第七章 解析几何与微分几何 SECTION12

§ 12 一般曲面 一、曲面的方程与曲线的坐标 曲面方程的形式有 隐 式 F(x,y,z)=0 显 式 z=f(x,y)

参数式 ),(),(),(uzzuyyuxx

矢量式 r=r(u,) 或 r=x(u,)i+y(u,)j+z(u,)k 对于参数式或矢量式表示的曲面，如果取为一系列数值,,21，而让u连续变动，则r(u,i)(i=1,2,)表示一族曲线，称为u线（图7.23）；同样，如果取u为一系列数值u1,u2,，而让连续变动，则r(ui,)(i=1,2,)表示另一族连续曲线，称为线.u线与线在曲面上构成曲线网，称为坐标线或坐标网.于是u=ui, =j这个数对就可以确定曲面上一点M，这数

对(ui,j)称为点M的曲线坐标（或高斯坐标）.

二、 切面、法线与曲面的方向 [法线单位矢量] 通过曲面上一的M所有曲面曲线（即该曲面上的曲线），在点M的切线落在同一平面上（奇点除外），称这平面为曲面在点M的切面通过点M与切面垂直的直线称为曲面在点M的法线.

切面通过的矢量

ru=ur和rr 称为坐标矢量，它们分别是u线和线在点M的切矢量（图7.24） 曲面上点的法线单位矢量为

rrrrN





uu

这里为了区别曲线的法线单位矢量和曲面的法线单位矢量，前者以n表示，后者以N表示.

[曲面的方向] 曲面的方向规定如下：朝N的正向那一面是曲面的正面（图7.24中看到的一面）；另一面为反面.

[曲面的切线方程与法线方程] 曲面方程 切面方程 法线方程

0),,(zyxF z=f(x,y) 0)()()(000000zzF

yyFxxF

zyx

)()(00000yyzxxzzzyx 000000

zyxFzzFyyF

xx

100000zzzyyzxxyx

图 7.23 图 7.24 





),(),(),(uzzuyyuxx

r=r(u,) 0000000000zyxzyxzzyyxx

uuu

0))((000rrrru

或(r-r0)N0=0

000000000000000yxyxzzxzxzyyzyzy

xxuuuuuu

)(000rrrru

或00Nrr 式中为参数

表中000,,uxxxzF分别表示uxxzxF,,在点M(x0,y0,z0)的值，r0是点M的矢径，00,rru分别表示rr,u在点M的值，N0为点M的法线单位矢量.

[曲面的奇点] 若曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)的三个偏导数同时等于零，即 0000zyxFFF 则称点M为该曲面的奇点.

三、 第一基本二次型与曲面的度量 [第一基本二次型与第一基本量] 曲面方程 第一基本二次型与第一基本量

z=f(x,y)







),(),(),(uzzuyyuxx

或 r=r(u,)

ds2=Edx22fdxdy+Gdy2 式中

E=1+2xz

F=yzxz G=1+2yz ds为点M(x,y,z)处的弧的微分，ds2称为第一基本二次型，E,F,G称为第一基本量 ds2=2dr=Edu2+2Fdud+Gd2

式中

E=2222uuzuyuxr F=rruzuzyuyxux G=2222rzyx 第一基本量E,F,G都在点M处取值. 曲面上每点（奇点除外）的第一基本二次型是正定的，即 E>0,G>0,EG-F2>0 [曲面上的弧长、面积、夹角等计算公式] 各量与图形 计算公式 曲面曲线的弧长L

)()(ttuu

 曲面面积S （由曲线围成） 曲线夹角（两条曲线交于点M）

1010d2d22tttttGuFuEsL

SSuFEGSSddd2

22)()(ddcos

rr

rr

式中 22222ddd2dd)d(ddGuFuEGuFuEGuuFuuE E，F，G为曲面的第一基本量（在点M取值）。坐标线u=常数和v=常数的交角决定于 EGFcos

因此坐标线正交的充分必要条件是：0F [曲面的变形] 保持曲面曲线长度不变的变换称为曲面的变形。具有相同的第一基本二次型的两个曲面S，'S称为贴合的或等距的。从S到'S和从'S到S的这种变换都称为等距变换。关于曲面的几何量经过等距变换不变者都称为等距不变量。 等距变换的一种具体表现是把一个曲面连续弯曲而保持曲面曲线的长度不变，使这个曲面最后与另一个曲面相贴合；因此，等距变换又称为变形。 从定义可以推出，两个曲面互为变形的充分必要条件是：经过适当地选择参数后，它们具有相同的第一基本二次型。

四、第二基本二次型曲面曲线的曲率 [第二基本二次型与第二基本量] 曲 面 方 程 第二基本二次型与第二基本量

),(yxfz 222ddd2dyNyxMxL

式中

22222221,,,,,,qphyzqxzpyztyxzsxzrhtNhsMhrL



 曲 面 方 程 第二基本二次型与第二基本量 





),(),(),(uzzuyyuxx

或 ),(urr

2称为第二基本二次型，L，M，N称为第二基本量

2222ddd2ddddNuMuLrNrN

22FEGzyxzyxzyxFEGLuuuuuuuuuuuuu

rrrNr

22FEGzyxzyxzyxFEGMuuuuuuuuu

rrrNr

22FEGzyxzyxzyxFEGNuuuuu

rrrNr

式中偏导数uxxu2等在点),,(zyxM取值，E，F，G为第一基本量，N为曲面在点M的法线单位矢量。 2表示曲面上两个无限邻近点中，一点到另外一点的

切面的距离的主要部分的两倍，它表明曲面与切面的离差的特征，也反映曲面在空间中的弯曲程度 [主法截线（主方向、主曲率半径与脐点）] 通过曲面上一点M的法线的平面与曲面的交线（法C）都称为点M的法截线。所以通过曲面上一点的法截线有无穷多条，给定点M的一个切线方向就有一条确定的法截线。在点M的法截线中曲率最大和最小的两条分别记为21,CC，它们称为主法截线，21,CC在点M所对应的切线方向称为主方向，这两个方向互相垂直。21,CC的曲率半径（21,RR）称为主曲率半径，它们等于下列方程的两个根： 对于曲面),(yxfz，方程为 0])1()1(2[)(42222hRrqtppqshRsrt 式中p，q，r，s，t，h见上页表。 对于曲面),(),,(),,(uzzuyyuxx，方程为

0)()2()(222FEGRGLFMENRMLN 式中E，F，G为曲面的第一基本量，L，M，N为曲面的第二基本量。 主曲率半径相等的点称为曲面的脐点，在脐点上

GNFMEL

[曲率线与罗德里克公式] 主方向udd是二次方程 0)(dd)(dd)(2EMFLuENGLuFNGM

图 7.25 的两个根。满足这个微分方程的曲面曲线称为曲率线。曲率线上每点的切线方向都是主方向，曲率线构成曲面上一个正交曲线网，曲率线还有如下的一个特征： 一条曲面曲线C是曲率线的充分必要条件是：沿C的曲面法线组成一个可展曲面，即当C上的点M变动时，曲面在M点的法线有包络线1C。 这个特征也可表示为 为参数）(0ddNr 这个公式称为罗得里克公式。

五、 曲面曲线的曲率半径 [法截线的曲率半径与欧拉公式] 设

2222

ddd2ddd2dNuMuLGFuuER

法

右边为正时，表示法截线的法线单位矢量n与曲面的法线单位矢量N一致，则法截线的曲率半径为法R；右边为负时，表示n与N相反，则法截线的曲率半径为法R。 若通过法截线法C的截平面与通过主法截线1C的截平面之间的夹角为，则

2212sincos1

RRR



法 式中21,RR为主曲率半径，法R1称为法曲率，这个等式称

为欧拉公式。 [任意平截线的曲率半径] 用通过点M的任意平面截曲面得截线C（图26.7），它在点M的切线为PQ，曲线C的法线单位矢量为n，通过直线PQ和曲面的法线单位矢量N作意平面法，截曲面得法截线法C。若矢量N与n夹角为，而法C的曲率半径为法R，则截线C的曲率半径为

cos法RRC （1）

[曲面上任意曲线的曲率半径与梅尼埃定理] 设曲面上任意曲线B上一点M的密切面与曲面交线为C，则曲面B的曲率半径等于截线C的曲率半径CR，于是从式（1）得到梅尼埃定理：曲面上任意曲线B的曲率半径等于在曲面法线上所截取的对应法截线的曲率半径在曲线B的主法线上的正射影。

六、 第三基本二次型与曲面的曲率 [第三基本二次型与第三基本量] 2002

023ddd2ddGuFuEN

称为第三基本二次型，式中N为曲面的法线单位矢量， 20020,,NGNuNFuNE

称为第三基本量。

图 7.26