中2024届数学高一下期末调研试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在数列中，（，为常数），若平面上的三个不共线的非零向量、、满足，三点、、共线且该直线不过点，则等于（ ） A ．B ．C ．D ．2．设为两个不同的平面，直线，则“”是“”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若{}n a 是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是( ) A ．{}2n aB ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{}3n aD ．{}n a4．正方体ABCD A B C D ''''-中，AB 的中点为P ，CC '的中点为Q ，则异面直线B P '与D Q '所成的角是( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．已知函数()sin 3f x x x =+，则下列命题正确的是（ ） ①()f x 的最大值为2； ②()f x 的图象关于,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ③()f x 在区间5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增； ④若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则12373x x x π++=； A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④6．从某健康体检中心抽取了8名成人的身高数据（单位：厘米），数据分别为172，170，172，166，168，168，172，175，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A ．171 172B ．170 172C ．168 172D ．170 1757． 数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)910n⎛⎫⎪⎝⎭，那么在此数列中( )A ．a 7＝a 8最大B ．a 8＝a 9最大C ．有唯一项a 8最大 D ．有唯一项a 7最大8．已知关于x 的不等式20x ax b --<的解集是(2,3)-，则+a b 的值是（ ） A ．7B ．7-C ．11D ．11-9．一个体积为123的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱）的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为（ ）A ．63B ．3C ．83D ．1210．如图，AB 是圆O 的直径，OC AB ⊥，假设你往圆内随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）A ．12πB ．1πC ．13πD ．1π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

成都市～上期期末调研考试高一数学本卷分 A 、 B 卷。

A 卷 100 分； B 卷 50 分，全卷分150 分，考1。

A卷（共 100 分）一、：在每小出的四个中，只有一是符合目要求的。

（每小 5 分，共 50分）1．集合 {0 ， 1， 2} 的所有真子集的个数是（）A ． 5B ． 6C． 7 D ． 82．若集合 M={(x,y)|x+y=0} ， P={(x,y)|x － y=2} ， M P 是（）A．（ 1，－ 1）B． {x=1} {y= － 1}C． {1 ，－ 1}D． {(1 ，－ 1)}3． M=R ，从 M 到 P 的映射f∶x y1），象集 P （x2 1A ． {y|y R}B． {y|y R+}C． {y|0 ≤ y≤ 2} D ． {y|0 ＜ y≤1}4．条件 p∶ |x|=x ，条件 q∶ x2≥－ x ， p 是 q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知数 y=x 2 +2(a － 2)x+5 在区（ 4， +）上是增函数，数 a 的取范是（）A ． a≤－ 2B． a≥－ 2C． a≤－ 6D． a≥－ 66．三个数成等差数列，其平方和450，两两之的和423 ，中一个数（）A．± 12B． 150C．150D． 1503－ 3，那么个数列的通公式是（）7．如果数列 {a n } 的前 n 和 S n= a n2A ． a n=2(n 2+n+1)B． a n=3 · 2nC． a n=3n+1 D ． a n=2 · 3n8．已知等差数列{a n} 的公差是2，且 a1+a2+a3+⋯ +a100 =100 ，那么 a4+a8＋ a12+ ⋯ +a100 =（）A．25B．50C． 75D．1009．函数 y=log 2|x|的大致图象是（）10.若 f x)在（，）上是减函数，而 f ax在（，）上是增函数，则实数a的取值范围(0()是（）A. (0,)B. (1,)C. (0, 1)D. (0,1) (1,)二、填空题：把答案直接填在题后的横线上。

2023-2024学年天津市耀华中学高一数学下学期调研考试卷2024.4一、选择题（本题共有14个小题，每小题3分，请将正确答案填涂到答题卡相应位置上，答在试卷上的无效）1．已知球O 的表面积为12π，则它的体积为（）A ．B ．C ．D ．2．已知1i22iz -=+，则z z -=（）A ．i-B ．iC ．0D ．13．已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，对于下列四个命题：①,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒；②//,//n m n m αα⊂⇒；③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒；④//,//m n m n αα⊂⇒．其中正确命题的个数有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．在△ABC 中，“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知()1,2a = ，(),3b x =- ，若()a ab ⊥+，则x =（）A ．1B ．1-C ．32-D ．12-6．在ABC 中，20BD CD +=则（）A ．2133AD AB AC =+ B ．1455AD AB AC=+ C ．1233AD AB AC =+ D ．13AD AB AC=- 7．已知12,e e 是两个不共线的向量，若122e e λ+ 与12e e μ+是共线向量，则（）A ．2λμ=-B ．2λμ=-C ．2λμ=D ．2λμ=8．已知等边三角形ABC 的边长为4，D 为边AB 的中点，E 是边AC 上的动点，则EA ED ⋅的取值范围为（）A ．[]1,6-B ．[]1,12-C ．[]0,6D ．1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，点E 、F 分别是棱11AA DD 、的中点，则过点E 、F 的直线被球O 截得的线段长为（）AB ．2aCD ．22a 10．已知O 是ABC 内一点，0OA OB OC ++= ，AB AC ⋅=30BAC ∠=︒，则OBC △的面积为（）AB ．3C ．1D ．1311．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成（如图1），也可由正方体切割而成（如图2）．在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为2，则该几何体的体积为（）AB ．2C ．D ．412．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则球O 的表面积等于（）A ．121π2B ．81π2C ．121π8D ．81π813．如图，实心正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，其中上、下底面的中心分别为,Q R ．若从该正方体中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以R 为顶点，以正方形1111D C B A 的内切圆为底面，另一个圆锥以Q 为顶点，以正方形ABCD 的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（）A ．5π848-B ．7π848-C ．25π824-D ．7π86-14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（）A ．52,2⎦B ．32542⎡⎢⎣⎦C ．3252⎡⎢⎣D ．522⎣二、填空题（本题共有8个小题，每题3分，请将答案填在答题卡相应位置上答在试卷上的无效）15．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2222a c b +-，则角B 的大小为16．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD =m.17．圆锥轴截面顶角为120°，母线长为3，过圆锥顶点的平面截此圆锥，则截面三角形面积的最大值为．18．若复数z 满足()13i 3i z +=，则z 的虚部为.19．设a ，b 为不重合的两条直线α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a ⊂α，b ⊄α，a ，b 是异面直线，那么b //α；②若a ⊂α，b //α，a ，b 共面，那么a //b ；③若α//β，a ⊂α，则a //β．上面命题中，所有真命题的序号是．20．如图，在四边形ABCD 中，=60B ∠︒，4AB =，6BC =，且AD BC λ= ，2AD AB ⋅=-，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为．21．如图，用一边长2为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，2的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为．22．在等腰梯形中，//AB CD ，2AB =，1AD =，π3DAB ∠=，点F 是线段AB 上的一点，M 为AD 边上的动点，若2BC CE = ，AF AB λ=，且98AE DF ⋅=- ，则MF MB ⋅ 的最小值为．三、解答题（本题共有3个小题，总分34分，请将答案填在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效）23．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．满足()2cos cos a c B b C -=．(1)求角B 的大小；(2)设4a =，b =（ⅰ）求c 的值；（ⅱ）求()cos 2C B +的值．24．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为AC 的中点．(1)在平面1111D C B A 内找一点Q ，使PQ //平面11A BC ，并证明；(2)求三棱锥11P A C B -的体积和表面积．25．已知()()3π22sin sin π2f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，x ∈R ．(1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()f A =，4a =，求ABC 面积的最大值．1．A【分析】根据给定条件，求出球O 的半径，再利用球的体积公式计算作答.【详解】球O 的表面积为12π，设球O 的半径为R ，则有2412R ππ=，解得R =，所以球O 的体积为334433V R ππ==⨯=.故选：A 2．A【分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．【详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．3．A【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断.【详解】对于①：因为面面平行的判定定理要求,m n 相交，若没有，则,αβ可能相交，故①错误；对于②：因为线面平行的判定定理要求m α⊄，若没有，则可能m α⊂，故②错误；对于③：根据线、面位置关系可知：m //n ，或,m n 异面，故③错误；对于④：根据线、面位置关系可知：m //n ，或,m n 异面，故④错误；故选：A.4．D【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设条件间的推出关系，即可知答案.【详解】由||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅<，即cos 0B >，又0B π<<，所以02B π<<，不能推出△ABC 为钝角三角形，充分性不成立；△ABC 为钝角三角形时，若2B ππ<<，则||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅>，不能推出0AB BC ⋅<，必要性不成立.所以“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D 5．A【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】()1,1a b x +=+-，由()a a b ⊥+ 得()()()11210a a b x ⋅+=⨯++⨯-= ，解得1x =.故选：A.6．C【分析】根据D 点所在位置，结合平面向量的线性运算，即可求得结果.【详解】因为20BD CD +=，所以D 为线段BC 上靠近C 的三等分点，如下图所示：故()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ．故选：C ．7．D【分析】根据题意，由平面向量共线定理，列出方程，即可得到结果.【详解】依题意，设()12122e e t e e λμ+=+ ，又12,e e 是两个不共线的向量，所以2,t t μλ==，所以2λμ=．故选：D 8．D【分析】取线段AC 的中点O ，连接OB ，以点O 为原点，OA 、OB 所在的直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，设点(),0E x ，则22x -≤≤，利用二次函数的基本性质结合平面向量数量积的坐标运算可求得EA ED ⋅的取值范围.【详解】取线段AC 的中点O ，连接OB ，则OB AC ⊥，以点O 为原点，OA 、OB 所在的直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则()2,0A 、(D ，设点(),0E x ，则22x -≤≤，()2,0EA x =-，()1,3ED x =- ，所以，()()2231213224EA ED x x x x x ⎛⎫⋅=--=-+=-- ⎪⎝⎭ ，因为函数()23124f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上为减函数，在3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，所以，()min 3124f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又因为()212f -=，()20f =，所以，()max 12f x =，因此，EA ED ⋅ 的取值范围是1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D.9．C【分析】先求球的半径，再求弦长QR 即可．【详解】因为正方体内接于球，所以2222R a a a =++，32R a =，过球心O 和点E 、F 的大圆的截面图如图所示，则直线被球截得的线段为QR ，过点O 作OP QR ⊥于点P ，易知,EF a =所以在QPO 中，22322()()222a a QR QP a==-=故选：C.10．D【分析】由题意判断O 为ABC 的重心，可得13OBC ABC S S =△△，结合23AB AC ⋅= AB AC ，可求得ABC S ，即可求得答案.【详解】由题意知O 是ABC 内一点，0OA OB OC ++=，设D 为BC 的中点，则()2OA OB OC OD =-+=-，故O 为ABC 的重心，则13OBC ABC S S =△△，又AB AC ⋅=30BAC ∠=︒，则cos 4AB AC BAC AB AC ⋅∠=∴= ，故111sin 41222ABC S AB AC BAC =∠=⨯⨯= ，则1133OBC ABC S S == ，故选：D 11．A【分析】利用割补法，结合体积公式求出即可.【详解】因为2AH =，所以AB =，1AE BE ==，设AC BD O = ，则O 到AB 的距离为22，所以蒺藜形多面体体积为正方体体积减去12O ABE V -，即311121132-⨯⨯⨯⨯故选：A 12．B【分析】借助圆锥的性质可计算出母线、高，由圆锥的顶点和底面圆周都在球O 的球面上，可得O 在圆锥的高所在直线上，且到圆锥顶点与底面圆周的距离相等，即可得()222h R r R -+=，代入数据计算即可得球的半径，借助球的表面积公式计算即可得解.【详解】底面周长为2π4πC r ==，则母线长度4π62π3Cl α===，则圆锥的高为h ==由圆锥的顶点和底面圆周都在球O 的球面上，故O 在圆锥的高所在直线上，且到圆锥顶点与底面圆周的距离相等，设球O 的半径为R ，则有()222h R r R -+=，即()224R R -+=，解得4R =，故球O 的表面积等于2281π4π4π42S R ⎛==⨯= ⎝⎭.故选：B.13．D【分析】计算出正方体体积、两圆锥的体积及其公共部分的体积即可得.【详解】两圆锥的体积都为221112ππ12π333V r h ==⨯⨯⨯=，则其公共部分为2211π2π1326V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故该正方体剩余部分的体积为3124ππ7π2288366V V V =-⨯+=-+=-.故选：D.14．C【分析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，易证平面1//A MN 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时1A P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【详解】如下图所示，分别取棱1BB ，11B C 的中点M 、N ，连MN ，1BC ，M ，N ，E ，F 分别为所在棱的中点，则1//MN BC ，1//EF BC ，//MN EF ∴，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，//MN ∴平面AEF .1//AA NE ，1AA NE =，∴四边形1AENA 为平行四边形，1//A N AE ∴，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，1//A N ∴平面AEF ，又1A N MN N = ，∴平面1//A MN 平面AEF .P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，∴点P 必在线段MN 上.在11Rt A B M ∆中，1A M =同理，在11Rt A B N ∆中，可得1A N =1A MN ∴∆为等腰三角形.当点P 为MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短；点P 位于M 、N 处时，1A P 最长.1322AO = ，11A M A N ==∴线段1A P 长度的取值范围是322⎡⎢⎣.故选：C.【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．15．4π【分析】利用余弦定理结合已知条件求B 的余弦值即得结果.【详解】因为222a cb +-，所以222cos 2ac b B ac +-==又△ABC 中，()0,B π∈，故4B π=，故答案为：4π.16．【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填考点：正弦定理及运用．17．92【分析】由题意可知任两条母线的夹角20,π3θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，轴截面的面积21sin 2S l θ=，根据θ的范围，求截面面积的最大值.【详解】因为圆锥轴截面顶角为2π3，所以任两条母线夹角的范围是20,π3⎛⎤⎥⎝⎦，设母线长为l ，母线的夹角是θ，所以圆锥顶点的轴截面面积219sin sin 22S l θθ==，因为20,π3θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以(]sin 0,1θ∈，所以轴截面面积的最大值是92.故答案为：92.18．【分析】化简复数z ，由虚部定义可得结果.【详解】2121i422z -==- ，z ∴的虚部为.故答案为：.19．②③【分析】对选项逐个判断，对①，若a ⊂α，b ⊄α，a ，b 是异面直线可得出相交平行异面，即可判断正误；对②，由线面平行的性质可判断；对③由面面平行的性质可判断.【详解】a ，b 为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，对于①，若a ⊂α，b ⊄α，a ，b 是异面直线，那么b 与α相交或平行或异面，故①错误；对于②，若a ⊂α，b //α，a ，b 共面，那么由线面平行的性质得a //b ，故②正确；对于③，若α//β，a ⊂α，则由面面平行的性质得a //β，故③正确．故答案为：②③．20．16474【分析】可得120BAD ∠= ，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值.【详解】因为AD BC λ=，所以//AD BC ，又=60B ∠︒，所以180120BAD B ∠=-∠= ，所以cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅，因为4AB = ，6BC = ，2AD AB ⋅=- 所以1641222λλ⎛⎫⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，因为6BC =，所以点C 的坐标为()6,0，因为4,60AB ABC =∠=︒，所以点A 的坐标为(2,，又16AD BC =,则(3,D ，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），(3,DM x =-- ，(2,DN x =--，()()(2225473251824DM DN x x x x x ⎛⎫⋅=--+=-+=-+⎪⎝⎭，所以，当52x =时，DM DN ⋅ 取得最小值474.故答案为：16；474.21【分析】由条件可求4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径，结合球的截面性质可求球心到截面圆的距离，进一步加上垂直折起的4个小直角三角形的高以及鸡蛋（球）的半径即可得解.的正方形，，，所以球心到截面的距离为2d==，22=故答案为：3262.22．3964【分析】先建立平面直角坐标系，根据条件求出14λ=，写出MF DM⋅的表达式，结合二次函数性质求其最小值.【详解】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图，由已知可得1(0,0),,(2,0)2A D Fλ⎛⎝⎭，3(2,0),2B C⎛⎝⎭；设(,)E m n，则13,,22BC CE m n⎛⎛=-=--⎝⎭⎝⎭，由2BC CE=可得(123,22m n⎛-=--⎝⎭，解得5,4m n=5,44E⎛⎫⎪⎪⎝⎭；51,2,42AE DF λ⎛⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由98AE DF ⋅=-得519242428λ⎛⎫--⨯=- ⎪⎝⎭，解得14λ=，此时1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设AM xAD =，则2,02x MB AB AM AB xAD ⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,0222x MF AF AM AF xAD x ⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以22133553921222224864x x MF MB x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-+-⋅-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当58x =时，MF MB ⋅ 取到最小值3964.故答案为：3964.23．(1)π3B =，(2)（ⅰ）6c =，（ⅱ）()4c =os 1121C B +-.【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求解.（2）（ⅰ）利用余弦定理求解即可；（ⅱ）利用二倍角公式，两角和的余弦定理化简计算可得结论.【详解】（1）由正弦定理可得，2sin sin sin a b cR A B C===，R 为ABC 的外接圆半径，所以2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，因为()2cos cos a c B b C -=，所以()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，可得()2sin cos sin sin A B B C A =+=，因为0πA <<，故sin 0A ≠，则1cos 2B =，又0πB <<，所以π3B =.（2）由（1）知，π3B =，且4a =，b =（ⅰ）则222cos 2a c b B ac+-=，即211628224c c+-=⨯⨯，解得2c =-（舍），6c =.故6c =.（ⅱ）由()2cos cos a c B b C -=，得()12462C ⨯-⨯=，解得cos C =，则321sin 14C =，则sin22sin cos C C C ==213cos 22cos 114C C =-=-，则()cos 2=cos2cos sin 2sin C B C B C B +-1311114214⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭.24．(1)当点Q 与点1D 重合时，PQ //平面11A BC ，证明见解析，(2)三棱锥11P A C B -的体积为16，表面积为2322+.【分析】（1）观察图形确定Q ，结合线面平行判定定理证明结论；（2）由（1）结合锥体体积公式可得11111111P A C B D A C B B A C D V V V ---==，由此可求结论.【详解】（1）当点Q 与点1D 重合时，PQ //平面11A BC ，证明如下：连接BD ，由已知P 为BD 中点，连接11B D 交11A C 于点1P ，由正方体性质可得11BD B D ∥，11BD B D =，1,P P 分别为11,BD B D 的中点，故11,BP QP BP QP =∥，所以四边形1BPQP 为平行四边形，所以1PQ BP ∥，又PQ ⊄平面11A BC ，1BP ⊂平面11A BC ，所以PQ ∥平面11A BC ；（2）由（1）点1,P D 到平面11A BC 的距离相等，由锥体体积公式可得，11111P A C B D A C B V V --=，又111111D A C B B A C D V V --=，设点B 到平面111AC D 的距离为d ，则11d BB ==，又111111122A C D S =⨯⨯= ，所以111111*********13326P A C B D A C B B A C D A C D V V V S d ---===⨯⨯=⨯⨯=，所以三棱锥11P A C B -的体积为16，由已知22PA PB PC ===，111AA CC ==，所以112PA PC ==，又1111BA BC AC ===，所以22211BA BP PA =+，22211BC BP PC =+，即11A P BP,C P BP ⊥⊥，所以1112BPA S BP PA =⋅ 1112BPC S BP PC =⋅又112A BC S ==1112122A C P S = ，所以三棱锥11P A CB -的表面积为2322.25．(1)()f x 的最小正周期为π，单调递减区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，(2)ABC 面积的最大值为【分析】（1）化简得()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦型函数的周期公式及正弦函数性质可求结论；（2）由()f A =π3A =，结合正弦定理可得,sin bB cC =，根据三角形面积公式表示ABC 的面积，结合条件及正弦函数性质可求其最值.【详解】（1）由3π()22sin sin(π)2f x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，化简得，()22cos sin f x x x x =-()2sin 2f x x x =-所以()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．()f x 的最小正周期2ππ2T ==；当π2π22π(Z)6k x k k π≤+≤+∈时，化简得，π5πππ(Z)1212k x k k -≤≤+∈，所以函数()f x 单调递减区间为：π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦；（2）因为()f A =所以()2cos 2cos 2,662πf A A A π⎛⎫⎛⎫=+=⇒+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ7π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π5π266A +=，故π3A =．又4a =由正弦定理可得4πsin sin sin sin 3b c a B C A===，所以,sin b B c C =，所以11sin sin 22ABC S bc A B C B C =⋅=⨯⨯⨯ ，所以πsin 33ABC S B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，所以)22sin sin cos ABC S B B B =+ ，所以π2363ABC S B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，因为ABC 为锐角三角形，所以ππ0,π22B A B <<<+<，所以ππ62B <<，所以ππ5π2666B <-<，故π61sin 212B ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以ABC S ≤△，当且仅当π3B =时等号成立，故当π3B =时，ABC 面积取最大值，最大值为。

常州市联盟学校2023—2024学年度第二学期阶段调研高一年级数学试卷（答案在最后）考试时间120分钟满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若()1,2OA =- ，()1,1OB =-，则AB等于（）A.()2,3- B.()0,1C.()1,2- D.()2,3-2.若3a = ，4b = ，,a b 的夹角为120⁰，则a b ⋅ 等于（）.A.6- B.6C.-D.-3.已知向量()1,2a =r ，b//a ，那么向量b可以是（）A.()1,2-- B.(12)-， C.(21)， D.()2,1-4.O 是平行四边形ABCD 外一点，用OA、OB、OC 表示OD，正确的表示为（）A.OD OA OB OC=++B.OD OA OB OC=+-C.OD OA OB OC=-+D.OD OA OB OC=-- 5.有关平面向量的说法，下列正确的是（）A.若//a b r r ，//b c，则//a cr r B.若a与b共线且模长相等，则a b=C .若a b > 且a 与b 方向相同，则a b> D.()()()a b a b b a λλλ⋅=⋅=⋅恒成立6.tan10tan 50tan 50︒+︒+︒︒=（）A.1B.C.3D.7.已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO AB AC =+ ，AO AB = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A.14BC B.4BC C.14BC-D.4BC-8.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AD GB ⋅=（）A.9B.9- C.12 D.12-二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知()(),1,2,a t b t ==，则下列说法正确的是（）A.||a的最小值为1B.若a b ⊥，则0=t C.若1t =，与a垂直的单位向量只能为22,22⎛- ⎝⎭D.若向量a与向量b 的夹角为钝角，则t 的取值范围为()0-∞，10.下列化简结果正确的是（）A .1cos22sin52sin22cos522︒︒-︒︒=-B.tan24tan361tan24tan36︒︒︒-︒+=C.ππsin1212= D.sin1054︒=11.在ABC 中，下列说法正确的是（）A.若()0AB AC BC AB AC+⋅=，则ABC 是等腰三角形B.若12AB AC AB AC ⋅= ，()()0AB AC AB AC -⋅+=，则ABC 为等边三角形C.若点M 是边BC 上的点，且2133AM AB AC =+ ，则AMC 的面积是ABC 面积的13D.若D 分别是边BC 中点，点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+ ，则λμ的最大值为18三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若13AC CB =-uuu r uu r，设AB CA λ= ，则λ的值为___________.13.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为O ，A ，B 是圆O 上的两点，若2AB =，则AB AO ⋅=________________.14.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点()11,A x y ，()22,B x y ，O 为坐标原点，余弦相似度为向量OA ，OB夹角的余弦值，记作()cos ,A B ，余弦距离为()1cos ,A B -．已知()cos ,sin P αα，()cos ,sin Q ββ，()cos ,sin R αα-，若P ，Q 的余弦距离为13，Q ，R 的余弦距离为12，且π02αβ<<<，则cos 2=α__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知12,e e 是平面上两个不共线的向量且1212124,,2AB ke e CD e ke BD e e =-=-+=+（1）若,C AB D方向相反，求k 的值；（2）若,,A C D 三点共线，求k 的值.16.已知||1a = ，||b = (1,a b +=，求：（1）||a b -；（2）a b + 与a b - 的夹角．17.（1）已知sin 5α=，cos 10β=，且π02α<<及π02β-<<，求αβ+的值；（2）若sin sin 2αβ+=，1cos cos 2αβ-=，求()cos αβ+的值.18.在平面直角坐标系中，已知向量)1m =- ，()cos ,sin n αα= .（1）若m n ⊥，tan()αβ+=，求tan β的值；（2）若m 与n 的夹角为2π3且()π,0∈-α，求α的值.19.在直角梯形ABCD 中，已知2AB DC = ，ADAB ⊥，1AD CD ==，动点E 、F 分别在线段DC 和BC 上，且BF BC λ= ，()1DE DC λ=-．（1）当23λ=时，求AC EF ⋅ 的值；（2）求向量AE EF，的夹角；（3）求12AE AF +的取值范围．常州市联盟学校2023—2024学年度第二学期阶段调研高一年级数学试卷考试时间120分钟满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若()1,2OA =- ，()1,1OB =-，则AB等于（）A.()2,3- B.()0,1C.()1,2- D.()2,3-【答案】D 【解析】【分析】根据AB OB OA =-直接求解.【详解】因为()1,2OA =- ，()1,1OB =-，所以()()()1,11,22,3OB OA AB =-=---=- .故选:D.2.若3a = ，4b = ，,a b 的夹角为120⁰，则a b ⋅等于（）.A.6-B.6C.-D.-【答案】A 【解析】【分析】由数量积公式求解.【详解】1cos1203462a b a b ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：A3.已知向量()1,2a =r ，b//a ，那么向量b可以是（）A.()1,2-- B.(12)-， C.(21)， D.()2,1-【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量共线的充要条件计算即可判断.【详解】向量()1,2a =r ，b//a，则存在R λ∈，使得()=,2b a λλλ= 故只有向量()1,2--符合.故选：A.4.O 是平行四边形ABCD 外一点，用OA 、OB 、OC 表示OD，正确的表示为（）A.OD OA OB OC=++B.OD OA OB OC=+- C.OD OA OB OC =-+ D.OD OA OB OC=--【答案】C 【解析】【分析】设AC BD E = ，则E 为AC 、BD 的中点，利用平面向量的线性运算可得出OB OD OA OC +=+，即可得解.【详解】设AC BD E = ，则E 为AC 、BD 的中点，如下图所示：所以，()()()()2OA OC OE EA OE EC OE EA OE EA OE +=+++=++-=，同理可得2OB OD OE += ，所以，OB OD OA OC +=+，因此，OD OA OB OC =-+.故选：C.5.有关平面向量的说法，下列正确的是（）A.若//a b r r ，//b c，则//a cr r B.若a 与b 共线且模长相等，则a b=C.若a b > 且a 与b方向相同，则a b> D.()()()a b a b b a λλλ⋅=⋅=⋅恒成立【答案】D 【解析】【分析】根据零向量与共线向量的定义判断A ，根据相等向量的定义判断B ，根据向量的定义判断C ，根据数量积的运算律判断D.【详解】对于A ：当0b = ，0a ≠ ，0c ≠ ，满足//a b r r ，//b c，但是a 与c 不一定共线，故A 错误；对于B ：若a 与b 共线且模长相等，则a b = 或a b =-，故B 错误；对于C ：向量不能比较大小，故C 错误；对于D ：根据向量数量积的运算律可知()()()a b a b b a λλλ⋅=⋅=⋅恒成立，故D 正确.故选：D6.tan10tan 50tan 50︒+︒+︒︒=（）A.1B.C.3D.【答案】B 【解析】【分析】由()tan 1050︒+︒=.【详解】因为()tan10tan 50tan 10501tan10tan 50︒+︒︒+︒==-︒︒，tan10tan 50tan10tan 50︒︒=︒+︒，所以tan10tan 50tan 50︒+︒+︒︒=.故选：B7.已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO AB AC =+ ，AO AB = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A.14BC B.4BC C.14BC-D.4BC -【答案】A 【解析】【分析】设AB 中点为D ，确定AO AD =，ABO 为正三角形，再计算向量的投影得到答案.【详解】设AB 中点为D ，则22AO AB AC AD =+= ，即AO AD =，故BC 边为圆O 的直径，则AO OB =，又AO AB = ，则ABO 为正三角形，则有12BA BC = ，向量BA 在向量BC上的投影向量1cos604BC BA BC BC ︒⨯=，故选：A8.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AD GB ⋅=（）A.9B.9- C.12 D.12-【答案】B 【解析】【分析】先由勾股定理求出AH x =，再由向量数量积的定义式求出乘积即可.【详解】由题意可知，5,1AD HE ==，设AH x =，由勾股定理可得()22215x x ++=，解得3x =，所以3sin 5ABH ∠=，所以()3cos π5395AD GB BC GB GBC ⎛⎫⋅=⋅⋅-∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知()(),1,2,a t b t ==，则下列说法正确的是（）A.||a的最小值为1B.若a b ⊥，则0=t C.若1t =，与a垂直的单位向量只能为2222⎛- ⎝⎭D.若向量a与向量b 的夹角为钝角，则t 的取值范围为()0-∞，【答案】AB 【解析】【分析】对A ：根据模的运算公式代入计算，利用二次函数性质即可判断；对B ：利用向量垂直的坐标运算性质即可判断；对C ：举反例即可判断；对D:根据向量夹角是钝角，得到0||||a b a b ⋅<且向量a与向量b 不反向共线，即可判断．【详解】对A：||a =，则当0=t 时，||a 取最小值1，故A 正确；对B ：若a b ⊥，则20t t +=，解得0=t ，故B 正确；对C ：若1t =,()1,1,a = 易知22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭也是a垂直的单位向量，故C 错误；对D ：若a 与b 的夹角为钝角，则cos a <,0||||a b b a b ⋅>==<，且向量a与向量b不反向共线，即220t -≠，解得0t <且t ≠，故D 错误；故选：AB ．10.下列化简结果正确的是（）A.1cos22sin52sin22cos522︒︒-︒︒=-B.tan24tan361tan24tan36︒︒︒-︒+=C.ππsin1212=D.sin1054︒=【答案】BCD 【解析】【分析】利用和（差）角公式计算可得.【详解】对于A ：()1cos22sin52sin22cos52sin 5222sin302︒︒-︒︒=︒-︒=︒=，故A 错误；对于B ：()tan24tan36tan 2436tan 601tan24tan36︒+︒=︒+︒=︒=-︒︒，故B 正确；对于C：ππ1π3πsin 2sin cos 1212212212⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ππππππ2cos sin sin cos 2sin 312312123⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ2sin 2sin 44⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭C 正确；对于D ：()sin105sin 6045sin 60cos 45cos60sin 45︒=︒+︒=︒︒+︒︒122224=⨯+⨯=，故D 正确.故选：BCD11.在ABC 中，下列说法正确的是（）A.若()0AB AC BC AB AC+⋅=，则ABC 是等腰三角形B.若12AB AC AB AC ⋅= ，()()0AB AC AB AC -⋅+=，则ABC 为等边三角形C.若点M 是边BC 上的点，且2133AM AB AC =+ ，则AMC 的面积是ABC 面积的13D.若D 分别是边BC 中点，点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+ ，则λμ的最大值为18【答案】ABD 【解析】【分析】由单位向量，向量垂直判断A,由夹角公式及模长判断B,由平面向量基本定理确定M 位置判断C,由三点共线及平面向量基本定理将λμ表示为t 的二次函数求最大值判断D.【详解】对A,,,||||AB ACAB AC分别表示与,AB AC 同向的单位向量，由平面向量加法可知：||||AB ACAB AC +为BAC ∠的平分线表示的向量，由()0AB AC BC AB AC+⋅=，可得BAC ∠的平分线AD 与BC 垂直，故ABC 是等腰三角形，故A 正确；对B,由题意，1cos ,2AB AC AB AC AB AC AB AC ⋅== ,则1cos ,2AB AC = ，[],0,πAB AC ∈ ，故π3BAC ∠=，又()()0AB AC AB AC -⋅+= ，则220AB AC -= ，即AB AC = ，故ABC 为等边三角形，故B 正确；对C ,若点M 是边BC 上的点，设[],0,1BM BC λλ=∈ ，则()AM AB AC AB λ-=- ，即()1AM AC AB λλ=+- ，结合2133AM AB AC =+ ，知13λ=，则点M 是边BC 上的靠近B 的三等分点，则AMC 的面积是ABC 面积的23，故C错误；对D，如图所示：因为P 在AD 上，即A ，P ，D 三点共线，设(1),01BP tBA t BD t =+-≤≤ ，又因为12BD BC = ，所以(1)2t BP tBA BC -=+，因为BP BA BC λμ=+ ，则12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ≤≤，令21111()2228t y t t lm -==´=--+，12t =时，λμ取得最大值为18．故D 正确．故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，关键是利用三点共线及平面向量基本定理λμ表示为t 的二次函数解决D 选项.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若13AC CB =-uuu r uu r ，设AB CA λ= ，则λ的值为___________.【答案】2【解析】【分析】根据向量的线性运算计算即可.【详解】因为13AC CB =-uuu r uu r，所以3CB AC =- ，则322AB AC CB AC AC AC CA =+=-=-= ，又因为AB CA λ= ，所以2λ=.故答案为：2.13.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为O ，A ，B 是圆O 上的两点，若2AB =，则AB AO ⋅= ________________.【答案】2【解析】【分析】根据题意，利用数量积公式直接计算即可．【详解】依题意，1||cos ,||2AO AB AO AB <>= ，则1||||cos ,||||2122AB AO AB AO AB AO AB AB ⋅=〈〉=⨯=⨯= ．故答案为：2．14.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点()11,A x y ，()22,B x y ，O 为坐标原点，余弦相似度为向量OA ，OB 夹角的余弦值，记作()cos ,A B ，余弦距离为()1cos ,A B -．已知()cos ,sin P αα，()cos ,sin Q ββ，()cos ,sin R αα-，若P ，Q 的余弦距离为13，Q ，R 的余弦距离为12，且π02αβ<<<，则cos 2=α__________.【答案】2156+【解析】【分析】利用新定义得到关于sin sin αβ，cos cos αβ的方程，进而求得cos()αβ+，cos()αβ-，再利用基本关系式求得sin(),sin()ααββ+-，从而利用整体法与余弦函数的和差公式即可得解.【详解】(cos ,sin )OP αα= ，(cos ,sin )OQ ββ=，所以()()cos ,cos cos sin sin cos P Q αβαβαβ==+=-，所以()11cos 3αβ--=，同理可得,()()cos ,cos Q R αβ=+，所以()11cos 2αβ-+=，解得1cos()2αβ+=，2cos()3αβ-=，因为π02αβ<<<，所以0παβ<+<，π02αβ-<-<，所以3sin()2αβ+=，sin()3αβ-=-，所以cos()cos()cos()sin()sin()cos 2ααβαβαβαβαβαβ=++-=+--+-123521523236⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：26+.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知12,e e 是平面上两个不共线的向量且1212124,,2AB ke e CD e ke BD e e =-=-+=+ （1）若,C AB D 方向相反，求k 的值；（2）若,,A C D 三点共线，求k 的值.【答案】（1）2；（2）1k =或 2.-【解析】【分析】（1）由//AB CD 得()12124ke e e ke λ-=-+ ，再由向量相等可得答案；（2）由题意知AD CD μ= ，即()()121212k e e e ke μ+-=-+ ，再由向量相等可得答案.【详解】（1）由题意知，//AB CD ，则存在R λ∈，使得AB CD λ= ，即()12124ke e e ke λ-=-+ ，从而4k k λλ=-⎧⎨-=⎩，得22k λ=⎧⎨=-⎩，或22k λ=-⎧⎨=⎩，又,C AB D 方向相反，则2,2;k λ=-=（2）由题意知，()1212AD AB BD k e e =+=+- ，由,,A C D 三点共线得，，存在R μ∈，使得AD CD μ= ，即()()121212k e e e ke μ+-=-+ ，从而12k k μμ+=-⎧⎨-=⎩，得12k μ=⎧⎨=-⎩或21k μ=-⎧⎨=⎩，所以1k =或2k =-.16.已知||1a =，||b = ，(1,a b += ，求：（1）||a b - ；（2）a b + 与a b - 的夹角．【答案】（1）2（2）120︒【解析】【分析】（1）根据题意结合数量积的运算律和模长公式运算求解；（2）根据题意结合数量积的运算律和夹角公式运算求解.【小问1详解】由已知(1,a b += ，则()22224a b a b a b +=++⋅=r r r r r r ，可得0a b ⋅= ，则22224a b a b a b -=+-⋅=r r r r r r ，所以2a b -= .【小问2详解】设a b + 与a b - 的夹角为θ，则()()22131cos 2242a b a b a b a b a b θ+⋅---====-⨯+-r r r r r r r r r r ，且0180θ︒≤≤︒，所以a b + 与a b - 的夹角为120︒．17.（1）已知sin5α=，cos 10β=，且π02α<<及π02β-<<，求αβ+的值；（2）若sin sin 2αβ+=，1cos cos 2αβ-=，求()cos αβ+的值.【答案】（1）π4αβ+=-；（2）()5cos 8αβ+=【解析】【分析】（1）由平方关系求出cos ,sin αβ，再利用两角和的正弦公式代入求解；（2）将两式平方相加并利用平方关系和两角差的余弦化简求解即可.【详解】（1）已知sin5α=，cos 10β=，且π02α<<及π02β-<<，所以cos 5α==，sin 10β==-，所以()sin sin cos cos sin ()5105102αβαβαβ+=+=⨯-=-又π02α<<及π02β-<<，所以ππ,22αβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故π4αβ+=-；（2）由sin sin 2αβ+=，1cos cos 2αβ-=，得()2221sin sin sin sin 2sin sin 2αβαβαβ+=++=，()2221cos cos cos cos 2cos cos 4αβαβαβ-=+-=，相加得22223sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos 4αβαβαβαβ++++-=，即()()322cos cos sin sin 22cos 4αβαβαβ--=-+=，所以()5cos 8αβ+=.18.在平面直角坐标系中，已知向量)1m =- ，()cos ,sin n αα= .（1）若m n ⊥，tan()αβ+=，求tan β的值；（2）若m 与n 的夹角为2π3且()π,0∈-α，求α的值.【答案】（1）7（2）5π6α=-【解析】【分析】（1）由已知向量的坐标结合向量垂直列式求得tan α=，再利用两角差的正切求值；（2）直接利用数量积求夹角公式及辅助角公式可得π1cos 62α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求得π6α+的值，则α的值可求．【小问1详解】因为)1m =- ，()cos ,sin n αα= 且m n ⊥ ，sin 0αα-=，cos 0α≠，所以tan α=，故tan()tan tan tan()1tan()tan 7αβαβαβααβα+-=+-==++ ；【小问2详解】因为)1m =- ，()cos sin n αα= ，，所以2m ==，1n =，sin m n αα⋅=- ，因为m 与n 的夹角为2π3，所以2π1cos 32m n m n ⋅==-⋅，即sin 122αα-=-，所以π1cos 62α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为()π,0∈-α，所以π5ππ,666α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以π2π63α+=-，所以5π6α=-.19.在直角梯形ABCD 中，已知2AB DC = ，AD AB ⊥，1AD CD == ，动点E 、F 分别在线段DC 和BC 上，且BF BC λ= ，()1DE DC λ=- ．（1）当23λ=时，求AC EF ⋅ 的值；（2）求向量AE EF ，的夹角；（3）求12AE AF + 的取值范围．【答案】（1）23AC EF ⋅= （2）90（3）1052⎣【解析】【分析】（1）先根据向量的线性运算表示出AC 和EF ；再根据向量的数量积运算律即可求解.（2）先根据向量的线性运算表示出AE EF ，；再根据向量的数量积运算得出0AE EF ⋅=即可解答.（3）先根据AE EF ，表示出12AE AF + ；再根据响亮的数量积运算得出22155(1)222AF AE λ+=-+ ；最后根据[]0,1λ∈即可求解.【小问1详解】当23λ=时，依题意知，23BF BC =uu u r uu u r ，13DE DC = ，12DC AB = .则12AC AD DC AD AB =+=+ ，12CB AB AC AB AD =-=- .因为EF AF AE =-uu u r uu u r uu u r ，2212()()3323AF AB BF AB BC AB AD AB AD AB =+=+=+-=+ ，1136AE AD DE AD DC AD AB =+=+=+ .所以1132EF AF AE AD AB =-=-+ .因此221111()(23211)343AD AB AD AB AD AB A A E D F B AC ++=-++⋅⋅=⋅- .因为2AB DC = ，1AD CD == ，AD AB ⊥，所以2AB = ，0AD AB ⋅= ，所以23AC EF ⋅= 【小问2详解】由（1）知12CB AB AC AB AD =-=-.因为BF BC λ= ，()1DE DC λ=- ，所以(1)(1)2AE AD DE AD DC AD AB λλ-=+=+-=+ ；1()(1)22AF AB BF AB BC AB AD AB AD AB λλλλ=+=+=+-=+- .则1(1)2EF AF AE AD AB λ=-=-+ .因为2AB = ，1AD = ，0AD AB ⋅= ，所以22212(1)11042AE EF AD AB AD AB λλλλλλ--+⋅=-++=-+-= ，故向量AE EF，的夹角为90【小问3详解】由（2）可知：(1)(1)2AE AD DE AD DC AD AB λλ-=+=+-=+ ，1()(1)22AF AB BF AB BC AB AD AB AD AB λλλλ=+=+=+-=+- .则1311224AE AF AD AB λλ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .因为2AB = ，1AD = ，0AD AB ⋅= ，所以212AF AE + 2222331411124242AD AB AD AB λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭⋅ 2222||31|1|24AD AB λλ⎛⎫⎛⎫=++-⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 25552λλ=-+255(1)22λ=-+由题意知，[]0,1λ∈，所以212AF AE+的取值范围是5,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴12AE AF+的取值范围是2⎣．。