(一)类似三角形之杨若古兰创作
1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做类似三角形．
①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做类似三角形，即定义中的两个条件，缺一不成；
②类似三角形的特征：外形一样，但大小纷歧定相等；
③类似三角形的定义，可得类似三角形的基赋性质：对应角相等，对应边成比例．
2、类似三角形对应边的比叫做类似比．
①全等三角形必定是类似三角形，其类似比k=1．所以全等三角形是类似三角形的特例．其区别在于全等请求对应边相等，而类似请求对应边成比例．
②类似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即类似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的类似比，当它们全等时，才有k=k′=1．
③类似比是一个主要概念，后继进修时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助类似三角形可观察得出．
3、如果两个边数不异的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做类似多边形． 4、类似三角形的豫备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形类似．
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号说话：
∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；
（双A型）
②这个定理是用类似三角形定义推导出来的三角形类似的判定定理．它不单本人有着广泛的利用，同时也是证实类似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“豫备定理”；
③有了豫备定理后，在解题时不单要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想类似”．
(二)类似三角形的判定
1、类似三角形的判定：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形类似.可简单说成：两角对应相等，两三角形类似.
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE． 例2、如图，E、F分别是△ABC的边BC上的点，DE∥AB,DF∥AC ,
知识回顾专题28 相似三角形
考点一：比例
1. 比例的性质：
①基本性质：两内项之积等于量外项之积。即若dcba::，则adbc。
②合比性质：若dcba，则ddcbba。
③分比性质：若dcba，则ddcbba。
④合分比性质：若dcba，则dcdcbaba。
⑤等比性质：若nmdcba...，则nmdcbandbmca.........。
2. 比例线段：
若四条线段dcba，，，，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，
如dcba::（即adbc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。3. 平行线分线段成比例：
三条平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例。即如图：有EFDEBCAB；
DFDEACAB；
DFEFACBC。
推论：
①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
②如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行
于三角形的第三边。
③平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三
边与原三角形的三边对应成比例。微专题
1．（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡
杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放
在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜
衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍．
【分析】根据比例的性质解决此题．
【解答】解：由题意得，5m被称物＝6m砝码．
∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．故答案为：1.2．
2．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作CD
∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）
直角三角形相似判定定理
一、定义法
如果两个直角三角形的三条边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
二、定理法
1. 勾股定理：在直角三角形中，勾股定理表述了直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果两个直角三角形的斜边相等，那么这两个直角三角形相似。
2. 毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，毕达哥拉斯定理表述了直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形相似。
三、斜边中线法
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。如果两个直角三角形的斜边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。
四、两锐角对应相等
如果两个直角三角形的两个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似。
五、夹边中线法
在直角三角形中，夹边上的中线等于夹边的一半。如果两个直角三角形的夹边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。
六、两边对应成比例且夹角相等
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这两个直角三角形相似。
七、两边对应成比例且夹边平行
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
八、两锐角对应相等且夹边平行
如果两个直角三角形的两锐角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
九、两角对应相等且夹边平行 如果两个直角三角形的两角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
第1页 共3页 相似三角形的判定
•
相似三角形：
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
互为相似形的三角形叫做相似三角形。
例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'
• 相似三角形的判定：
1.基本判定定理
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。
2.直角三角形判定定理
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
第2页 共3页 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
3.一定相似：
（1）.两个全等的三角形
（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）
（2）.两个等腰三角形
（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。）
（3）.两个等边三角形
(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)
（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。
• 相似三角形判定方法：
证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
一、（预备定理）
