非线性系统的研究方法-自动控制原理ppt课件

实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
1
ωt
y1 (t ) B1 sint
由式（7-15）可得饱和特性的描述函数为
B1 2k a a a 2 N ( A) arcsin 1 ( ) A A A A

M sin td ( t )
yMFra bibliotek0 π2π
ωt
所以基波分量为：
y1 ( t )
4M

sin t
故理想继电器特性的描述函数为
Y1 4M N ( A) 1 A A
2.饱和特性
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时， 饱和特性的输出波形如图7-10所示。
7.1.3
非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无
法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
r(t)=0 x
N
y
G(s)
c(t)
图7-8 非线性系统典型结构图
（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的，即 y(x)=-y(-x)，以保证非线性元件在正弦信号作用下的输出不 包含直流分量。 （3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。能较好的滤 除非线性环节在正弦输入下输出中的高次谐波，于是可以认 为在闭环通道中只有基波分量在流通，此时应用描述函数法 所得的分析结果才是比较准确的。实际系统基本都能满足。

➢ 非线性系统的稳定性与系统输入信号及初始状态有关。 因此，对非线性系统不能笼统地说稳定与不稳定，而 必须指明稳定的范围。
➢ 相平面法是一种图解方法，仅适用于二阶或一阶系统。 相平面分析法研究非线性系统的基本思想是：对于二 阶非线性系统，先用图解方法作出其相轨迹曲线，然 后通过相轨迹来研究系统的运动。如：分析极限环邻 近相轨迹的运动特点，将极限环分为稳定、不稳定、 半稳定极限环。
由此可知，系统产生自持振荡时的振荡频 率和幅
值X分别为：1.01和1.557。
本章小结
➢ 非线性系统瞬态响应曲线的形状却与输 入信号大小、初始条件有密切的关系。非 线性系统的稳定性，除了和系统结构、参 数有关外，还与初始状态及输入信号大小 有密切关系。在非线性系统中，除了稳定 和不稳定运动形式外，还有一个重要特征 就是系统有可能发生自持振荡。因此，非 线性系统的性能在整个过程中是时变的， 这使得在研究上与线性系统有着本质差别。 本章主要介绍了非线性系统的特点和分析
7-4 基于Simulink的非线性系统分析
在一般非线性系统分析中，常需要在平衡点 处求利用MATLAB/Simulink提供的函数，不仅可对 非线性系统进行线性化处理，而且也可直接对非 线性系统进行分析。
7.4.1 利用MATLAB求解非线性系统的线性化模型
图7-55 系统的相轨迹
7.4.3 基于MATLAB的描述函数法分析非线性系统
例7-11 已知非线性系统如图7-56所示。
图7-56 非线性系统
试利用MATLAB采用描述函数法分析非线性系统
在K=1和2时的稳定性。其中k=1，h=1。
(a) K=1时的曲线
(b) K=2时的曲线
X= 1.5570
➢ 描述函数分析法是等效线性化方法的一种，它是频域 法在非线性系统上的延伸。描述函数法只能研究系统 的稳定性和是否存在极限环，使用时不受系统阶次的 限制。

总结词
详细描述
智能控制
要点一
总结词
智能控制是一种基于人工智能的控制方法，通过模拟人类 的决策和推理过程来实现对系统的优化和控制。
要点二
详细描述
智能控制采用人工智能技术，如专家系统、神经网络、模 糊逻辑等，实现对系统的优化和控制。智能控制具有自学 习、自适应和自组织能力，能够处理复杂的非线性系统和 不确定性问题。
03
状态观测是非线性控制 系统的重要技术，用于 估计系统状态变量的值。
04
通过观测系统的输出信 号，可以估计系统状态 变量的值，用于控制和 观测目的。
CHAPTER
非线性控制系统的分析与设 计
描述函数法
总结词
详细描述
相平面法
总结词 详细描述
反馈线性化方法
总结词 详细描述
滑模控制方法
总结词
一种用于处理非线性控制系统不确定性 的方法
VS
详细描述
滑模控制方法是一种通过设计滑模面和滑 模控制器，使得系统状态在滑模面上滑动 并达到期望目标的方法。它利用滑模面的 设计，使得系统对不确定性具有鲁棒性， 能够有效地处理非线性系统中的不确定性 和干扰。
CHAPTER
非线性控制系统的应用实例
无人机控制系 统
机器人控制系 统
机器人控制系统是另一个重要的非线 性控制系统应用，它涉及到机器人的 运动学、动力学和轨迹规划等方面。
汽车控制系统需要处理各种非线性特性和耦合效应，如发动机的燃烧过 程、底盘的悬挂系统和转向系统等，以确保汽车的安全性、稳定性和舒
适性。
汽车控制系统的设计需要运用非线性控制理论和方法，如状态反馈控制、 鲁棒控制等，以提高汽车的动态性能和燃油经济性。
航天器控制系 统

32
1. 210时
z2 cz12 1
●当t→∞时， e1t 0,e2t 0
● e2t比 e1t较 快 趋 于 零 ， 称λ2为快特征值，λ1为慢特征值
称V2为快特征向量，V1为慢特征向量
●当z1>1时，z2变化快，曲线斜率>1，当z1<1时，z2变化慢， 曲线斜率<1.
dz2 dz1
c2 1
z1(2
第一种情况 两个特征值都为实数，1 2 0
线性坐标变换： zM1x
z1 z2
1
z1
2
z2
z1 1z1 z2 2z2
zz1 2eJrt zz1 20 0e1t
z10 e2tz20
z1 (t ) z10e1t z2 (t) z20e2t
z 2 c z 1 2 1 , c z 2 0(z 1 0 )2 1
● 以上模型有一组平衡点 ● 以上模型等式右边的函数是状态变量的不连续函数。
当x2>0时以上模型简化为线性模型：
x1 x2
x2
k m
x1
c m
x2
k g
当x2<0时以上模型简化为线性模型：
x1 x2
x2
k m
x1
c m
x2
k g
20
1.2.4 负阻振荡器
h ( ) 满足以下条件： h (0 )0 , h '(0 )0 h (v) 当 v , h (v) 当 v
无摩擦单摆系统：
x1 x2 x2 10 sin x1
所有轨线或解的曲线称为系统的相图。 30
2.1 线性系统的特性
线性系统： xAx
解：
x(t)M exp(Jrt)M 1x0

例开上关半2线平面设———系向划右分统移不动同方线性程区域为的边界线 x (3 x 0 ，.5 )x x x 2 0
(相3)平奇面点法(平求（衡1）点系) ：统的平衡点xe，并判定平衡点附近相轨迹的性质。
相平面法（1）
xx0 解 令 相平面法（1）
当系统相轨迹方程比较简单或易于分段线性化时,
x 0 xxx x 当非线性方程在某个区2域可以表示为线性微分方程时，奇点类型e 1决定该区域系统运动的形式。
性系统特征根的分布，确定奇点的类型，进而确定平衡点附
近相轨迹的运动形式。
当非线性方程在某个区域可以表示为线性微分方程时，奇点 类型决定该区域系统运动的形式。
若对应的奇点位于本区域内，则称为实奇点；若对应的奇点
位于其它区域，则称为虚奇点。
相平面法（1）
奇点的位置？过奇点时系统运动的速度和加速度？过奇点的相轨迹个数？相轨迹从奇点处过x轴？
2
( x1)( x1) 0 可使用解析法求出相轨迹方程的解,再绘制相轨迹。
相通非轨过线迹横性上轴系斜时统率的不相 ，确平以xx定面90的 分°点析穿00越..55x轴 xx xx00
特征 方程
s2 s2
0.5s 1 0.5s 1
0 0
s 0.5 j0.97
s
0 x 0 — 向右移动 下半平面 x 0 — 向左移动
顺时针运动
通过横轴时(x 0)，以90°穿越 x
轴
d dx x d dx x d dttf(x x,x )0 0
一个初始条件对应一条相轨迹
(3)奇点 (平衡点) ：相轨迹上斜率不确定的点
• ••
•
相若轨在迹 某上点每处一f (点x,切x• )线和的斜x•率同为时dd为xx 零 xx•，即 f有(x•x,

x ≤a x >a
y
−a
k 0 a x
1）死区的存在相当于降低了系统的开环增益，从而提高了系统的稳定性， ）死区的存在相当于降低了系统的开环增益，从而提高了系统的稳定性， 减弱了过渡过程的震荡性； 减弱了过渡过程的震荡性； 2）死区增大了系统的静态误差； ）死区增大了系统的静态误差； 3）死区能滤除在输入端作小幅度振荡的干扰信号，从而提高系统的抗干 ）死区能滤除在输入端作小幅度振荡的干扰信号， 扰能力。 扰能力。
4、波波夫法 、 适用范围：是针对非线性系统稳定性的一种频域分析法，适用于由一个线 适用范围：是针对非线性系统稳定性的一种频域分析法， 性环节和一个非线性环节组成的系统。 性环节和一个非线性环节组成的系统。 基本原理：利用线性环节的频率特性分析非线性系统的稳定性。 基本原理：利用线性环节的频率特性分析非线性系统的稳定性。
N = N1 + N 2
0
1 1
2π
∫ x(t) sin nωtd(ωt) π
0 2 2 An + Bn
2π
ϕ n = arctg
An Bn
根据假设条件，高次谐波分量已被大大削弱，直流分量为零， 根据假设条件，高次谐波分量已被大大削弱，直流分量为零，因此可用一 次谐波分量（基波分量）来近似。 次谐波分量（基波分量）来近似。
x(t) = x(0) x 2(0) − [ x 2 (0) − 1]e 2t
2、平衡点与稳定性特性更加复杂 、 在线性系统中，稳定性只与其结构和参数有关， 在线性系统中，稳定性只与其结构和参数有关，而与初始条件和外加输入 信号无关，而对于非线性系统而言，则要复杂得多。 信号无关，而对于非线性系统而言，则要复杂得多。
3、描述函数法的数学表达形式 、

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7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
4.摩擦特性
Mf
M1 •
M2
•
M f 摩擦力矩
转速
M1 静摩擦力矩
M2 动摩擦力矩
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7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
摩擦特性的影响
(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精度。 (2)在复现缓慢变化的低速指令时，会造成爬行现象，
的利用 相平面法 小结
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第7章 非线性系统分析
学习重点
❖ 了解非线性系统的特点，掌握非线性系统与线性系 统的本质区别；
❖ 了解典型非线性环节的特点； ❖ 理解描述函数的基本概念，掌握描述函数的计算方
法； ❖ 掌握分析非线性系统的近似方法——描述函数法，
能够应用描述函数法分析非线性系统的稳定性。
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7.3 非线性特性的描述函数法
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7.3 非线性特性的描述函数法
输出 y(t )的傅立叶(Fourier)级数形式：
y(t)4M(sint13sin3t15sin5t)
推论：
4M sin2n(1)t
n0 2n1
① 方波函数可以看作无数个正弦分量的叠加。 ② 正弦分量中，有一个与输入信号频率相同的分量，
（2）非线性系统的分类 非本质非线性 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 不能用小偏差线性化方法解决的非线性。
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7.1 非线性系统动态过程的特点

(b)线性二阶系统 系统自由运动的微分方程为:
••
•
x2 nxn 2x0 (5 )
式(5)可用两个一阶微分方程联立表示:
ddxt•
(2n
•
xn2
x)
(6)
dx dt
•
x
•
(7)
•
式(6)除以式(7): ddxx2nxx••n2x
(8)
第一种情况, 0 , 式(8)为:
••
dx dx
ti,
则系统
k
从点A运动到B点时, B点的时刻 t t0 ti , 而 ti 的计
算有下面三种方法.
i1
•
•
(1)增量法 设相轨迹上两点 (x1,x1),(x2,x2)位移增量较
小,
设
•
x
为两点处相轨迹上速度变量
•
x
的平均值,
则:
t•x
x2x1
••
(1)6
•
•x
x (x2x1)/•2 (2)积分法 设点 ( x1, x1) 对应的时间为
4. 非线性系统的相平面分析
例1. 继电型非线性系统阶跃响应和斜坡响应的分析.
m
设系统初始
r(t) e(t)
h2
m0 h1
0 h1 m0
h2
m(t) 4 c (t ) 条件: •
e s(s 1)
c(0)c(0)0 m0 0.2,h1 0.1,
h2 0.2
(1)单位阶跃输入信号r(t)1(t)c ,(t)对 m(t)的微分方程式为:
••
•
c(t)c(t)4m(t)
(1)9因 m(t)与 r (t ) 没有直接关系,
故
设法把 c (t ) 变量换成 e(t ) 变量. 当 t 0时,

N (A )N (A )ej N (A )Y 1ej1B 1j1 A
A
A
非线性系统
2. 描述函数的求取步骤 （1） 取输入信号为，根据非线性环节的静态特性绘
制出输出非正弦周期信号的曲线形式，根据曲线形式 写出输出y(t)在一周期内的数学表达式。 （2）据非线性环节的静态特性及输出y(t)的数学表达 式，求相关系数A1、B1。 （3）用式(7-8)计算描述函数。
必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加
控制误差，因此在通常情况下，不希望系统产生自振，必
须设法抑制它。
非线性系统
３.频率响应复杂
线性系统的频率响应，即正弦信号作用下系统的稳态输 出是与输入同频率的正弦信号。而非线性系统的频率响应 除了含有与输入同频率的正弦信号分量（基频分量）外， 还含有关于ω的高次谐波分量。
形称为相平面图。
非线性系统
二、绘制相轨迹的方法
解析法
采用解析法绘制相轨迹通常有两种作法。一种方法是通过积分法， 直接由微分方程求解x(t)和的解析关系式。
0
2 Msintdt
1
2M
(c
os 1
c
os2
)
＝2M
1- mh2 A
1-
h
2
A
非线性系统
3） 死区滞环继电特性的描述函数为
N (A )＝ 2 M A1-m A2h1-A h2j2 M A2(m Ah -≥1h )（7-17）
取h=0可得理想继电特性的描述函数为
N(A)＝4M
取m=1可得死区继电特性的A描述函数为
足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表 示为复变增益环节，分析非线性系统的稳定性或自激振荡 ３.李亚普诺夫第二法

在(x,x‘)与 (-x, ( x, -x’) x )点的 斜率相等， 符号相同。
x
制作-罗家祥 审校-胥布工
9.2 相平面法
（4）相轨迹的走向
在相平面 上根轨迹的走向： 上根轨迹的走向 & > 0,即x ↑,故状态沿相迹曲线由左 向右转移; 上半平面, x & < 0, 下半平面, x 下半平面 0 即x 即 ↓ , 故状态沿相迹曲线由右 向左转移。 向左转移
& 0 )处的斜率 在P( x 0 , x & ) x = x0 = k ( x, x
&=x &0 x
0
Δx
x
& dx dx
x = x0 &=x &0 x
=−
&) f ( x, x & x
x = x0 &=x &0 x
=
0 0
& 0 )为奇点。其它为常点。 称P( x 0 , x
制作-罗家祥 审校-胥布工
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9.1 概述
2) 描述函数法 一种近似的分析方法，它用一次谐波线性关系来替代原来的 种近似的分析方法 它用 次谐波线性关系来替代原来的 非线性特性关系，在所考虑的一次谐波上实现了线性化，故 又称为谐波线性化方法或者谐波平衡方法。线性化的精确程 度需要系统具备一定的条件才能保证。 该法可方便分析高阶非线性控制系统的稳定性和自持振荡。 2．非线性控制系统的综合 综合问题的具体形式主要有： 1）选择一定的系统结构，通过选取或者优化待定参数来达到 系统的设计要求。 2）当选取参数不足以达到系统的控制品质要求时，可进一步 引入校正装置或者校正内回路，通过改变原来系统的结构以 实现系统的设计要求。

• 这是一种在平衡点的近似线性化方法，通 过在平衡点附近泰勒展开，可将一个非线 性微分方程化为线性微分方程，然后按线 性系统的理论进行处理。该方法局限于小 区域研究。
• 2. 逐段线性近似法( piecewise linear approximation method)
• 将非线性系统近似为几个线性区域，每个 区域用相应的线性微分方程描述，将各段 的解合在一起即可得到系统的全解。
由运动方程为 xn 2x 0
图7-4 二阶零阻尼线性系统
用拉普拉斯变换(Laplace transform)法求解
该微分方程得
X(s)sx0 n2x0 s2 n2
系统自由运动方程
x (t)x 0 2 x 0 2sin n t a (rx x c 0 0 ) tA a sn in n t( )
• 这是一种对线性与非线性系统都适用的方法。
• 根据非线性系统动态方程的特性，用相关的方 法求出李雅普诺夫函数 V ( x)，然后根据 V (x) 和V(x) 的性质去判断非线性系统的稳定性。
• 必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损， 增加控制误差，因此多数情况下不希望系统有自 振发生。但在控制中通过引入高频小幅度的颤振， 可克服间隙、死区等非线性因素的不良影响。而 在振动试验中，还必须使系统产生稳定的周期运 动(cycle motion)。因此，研究自振的产生条件 及抑制，确定自振的频率和周期，是非线性系统 分析的重要内容。
在图7-2所示的柱形液位系统中，设H 为液位高度，Qi为液体流入量，Q0为 液体流出量，C为贮槽的截面积。根据 水力学原理
Qo k H
其中比例系数k取决于液体的黏度和阀阻。液 位系统的动态方程为
CddH t Q iQ oQ ik H

以x, x. 为相变量，可得到相轨迹通过 点 (x, x.)的斜率
d x. dx
=
－f (x, x. ) x.
(一)相平面图的特点
1、对称性
a. 关于 x. 轴对称
f (x, x. ) － f (-x, x. ) x. = x.
或
f (x, x. ) = － f (-x, x. )
即f(x, x. )是关于x的奇函数。
的相平面图
解：系统方程改写为
x
dx dx
w
2x
0
积分得相轨迹方程
x 2
w2
x2
A2
x.
x0
0
x
(三)绘制相平面图的图解法— —等倾线法(Isocline method)
❖ 图解法是通过逐步作图的方法，不必 解出微分方程，而把结果直接描绘在相平 面上。
❖常用的图解法有等倾线法和园弧近似法。
❖ 在等倾线法中，首先用等倾线来确定相 平面中相轨迹斜率的分布，然后再绘制相 轨迹曲线。
(四)频率响应
系统微分方程：
K 非线性 弹簧
M 重物
M x.. +B x. +Kx+ K′x 3=0
e(t) K ′ <0
K ′ =0 K ′ >0
振幅
B
粘性阻 尼器
0
频率
系统进行强迫振荡实验 时的微分方程是：
M
..
x +B
. x
+Kx+
K′x
3=Pcoswt
频率响应
x
2
6
K ′ >0
x
5
K ′ <0
§8.2 相平面图

60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
Байду номын сангаас
自动控制原理—非线性控制系统
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克